PAGE第6講一元一次方程與分式方程及其應用1．一元一次方程及解法考試內容考試要求等式的性質性質1：等式兩邊加(或減)同一個數或同一個____________________，所得結果仍是等式；性質2：等式兩邊乘(或除以)同一個數(除數不能為0)，所得結果仍是．ab方程的概念含有未知數的叫做方程．方程的解使方程左右兩邊的值的未知數的值叫做方程的解．一元一次方程的概念只含有個未知數，且未知數的最高次數是的整式方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：去分母、去_____________、移項、合并______________、系數化為1.c2.分式方程及解法考試內容考試要求分式方程的概念分母里含有的方程叫做分式方程．a分式方程的解法解分式方程的根本思路是將分式方程轉化為______________方程，具體步驟是：(1)去分母，在方程的兩邊都乘以____________________，化成整式方程；(2)解這個整式方程；(3)驗根，把整式方程的根代入最簡公分母，如果，那么整式方程的解是原分式方程的解；否那么，這個解不是原分式方程的解．c3.列方程解應用題的一般步驟考試內容考試要求列方程解應用題的一般步驟c1.審審清題意和數量關系，弄清題中的量和未知量，明確各數量之間的關系．2.設設未知數(可設直接或____________________未知數).3.列根據題意尋找列方程．4.解解方程．5.答檢驗所求的未知數的值是否符合題意(分式方程既要檢驗求出來的解是否為原方程的根，又要檢驗是否符合題意)，寫出答案．考試內容考試要求根本思想解分式方程的根本思想：把分式方程轉化為整式方程，即分式方程eq\o(→,\s\up7(去分母),\s\do5(轉化))整式方程．c根本方法1.分式方程無解有可能是兩種情況：一是去分母后的整式方程無解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最簡公分母為0，分式方程也無解.2.列方程的關鍵是尋找等量關系，尋找等量關系常用的方法有：①抓住不變量；②找關鍵詞；③畫線段圖或列表格；④運用數學公式．1．(2023·杭州)甲煤場有煤518噸，乙煤場有煤106噸，為了使甲煤場存煤是乙煤場的2倍，需要從甲煤場運煤到乙煤場，設從甲煤場運煤x噸到乙煤場，那么可列方程為()A．518＝2(106＋x)B．518－x＝2×106C．518－x＝2(106＋x)D．518＋x＝2(106－x)2．(2023·寧波)分式方程eq\f(2x＋1,3－x)＝eq\f(3,2)的解是____________________．3．(2023·溫州)甲、乙工程隊分別承接了160米、200米的管道鋪設任務，乙比甲每天多鋪設5米，甲、乙完成鋪設任務的時間相同，問甲每天鋪設多少米？設甲每天鋪設x米4．(2023·金華)解分式方程：eq\f(2,x＋1)＝eq\f(1,x－1).【問題】給出以下五個代數式：2x－4，x－2，x，eq\f(1,2)，3.(1)選取其中的幾個代數式，組成一個一元一次方程和一個分式方程；(2)解出(1)中所選的一元一次方程和分式方程．【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理一元一次方程和分式方程的概念，以及它們的解法．類型一等式性質和方程的解的含義eq\a\vs4\al(例1)(1)(2023·杭州)設x，y，c是實數，()A．假設x＝y，那么x＋c＝y－cB．假設x＝y，那么xc＝ycC．假設x＝y，那么eq\f(x,c)＝eq\f(y,c)D．假設eq\f(x,2c)＝eq\f(y,3c)，那么2x＝3y(2)關于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，那么a＝________.(3)關于x的方程eq\f(3x＋n,2x＋1)＝2的解是負數，那么n的取值范圍為______________．【解后感悟】(1)熟記等式的性質并根據等式的性質求解是解題關鍵；(2)此題利用方程的思想，通過方程的解來構造關于a的一元一次方程，求出a值；(3)此題是分式方程的解和解一元一次不等式，關鍵是得出n－2＜0和n－2≠－eq\f(1,2)，注意題目中的隱含條件2x＋1≠0不要忽略．1．(1)等式3a＝2b＋5，那么以下等式中不一定成立的是()A．3a－5＝2bB．3a＋1＝2b＋6C．3ac＝2bc＋5D．a＝eq\f(2,3)b＋eq\f(5,3)(2)如果方程x＋2＝0與方程2x－a＝0的解相同，那么a＝____________________．(3)(2023·成都)x＝3是分式方程eq\f(kx,x－1)－eq\f(2k－1,x)＝2的解，那么實數k的值為()A．－1B．0C．1D類型二一元一次方程的解法eq\a\vs4\al(例2)解方程：x－eq\f(x－1,2)＝2－eq\f(x＋2,3).【解后感悟】(1)去分母，方程兩邊同乘各分母的最小公倍數時，不要漏乘沒有分母的項(尤其是常數項)，假設分子是多項式，那么要把它看成一個整體加上括號；(2)去括號可用分配律，注意符號，勿漏乘．2．解方程：(1)(2023·賀州)解方程：eq\f(x,6)－eq\f(30－x,4)＝5；(2)7x－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)〔x－1〕))＝eq\f(2,3)(x－1)．類型三分式方程的解法eq\a\vs4\al(例3)(2023·營口)假設關于x的分式方程eq\f(2,x－3)＋eq\f(x＋m,3－x)＝2有增根，那么m的值是()A．m＝－1B．m＝0C．m＝3D【解后感悟】此題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程：③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．eq\a\vs4\al(例4)(1)(2023·湖州)解方程：eq\f(2,x－1)＝eq\f(1,x－1)＋1；(2)(2023·陜西模擬)解方程：eq\f(2－x,x－3)＝eq\f(1,3－x)－2.【解后感悟】解分式方程的根本思想是“轉化思想〞，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．3．解分式方程：(1)eq\f(x,x－3)＝eq\f(x－6,3－x)＋3；(2)eq\f(x,x＋1)－eq\f(4,x2－1)＝1.類型四一元一次方程和分式方程的應用eq\a\vs4\al(例5)(2023·寧波)寧波火車站北廣場將于2023年底投入使用，方案在廣場內種植A，B兩種花木共6600棵，假設A花木數量是B花木數量的2倍少600棵．(1)A，B兩種花木的數量分別是多少棵？(2)如果園林處安排26人同時種植這兩種花木，每人每天能種植A花木60棵或B花木40棵，應分別安排多少人種植A花木和B花木，才能確保同時完成各自的任務？【解后感悟】此題主要考查了分式方程的應用，此題關鍵是正確理解題意，找到適宜的等量關系，列出方程．注意不要忘記檢驗．4．(2023·黃岡)黃麻中學為了創立全省“最美書屋〞，購置了一批圖書，其中科普類圖書平均每本的價格比文學類圖書平均每本的價格多5元，學校用12000元購置的科普類圖書的本數與用5000元購置的文學類圖書的本數相等，求學校購置的科普類圖書和文學類圖書平均每本的價格各是多少元？【探索規律題】一種長方形餐桌的四周可坐6人用餐，現把假設干張這樣的餐桌按如圖方式拼接．(1)假設把4張、8張這樣的餐桌拼接起來，四周分別可坐多少人？(2)假設用餐的人數有90人，那么這樣的餐桌需要多少張？【方法與對策】根據尋找的規律，每增加1張這樣的餐桌可增加4人求解即可．這是探索規律題(圖形的變化類)，并利用方程思想來解決．它是中考熱點題之一．【解分式方程去分母時，漏乘整式項，忘記驗根】解分式方程：eq\f(x2－4x,x2－1)＋1＝eq\f(2x,x＋1).參考答案第6講一元一次方程與分式方程及其應用【考點概要】1．整式等式等式相等一1括號同類項2.未知數整式最簡公分母不為03.間接等量關系【考題體驗】1．C2.x＝13.eq\f(160,x)＝eq\f(200,x＋5)4.x＝3【知識引擎】【解析】(1)答案不唯一，2x－4＝3和eq\f(2x－4,x－2)＝eq\f(1,2)；(2)2x－4＝3，解得x＝3.5；eq\f(2x－4,x－2)＝eq\f(1,2)，解得x＝2，代入方程x＝2是方程的增根，舍去，所以，方程無解．【例題精析】例1(1)B；(2)5；(3)解方程eq\f(3x＋n,2x＋1)＝2得x＝n－2.∵關于x的方程eq\f(3x＋n,2x＋1)＝2的解是負數，∴n－2＜0.解得：n＜2.又∵原方程有意義的條件為：x≠－eq\f(1,2)，∴n－2≠－eq\f(1,2)，即n≠eq\f(3,2).∴n＜2且n≠eq\f(3,2).例26x－3(x－1)＝12－2(x＋2)，6x－3x＋3＝12－2x－4，3x＋3＝8－2x，3x＋2x＝8－3，5x＝5，∴x＝1.例3方程兩邊都乘以(x－3)得，2－x－m＝2(x－3)，∵分式方程有增根，∴x－3＝0，解得x＝3，∴2－3－m＝2(3－3)，解得m＝－1.應選A.例4(1)方程兩邊都乘以x－1得：2＝1＋x－1，解得：x＝2，檢驗：∵當x＝2時，x－1≠0，∴x＝2是原方程的解，即原方程的解為x＝2.(2)方程的兩邊同乘(x－3)，得：2－x＝－1－2(x－3)，解得：x＝3，檢驗：把x＝3代入(x－3)＝0，即x＝3不是原分式方程的解．那么原方程無解．例5(1)設B花木數量為x棵，那么A花木數量是(2x－600)棵，由題意得：x＋2x－600＝6600，解得：x＝2400，2x－600＝4200，答：B花木數量為2400棵，那么A花木數量是4200棵；(2)設安排a人種植A花木，由題意得：eq\f(4200,60a)＝eq\f(2400,40〔26－a〕)，解得：a＝14，經檢驗：a＝14是原分式方程的解，26－a＝26－14＝12，答：安排14人種植A花木，12人種植B花木．【變式拓展】(1)C(2)－4(3)D(1)x＝30；(2)x＝－eq\f(5,73).3.(1)解得x＝3，經檢驗x＝3是增根，分式方程無解.(2)x＝－3.4.設文學類圖書平均每本的價格為x元，那么科普類圖書平均每本的價格為(x＋5)元．根據題意，得eq\f(12000,x＋5)＝eq\f(5000,x).解得x＝eq\f(25,7).經檢驗，x＝eq\f(25,7)是原方程的解，且符合題意，那么科普類圖書平均每本的價格為eq\f(25,7)＋5＝eq\f(60,7)元，答：文學類圖書平均每本的價格為eq\f(25,7)元，科普類圖書平均每本的價格為eq\f(60,7)元．【熱點題型】【分析與解】(1)尋找規律：1張這樣的餐桌四周可坐6人，2張這樣的餐桌拼接起來四周可坐6＋4人，3張這樣的餐桌拼接起來四周可坐6＋4×2人，4張這樣的餐桌拼接起來四周可坐6＋4×3人，…n張這樣的餐桌拼接起來四周可坐6＋4(n－1)人．∴4張這樣的餐桌拼接起來四周可坐18人，8張這樣的餐桌拼接起來四周可坐34人．(2)∵n張這樣