2022年四川省巴中市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案及部分解析)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.設函數y=f(x)的導函數，滿足f'(-1)=0，當x＜-1時，f'(x)＜0；x＞-1時，f'(x)＞0．則下列結論肯定正確的是()．A.A.x=-1是駐點，但不是極值點B.x=-1不是駐點C.x=-1為極小值點D.x=-1為極大值點

3.下列結論正確的有A.若xo是f(x)的極值點，則x0一定是f(x)的駐點

B.若xo是f(x)的極值點，且f’(x0)存在，則f’(x)=0

C.若xo是f(x)的駐點，則x0一定是f(xo)的極值點

D.若f(xo)，f(x2)分別是f(x)在(a，b)內的極小值與極大值，則必有f(x1)<f(x2)

4.

5.在空間直角坐標系中，方程2+3y2+3x2=1表示的曲面是()．

A.球面

B.柱面

C.錐面

D.橢球面

6.（）。A.

B.

C.

D.

7.方程x2+y2-z2=0表示的二次曲面是（）。

A.球面B.旋轉拋物面C.圓柱面D.圓錐面

8.

9.

A.3(x+y)

B.3(x+y)2

C.6(x+y)

D.6(x+y)2

10.（）。A.

B.

C.

D.

11.A.6YB.6XYC.3XD.3X^2

12.（）A.A.1B.2C.1/2D.-1

13.

14.下列級數中發散的是（）

A.

B.

C.

D.

15.A.

B.

C.

D.

16.

17.

18.

19.

20.下列函數在指定區間上滿足羅爾中值定理條件的是

A.

B.f(x)=(x-4)2，x∈[-2，4]

C.

D.f(x)=｜x｜，x∈[-1，1]

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.曲線y＝x3—6x的拐點坐標為________．

26.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為______．

27.

28.微分方程y'=0的通解為______．

29.

30.已知∫01f(x)dx=π，則∫01dx∫01f(x)f(y)dy=________。

31.

32.

33.y'=x的通解為______．

34.

35.

36.冪級數的收斂半徑為______．

37.

38.設y=5+lnx，則dy=________。

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.求微分方程的通解．

43.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

44.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

45.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

46.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

47.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

48.

49.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

50.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

51.證明：

52.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

53.

54.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

55.

56.

57.

58.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

59.

60.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

四、解答題(10題)61.

62.求由曲線y2=(x-1)3和直線x=2所圍成的圖形繞x軸旋轉所得的旋轉體的體積.

63.

64.

65.求fe-2xdx。

66.

67.

68.

69.某廠要生產容積為Vo的圓柱形罐頭盒，問怎樣設計才能使所用材料最省?

70.

五、高等數學(0題)71.設f(x)的一個原函數是lnz，求∫f(x)f(x)dx。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D

2.C本題考查的知識點為極值的第一充分條件．

由f'(-1)=0，可知x=-1為f(x)的駐點，當x＜-1時，f'(x)＜0；當x＞-1時，f'(x)＞1，由極值的第一充分條件可知x=-1為f(x)的極小值點，故應選C．

3.B

4.D

5.D對照標準二次曲面的方程可知x2+3y2+3x2=1表示橢球面，故選D．

6.A

7.D因方程可化為，z2=x2+y2，由方程可知它表示的是圓錐面.

8.C

9.C

因此選C．

10.D

11.D

12.C由于f'(2)=1，則

13.D

14.D

15.A

16.C

17.D解析：

18.D

19.B

20.C

21.

22.

23.

24.7

25.(0，0)．

本題考查的知識點為求曲線的拐點．

依求曲線拐點的－般步驟，只需

26.-24本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最大值．

若f(x)在(a，b)內可導，在[a，b]上連續，?？梢岳脤蹬卸╢(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)內的駐點x1，…，xk．

(3)比較f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值為f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相應的點x為f(x)的最大(小)值點．

y=x3-27x+2,

則y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的駐點x1=-3，x2=3，可知這兩個駐點都不在(1，2)內．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為-24．

本題考生中出現的錯誤多為求出駐點x1=-3，x2=3之后，直接比較

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值為f(-3)=56．其錯誤的原因是沒有判定駐點x1=-3，x2=3是否在給定的區間(1，2)內，這是值得考生注意的問題．在模擬試題中兩次出現這類問題，目的就是希望能引起考生的重視．

本題還可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在區間[1，2]上有y'＜0，因此y為單調減少函數。可知

x=2為y的最小值點，最小值為y|x=2=-44．

x=1為y的最大值點，最大值為y|x=1=-24．

27.

28.y=C1本題考查的知識點為微分方程通解的概念．

微分方程為y'=0．

dy=0．y=C．

29.

30.π2因為∫01f(x)dx=π，所以∫01dx∫01(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=(∫01f(x)dx)2=π2。

31.π/2π/2解析：

32.

本題考查的知識點為二重積分的計算．

33.

本題考查的知識點為：求解可分離變量的微分方程．

由于y'=x，可知

34.

35.F(sinx)＋C．

本題考查的知識點為不定積分的換元法．

36.

解析：本題考查的知識點為冪級數的收斂半徑．

注意此處冪級數為缺項情形．

37.0．

本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

38.

39.

40.

41.

42.

43.函數的定義域為

注意

44.

45.

46.由等價無窮小量的定義可知

47.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

48.由一階線性微分方程通解公式有

49.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

50.

列表：

說明

51.

52.

53.

54.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

55.

則

56.

57.

58.

59.

60.由二重積分物理意義