可編輯版/1．定義：說明：〔1一些最簡單的數列或函數的極限〔極限值可以觀察得到都可以用上面的極限嚴格定義證明,例如：；〔2在后面求極限時,〔1中提到的簡單極限作為已知結果直接運用,而不需再用極限嚴格定義證明。利用導數的定義求極限這種方法要求熟練的掌握導數的定義。2．極限運算法則定理1已知,都存在,極限值分別為A,B,則下面極限都存在,且有〔1〔2〔3說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件,當條件不滿足時,不能用。.

利用極限的四則運算法求極限這種方法主要應用于求一些簡單函數的和、乘、積、商的極限。通常情況下,要使用這些法則,往往需要根據具體情況先對函數做某些恒等變形或化簡。8.用初等方法變形后,再利用極限運算法則求極限例1解：原式=。注：本題也可以用洛比達法則。例2解：原式=。例3解：原式。3．兩個重要極限〔1〔2；說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身,還應能夠熟練運用它們的變形形式,例如：,,；等等。利用兩個重要極限求極限例5解：原式=。注：本題也可以用洛比達法則。例6解：原式=。例7解：原式=。4．等價無窮小定理2無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小〔即極限是0。定理3當時,下列函數都是無窮小〔即極限是0,且相互等價,即有：～～～～～～。說明：當上面每個函數中的自變量x換成時〔,仍有上面的等價關系成立,例如：當時,～；～。定理4如果函數都是時的無窮小,且～,～,則當存在時,也存在且等于,即=。利用等價無窮小代換〔定理4求極限例9解：～,～,原式=。例10解：原式=。注：下面的解法是錯誤的：原式=。正如下面例題解法錯誤一樣：。例11解：,所以,原式=。〔最后一步用到定理2五、利用無窮小的性質求極限有限個無窮小的和是無窮小,有界函數與無窮小乘積是無窮小。用等價無窮小替換求極限常常行之有效。例1.2.5．洛比達法則定理5假設當自變量x趨近于某一定值〔或無窮大時,函數和滿足：〔1和的極限都是0或都是無窮大；〔2和都可導,且的導數不為0；〔3存在〔或是無窮大；則極限也一定存在,且等于,即=。說明：定理5稱為洛比達法則,用該法則求極限時,應注意條件是否滿足,只要有一條不滿足,洛比達法則就不能應用。特別要注意條件〔1是否滿足,即驗證所求極限是否為""型或""型；條件〔2一般都滿足,而條件〔3則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外,洛比達法則可以連續使用,但每次使用之前都需要注意條件。利用洛比達法則求極限說明：當所求極限中的函數比較復雜時,也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時,洛比達法則還可以連續使用。例12〔例4解：原式=。〔最后一步用到了重要極限例13解：原式=。例14解：原式==。〔連續用洛比達法則,最后用重要極限例15解：例18解：錯誤解法：原式=。正確解法：應該注意,洛比達法則并不是總可以用,如下例。例19解：易見：該極限是""型,但用洛比達法則后得到：,此極限不存在,而原來極限卻是存在的。正確做法如下：原式=〔分子、分母同時除以x=〔利用定理1和定理26．連續性定理6一切連續函數在其定義去間內的點處都連續,即如果是函數的定義去間內的一點,則有。利用函數的連續性〔定理6求極限例4解：因為是函數的一個連續點,所以原式=。7．極限存在準則定理7〔準則1單調有界數列必有極限。四、利用單調有界準則求極限首先常用數學歸納法討論數列的單調性和有界性,再求解方程可求出極限。例1.設,求極限。定理8〔準則2已知為三個數列,且滿足：〔1〔2,則極限一定存在,且極限值也是a,即。10.

夾逼定理利用極限存在準則求極限例20已知,求解：易證：數列單調遞增,且有界〔0<<2,由準則1極限存在,設。對已知的遞推公式兩邊求極限,得：,解得：或〔不合題意,舍去所以。例21解：易見：因為,所以由準則2得：。9.

洛必達法則與等價無窮小替換結合法對于一些函數求極限問題,洛必達法則和等價無窮小結合御用,往往能化簡運算,收到奇效。11.

泰勒展開法12.

利用定積分的定義求極限法積分本質上是和式的極限,所以一些和式的極限問題可以轉化為求定積分的問題。8.

利用復合函數求極限十、利用級數收斂的必要條件求極限級數收斂的必要條件是：若級數收斂,則,故對某些極限,可將函數作為級數的一般項,只須證明此技術收斂,便有。例十一、利用冪級數的和函數求極限當數列本身就是某個級數的部分和數列時,求該數列的極限就成了求相應級數的和,此時常可以輔助性的構造一個函數項級數〔通常為冪級數,有時為Fourier級數。使得要求的極限恰好是該函數項級數的和函數在某點的值。例求7等比等差數列公式應用〔對付數列極限〔q絕對值符號要小于18各項的拆分相加〔來消掉中間的大多數〔對付的還是數列極限可以使用待定系數法來拆分化簡函數9求左右求極限的方式〔對付數列極限例如知道Xn與Xn+1的關系,已知Xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時一樣的,應為極限去掉有限項目極限值不變化11還有個方法,非常方便的方法就是當趨近于無窮大時候不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指數函數快于冪數函數快于對數函數〔畫圖也能看出速率的快慢!!!!!!

當x趨近無窮