平面向量的坐標運算講義一、知識點梳理1、平面向量運算的坐標運算運算坐標表示和（差）已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．數乘已知a=（x1，y1），則λa=（λx1，λy1），其中λ是實數．任一向量的坐標已知A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2–x1，y2–y1）．（1）相等的向量坐標相同；（2）向量的坐標與表示該向量的有向線段的端點無關，只與其相對位置有關．2、平面向量共線的坐標表示如果a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a∥b的充要條件為__________．3、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角（1）在平面直角坐標系中，設分別是x軸，y軸上的單位向量．由于向量即____________，（2）平面向量的模的坐標公式若向量，由于，所以______________．（3）平面內兩點間的距離公式已知原點，點，則，于是______________．（4）平面向量垂直的坐標表示已知非零向量，則______________．（5）平面向量夾角的坐標表示已知非零向量，是與的夾角，則．二、主講知識【講透例題1】平面向量的坐標加減運算例1、若向量，，，則等于()A．B．C． D．例2、在△ABC中，點P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，點Q是AC的中點，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，則eq\o(BC,\s\up6(→))=()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)【相似題練習】1、已知點A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),當AB=a+2b時,點B的坐標為()A.(2,7) B.(0,-7)C.(3,-6) D.(-4,5)2、已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,則頂點D的坐標為()A.2,72 B.2,-3、已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,則c等于()A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0)4、已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，則c＝()A．(－23，－12) B．(23，12)C．(7，0) D．(－7，0)5、已知為坐標原點，，，則．6、已知點A(-1,2),B(2,8),及AC=13AB,DA=-13BA7、已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求滿足a=mb+nc的實數m,n;(3)求M,N的坐標及MN的坐標.【小結】平面向量運算的坐標運算（1）在進行平面向量的坐標運算時，應先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據向量的直角坐標運算法則進行計算（直角坐標運算法則即兩個向量的和與差的坐標等于兩個向量相應坐標的和與差，數乘向量的積的坐標等于數分別乘向量相應坐標的積）；（2）在求一個向量時，可以先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標；（3）求一個點的坐標，可以轉化為求以原點為起點，該點為終點的向量的坐標．已知A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2–x1，y2–y1）．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）；λa=（λx1，λy1），其中λ是實數．【講透例題3】平面向量共線條件例1、已知向量,，若與共線,則實數的值是（）A． B． C． D．【相似題練習】1、若向量，，與共線，則實數的值為_______2、已知三點共線，則，則______，______．3、已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b與非零向量ma+nb共線,則mn等于(A.-2 B.2 C.-12 D.4、已知，．（1）求證：，不共線；（2）若，求實數，的值：（3）若與共線，求實數的值．【小結】向量坐標運算的應用（1）已知兩向量共線，求點或向量的坐標；（2）證明或判定三點共線、直線平行．解題時要注意聯系平面幾何的相關知識，由兩向量共起點或共終點確定三點共線，由兩向量無公共點確定直線平行．【講透例題3】平面向量的數量積坐標運算例1、已知，，且，則向量與夾角的大小為()A． B． C． D．例2、已知向量a＝(0，－2eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，則向量a在b方向上的投影為()A.eq\r(3) B.3 C.－eq\r(3) D.－3【相似題練習】1、已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，則a·(a＋2b)＝________.2、已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，則|c|＝________.3、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則的值為__________;=____________4、設向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________.5、（多選）若向量與共線，則A． B． C． D．6、已知．（1）求的坐標和模；（2）求與的夾角的余弦值．【小結】（1）進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知計算．（2）對于以圖形為背景的向量數量積運算的題目，只需把握圖形的特征，并寫出相應點的坐標即可求解．【講透例題4】平面向量的數量積坐標運算例1、已知向量，，若，且，則實數（）A．B．C． D．【相似題練習】1、已知，則等于______.2、（多選）已知向量，，則（）A．若與垂直，則 B．若，則的值為C．若，則 D．若，則與的夾角為3、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.4、已知a，b，c是同一平面內的三個向量，其中a＝(1，2).(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c與a方向相反，求c的坐標；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ.5、在平面直角坐標系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的值．【小結】證明兩線段垂直：求證兩線段所對應的向量的數量積為0即可課堂總結1、已知向量，，若單位向量與平行，則．2、（多選）已知向量，，則下列結論正確的是A． B．與可以作為基底 C． D．與方向相反3、（多選）已知為坐標原點，，，則A．與同方向的單位向量為，B．若，則點的坐標為， C．若，則 D．若，則四邊形為平行四邊形4、若向量，則下列