PAGEPAGE14第一章空間向量與立體幾何章末總結體系構建題型整合題型1空間向量的運算例1（1）如圖，已知空間四邊形ABCD，E，H分別是邊AB，AD的中點，F，G分別是邊CB，CD上的點，且CF=23CB，（2）已知正四面體OABC的棱長為1，如圖.求：①OA?OB；②(OA答案：（1）證明：∵E，H分別是邊AB，AD的中點，∴AE=1則EH=∵FG∴EH∥FG又F不在EH上，故四邊形EFGH是梯形.（2）在正四面體OABC中，|OA|=|①OA?②(=(=(=1③|OA方法歸納1.空間向量的線性運算包括加法、減法及數乘運算.選定空間中不共面的三個向量作為基向量，并用它們表示出目標向量，這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求.2.空間向量的數量積：（1）空間向量的數量積的定義表達式a?b=|（2）空間向量的數量積的其他變形式是解決立體幾何問題的重要公式，如a2=|a|2，a遷移應用1.如圖，已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面體．設M是底面ABCD的中心，N是側面BCC'B'對角線BC'上的四等分點且靠近C'點，設MN=αAB+β答案：3解析：1.連接BD，則M為BD的中點，如圖.MN===1∴α=12，β=14，γ=34.2.在三棱錐O-ABC中，棱OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=OB=OC，如圖.給出下列四個命題：①(OA+OB③(OA+OB)和④三棱錐O-ABC的體積為16其中所有正確命題的序號為.答案：①②③解析：2.設OA=OB=OC=a，因為棱OA、OB、OC兩兩垂直，所以以點O為坐標原點，OA、OB、OC所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(0,a,0)、C(0,0,a).對于①，OA+OB+對于②，CA-CO=OA=(a,0,0)對于③，OA+OB=(a,a,0)cos?因為0°≤?OA+OB,CA對于④，AB=(-a,a,0)，AC=(-a,0,a)，BC=(0,-a,a)所以16而三棱錐O-ABC的體積V=1題型2利用空間向量證明平行、垂直問題例2在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點．（1）求證：BM∥平面PAD；（2）平面PAD內是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，請說明理由．答案：（1）以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z則B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1).證明：∵BM=(0,1,1)，易知平面PAD的一個法向量為n=(1,0,0)，∴BM?n=0又BM平面PAD，∴BM∥平面PAD.（2）存在.BD=(-1,2,0)，PB=(1,0,-2)，假設平面PAD內存在一點N，使MN⊥平面PBD，則MN⊥BD，設N(0,y,z)，則MN=(-1,y-1,z-1)∴MN→?∴y=∴在平面PAD內存在一點N(0,12,12方法歸納利用空間向量證明空間中的位置關系：線線平行證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量線線垂直證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直線面平行①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明可在平面內找到一個向量與直線的方向向量是共線向量；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內兩不共線向量線性表示線面垂直①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②利用線面垂直的判定定理轉化為線線垂直問題面面平行①證明兩個平面的法向量平行（即共線向量）；②轉化為線面平行、線線平行問題面面垂直①證明兩個平面的法向量互相垂直；②轉化為線面垂直、線線垂直問題遷移應用3.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；（2）證明：PC∥平面BAQ.答案：（1）證明如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，DA，DP，DC的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系Dxyz.依題意有D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，則DQ=(1,1,0)，DC=(0,0,1)，PQ=(1,-1,0)，所以PQ?DQ=0，PQ?DC=0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.又DQ∩DC=D因為PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.（2）A(1,0,0)，B(1,0,1)，則DA=(1,0,0)，AB=(0,0,1)，AQ=(0,1,0)0，則DA?AB=0，因為PC=(0,-2,1)，且DA?PC=0，所以DA⊥PC，又PC?平面BAQ，故題型3利用空間向量求空間角例3在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，ABAD=2，直線PA與底面ABCD成60°角，點N（1）求異面直線DN與BC的夾角的余弦值；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；（3）求二面角P-NC-D的余弦值.答案：（1）以D為原點，DA、DC、DP的方向分別為x、設AD=1，則AB=2，∵PD⊥底面ABCD，∴∠PAD為直線PA與平面ABCD所成的角，∴∠PAD=60°，∴PD=3，∴D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,DN=(12,1,32)，BC∴異面直線DN與BC的夾角的余弦值為∣cos?DN（2）PA=(1,0,-3)，PB=(1,2,-3)，BC=(-1,0,0)，設平面PBC的一個法向量為m=(x1,y1,z1)，直線PA與平面PBC（3）由（2）知平面PBC的一個法向量為m=(0,3,2)，即平面PNC的一個法向量為m=(0,3,2)，設平面CDN的一個法向量為n=(則n?DN=12x2+y2+∴cos∵m?DP∴二面角P-NC-D的余弦值為77方法歸納1.求異面直線所成的角：設兩異面直線的方向向量分別為n1，n2，那么這兩條異面直線所成的角θ=?n1,2.求斜線與平面所成的角：如圖，設平面α的一個法向量為n1，斜線OA的一個方向向量為n2，斜線OA與平面α所成的角為θ3.求二面角的大小：如圖，設平面α，β的法向量分別為n1，n2.因為兩平面的法向量所成的角（或其補角）就等于平面α，β所成的銳二面角θ，所以遷移應用4.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1內接于圓柱OO1，已知圓柱（1）證明：無論P在何處，總有BC⊥PA（2）當點P為OO1的中點時，求平面A1答案：（1）證明：如圖，連接AO并延長，交BC于點M，交圓柱側面于點N，連接OB，OC，∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC.又在圓柱OO1中，AA1⊥平面ABC，且BC?又AO∩AA1=A，AO?平面AOO1∴BC⊥平面AOO1A1，無論P在何處，總有PA（2）如圖，建立空間直角坐標系O1xyz，由（1）知設OO1=A在△ABC中，AM=AC×cos從而CM=BM=(∴A1(0,-12∴A1P設平面AP1B的一個法向量為u取y=2，得u=(255∴|cos故所求銳二面角的余弦值為5511題型4利用空間向量求距離例4已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分別為AB，BC的中點.（1）求點D到平面PEF的距離；（2）求直線AC到平面PEF的距離.解析：思路分析（1）建立以點D為坐標原點，DA，DC，DP的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系，利用點到平面的距離公式即可得到答案.（2）證得AC∥平面PEF，利用直線AC到平面PEF的距離等于點A到平面PEF的距離即可得到答案.答案：（1）建立以點D為坐標原點，DA，DC，DP的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標系，如圖所示，∵PD=1，E，F分別為AB，BC的中點，∴D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(1,12,0)，F(12,1,0)，設平面PEF的一個法向量為n=(x,y,z)則n?EF→=0n?PE→=0即-∴點D到平面PEF的距離d=|（2）∵AE=(0,12,0)，∴點A∵E，F分別為AB，BC的中點，∴AC∥EF，∵AC?平面PEF，EF?平面PEF，∴AC∥平面PEF，∴直線AC到平面PEF的距離等于點A到平面PEF的距離，∴直線AC到平面PEF的距離為1717方法歸納1.求兩點間的距離的向量法主要是坐標法（易建系的）和基向量法（各基向量的模和夾角已知或可求），利用向量的模的定義求解.2.利用向量求點線距離時，關鍵是利用向量的垂直，建立關于垂足坐標的方程，垂足的坐標要利用向量的共線用直線的方向向量表示，只設一個未知數即可.3.用向量法求點面距離的步驟：（1）建坐標系：結合圖形的特點建立恰當的空間直角坐標系；（2）求向量：在坐標系中求出點A到平面內任一點B對應的向量AB；（3）求法向量：設出平面的法向量，利用向量垂直的條件轉化為求解方程組，求出法向量n；（4）得答案：代入公式d=|遷移應用5.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，點E在線段PA上，PC∥平面BDE.（1）請確定點E的位置，并說明理由；（2）若△PAD是等邊三角形，AB=2AD，平面PAD⊥平面ABCD，四棱錐P-ABCD的體積為93，求點E到平面PCD答案：（1）連接AC交BD于點M，連接EM，如圖，則點M為AC的中點.當E為AP的中點時，在△APC中，EM∥PC，又EM平面BDE，PC?平面BDE，∴PC∥平面BDE.（2）以AD的中點O為原點，OA所在直線為x軸，在平面ABCD中，過點O作AB的平行線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖.設AD=x，∵四棱錐P-ABCD的體積為93，∴13∴A(32,0,0)E(34,0,C(-32,6,0)PD=(-32設平面PCD的一個法向量為n=(x,y,z)則n?PC→=-3∴E到平面PCD的距離d=|高考鏈接1.（2020課標Ⅲ理，19，12分）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F（1）證明：點C1在平面AEF（2）若AB=2，AD=1，AA1=3答案：（1）證明：在棱CC1上取點G，使得C1G=12CG，連接DG在長方體ABCD-A1B1C1D1中，∵C1G=12CG，∴四邊形BCGF為平行四邊形，∴GF∥BC∥AD，GF=BC=AD，∴四邊形AFGD為平行四邊形，則AF∥DG且AF=DG，同理可證四邊形DEC∴C1E∥DG∴C1E∥AF且C∴點C1在平面AEF（2）以點C1為坐標原點，C1D1、C1B1、C1C則A(2,1,3)，A1(2,1,0)，E(2,0,2)，∴AE=(0,-1,-1)，AF=(-2,0,-2)，A設平面AEF的一個法向量為m=(由m?AE→取z1=-1，得x1設平面A1EF的一個法向量為由n?A1E→=0n?A1F∴cos設二面角A-EF-A1的平面角為θ，則|cos因此，二面角A-EF-A1的正弦值為2.（2020課標Ⅰ理，18，12分）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.△ABC是底面的內接正三角形，P為DO上一點，PO=6（1）證明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角B-PC-E的余弦值.答案：（1）證明：設DO=a，由題設可得PO=66a，AO=33因此PA2+P又PA2+P所以PA⊥平面PBC.（2）過O作ON∥BC交AB于點N，因為PO⊥平面ABC，所以以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，ON所在直線為y軸，OD所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AE=1，則E(-12,0,0)B(-14,所以PC=(-14,-3設平面PCB的一個法向量為n=(由n得-x令x1=2，得z所以n=(2,0,-1)，設平面由m?得-x2-3y2-所以m=(1,33,-易知二面角B-PC-E的平面角為銳角，所以二面角B-PC-E的余弦值為253.（2020新高考Ⅰ，20,12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l.（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.答案：（1）證明：在正方形ABCD中，AD∥BC，因為AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC，又因為AD?平面PAD，平面PAD∩平面PBC=l，所以AD∥l，因為在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，所以l⊥DC，因為PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD，因為CD∩PD=D，CD,PD?平面PDC，所以l⊥平面PDC.（2）如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，因為PD=AD=1，所以D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，設Q(m,0,1)，則有DC=(0,1,0)，DQ=(m,0,1)，設平面QCD的一個法向量為n=(x,y,z)，則DC→?令x=1，則z=-m，所以平面QCD的一個法向量為n=(1,0,-m)則cos?所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于|cos?n所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為634.（2020天津，17,15分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，