高中數學：與面積有關的幾何概型角度1與平面圖形面積相關的幾何概型I 丨21（2019?河南安陽模擬）在邊長為a的正三角形內任取一點q,則點q到三個頂點的距離均大于a的概率是（B）A.—#兀 B.1-活C.3 D.2解析：設邊長為a的正三角形為三角形ABC,如下圖所示:a2,a2,???AB=a，???S三角形ABC=2sSin3=fa2,滿足到正三角形ABC的頂點A、B、C的距離至少有一個小于或等于a的所有點組成的平面區域如圖中陰影部分所示，各部分組合起來構成一個半徑為a的半圓,1??1???$陰影=2(0\?兀?22=I2丿na2~8，na2???使點Q到三個頂點A、B、C的距離都大于2的概率P=1-文2 p3a24=1一 n，故選B.角度2與線性規劃有關的幾何概型角度2與線性規劃有關的幾何概型xWO,（2019?武漢模擬）由不等式組xWO,（2019?武漢模擬）由不等式組＜y$0， 確定的平、y—x—2W0面區域記為0,不等式組］ 確定的平面區域記為礙，在盤中隨機取一點，則該點恰好在礙內的概率為（D）B-4B-47D?8C.4 D.7解析：如圖，由題意知平面區域0的面積SQ1=Saaom=1X2X2117與礙的公共區域為陰影部分，$陰=2—2X1X2=4e由幾何概型得在色內隨機取一點,S47則該點恰好落在礙內的概率P=S陰=2=&"方法技巧與面積有關的幾何概型的常見題型及求解策略（1）幾何概型與平面幾何的交匯問題，其解題思路為：利用平面幾何的相關知識，先確定基本事件對應區域的形狀，再選擇恰當的方法和公式，計算出其面積，進而代入公式求概率；

（2）幾何概型與線性規劃的交匯問題，其解題思路為：先根據約束條件作出可行域，再確定形狀，求面積大小，進而代入公式求概率．“跟蹤訓練2⑴在區間［0,1］隨機抽取2n個數X］,x2，…,xn，尹］,y2，…，yn，構成n個數對（X］,yj,（x2，y2），…，（xn，兒），其中兩數的平方和小于1的數對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率n的近似B.2n值為(CB.2n4nA.—mD.2D.2m解析：由題意得：（xz，尹并=1,2,…，n）在如圖所示的正方形中（含邊界）,而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中（不含圓的邊界）,1nR2S4 n m由幾何概型概率計算公式知P=s^="R廠=4，又P=n，所以正方形nm 4m4=n，所以兀=百yO⑵（2019yO⑵（2019?廣東化州模擬）如圖，正方形ABCD內的圖形來自寶馬汽車車標的里面部分，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形對邊中點連線成軸對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是n解析：設正方形邊長為2，則正方形面積為4，正方形內切圓中1 n的黑色部分的面積S=2XnX12=2，???在正方形內隨機取一點，則此n2兀點取自黑色部分的概率P=4=8.考點三與體積有關的幾何概型14；(1)(20?湖南長沙四縣聯考)如圖，在一個棱長為2的正方體魚缸內放入一個倒置的無底圓錐形容器(與外界相通)，圓錐的底面圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點在魚缸的缸底上，現在向魚缸內隨機地投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內在圓錐外面的魚吃到”的概率是(D)”一 刖]K/[|]11*1\/”V-TOC\o"1-5"\h\z, .n nA-1_4 B口一n -nC.4 D-—豆解析：魚缸底面正方體的體積為23=8,圓錐底面圓的面積為n，12高為2，圓錐的體積為3XnX2=3n.所以“魚食能被魚缸內在圓錐外2n3 n面的魚吃到”的概率是1—育=1—遼，故選D.(2)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點F，則點P到點On的距離大于1的概率為1—方.解析：如圖，與點O距離等于1的點的軌跡是一個半球面，其體積V1=2x4nX1體積V1=2x4nX13=2n.GAB5D0AB2n事件“點P與點O距離大于1的概率”對應的區域體積為23—亍根據幾何概型概率公式得，點P與點O距離大于1的概率P=2n23 ■3_n23 =1—1T"方法技巧與體積有關的幾何概型問題如果試驗的結果所構成的區域的幾何度量可用空間幾何體的體積表示，則其概率的計算公式為：岸_ 構成事件A的區域體積P(A)_試驗的全部結果所構成的區域體積.求解的關鍵是計算事件的總體積以及事件A的體積.(1)(2019?豫東名校聯考)一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,點M是AB的中點，一只蝴蝶在幾何體ADF-BCE內自由飛翔，則它飛入幾何體F—AMCD內的概率為(D)正視圖俯盤圖B?3D.2解析：由題圖可知vf-amcd^3xs正視圖俯盤圖B?3D.2解析：由題圖可知vf-amcd^3xs四邊形AMCD側視圖XDF=^VADF-BCE1

=ja3,4a3i所以它飛入幾何體F-AMCD內的概率為廠=2.(2)(2019?黑龍江五校聯考)在體積為V的三棱錐S-ABC的棱ABV2上任取一點F,則三棱錐S-APC的體積大于3的概率是3.Vi解析：由題意可知嚴C>3,三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APCVS-ABC3的高相同．如圖