高考數學(shùxué)三輪復習沖刺模擬試題18圓錐曲線的綜合問題一、選擇題x2＋y21、2，若是橢圓上一點P知足1⊥2，那么下邊結論正1．橢圓＝1的焦點是2516FFPFPF確的選項是( )A．P點有兩個B．P點有四個C．P點不必定存在D．P點必定不存在分析：設橢圓的根本量為a，b，c，那么a＝5，b＝4，cF1F2為直徑結構圓，可知圓的半徑r＝c＝3<4＝b，即圓與橢圓不行能有交點，所以橢圓上必定不存在點P知足PF1⊥PF2.應選D.答案：D2．在拋物線：＝22上有一點，假定它到點(1，3)的間隔與它到拋物線C的焦CyxPA點的間隔之和最小，那么點P的坐標是()A．(－2，1)B．(1，2)C．(2，1)D．(－1，2)分析：由題知點A在拋物線內部，依據拋物線定義，問題等價于求拋物線上一點P，使得該點到點A與到拋物線的準線的間隔之和最小，明顯點P是直線x＝1與拋物線的交點，故所求P點的坐標是(1，2)．答案：B3．關于拋物線y2＝4x上隨意一點Q，點P(a，0)知足|PQ|≥|a|，那么a的取值范圍是( )A．(－∞，0)B．(－∞，2]C．[0，2]D．(0，2)22分析(jiy0)，由|PQ|2y02200y2y2－8)≥0，0(0＋16a2y20≥0，∴y20＋16－8a≥0，即a≤2＋y0恒建立．82y0而2＋8的最小值為2，所以a≤2.選B.答案：Bx2y222224．P是雙曲線9－16＝1右支上的一點，M，N分別是圓(x＋5)＋y＝4和(x－5)＋y＝1上的點，那么||－||的最大值為( )PMPNA．6B．7C．8D．9分析：由題知雙曲線的兩個焦點分別是F1(－5，0)，F2(5，0)，那么這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點

P與

M，F1三點一共線以及

P，N，F2三點一共線時所求的值最大，此時|

PM|－|

PN|＝(|

PF1|

＋2)－(|

PF2|

－1)＝9.答案：D5．點

P到圖形

C上每一個點的間隔

的最小值稱為點

P到圖形

C的間隔，那么平面內到定圓的間隔

與到定點

A的間隔相等的點的軌跡不行能是

(

)A．圓

B．橢圓C．雙曲線的一支

D．直線分析：如圖

1，令定點

A

為定圓的圓心，動點

M為定圓半徑

AP的中點，故

|AM|＝|

MP|，此時

M的軌跡為一個圓，圓心為

A，半徑為

AM，故

A可能．如圖2，以F1為定圓的圓心(yuánxīn)，F1P為其半徑，在F1P上截|MP|＝|MA|，∵|PF1|＝r，∴|MF1|＋|PM|＝|MF1|＋|MA|＝r>|F1A|，由橢圓的定義可知，M的軌跡是以F1、A為焦點的橢圓，故B可能．如圖3，以F1為定圓的圓心，F1P為其半徑，延伸F1P到點M，使得|MP|＝|MA|，那么有|1|－||＝，∴|1|－||＝<||，由雙曲線的定義可知，M的軌跡是以1、A為MFPMrMFMArFAF焦點的雙曲線的右支，故C可能．如圖4，定點A在定圓F上，那么知足題意的點M的軌跡是以F為端點的一條射線，故不行能．答案：D二、填空題x2y26．雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的離心率為e＝2，過雙曲線上一點M作直線MA，MB交雙曲線于，兩點，且斜率分別為k1，2，假定直線AB過原點，那么k1·2的值是ABkOk________．分析：設點M(x0，y0)，A(x1，y1)，那么B(－x1，－y1)，k1＝y0－y1y0＋y1，即x－x，k2＝x＋x110022y0－y1k1·k2＝22.x0－x122222－222222b2x0y0x1y1x0x1y0－y1y0－y1b又a2－b2＝1，a2－b2＝1，所以a2－b2＝0，即x02－x12＝a2，所以k1·k2＝a2.又離心率為e＝2，所以k1·k2＝c2－2a2a＝e2－1＝3.故填3.答案(dáàn)：37．橢圓：x22＝1的兩焦點為1、2，點(0，0)知足2＋02≤1，那么|1|＋＋yx0C2FFPxy2yPF|PF|的取值范圍為________．2分析：當P在原點處時，|1|＋|2|獲取最小值2；當P在橢圓上時，|1|＋|2|獲PFPFPFPF得最大值22，故|1|＋|2|的取值范圍為[2，22]．PFPF答案：[2，22]8．拋物線y2＝2px(p≠0)及定點A(a，b)，B(－a，0)，ab≠0，b2≠2pa，M是拋物線上的點．設直線AM、BM與拋物線的另一個交點分別為M1、M2，當M改動時，直線M1M2恒過一個定點，此定點坐標為________．22，2y0－b分析：設y0y1y2，，y2)由點A，M，M1一共線可知M(，y0)，M1(，y1)，M2(y2＝02py1－y0by0－2pa22，得y1＝，y1y0y0－b2p－2p2pa同原因點B，M，M2一共線得y2＝y0.2－1y2－y設(x，y)是直線MM上的點，那么yy2y2y1y，122222p－2p2p－x即y1y2＝y(y1＋y2)－2px，by0－2pa2pa又y1＝y0－b，y2＝y0，那么(2px－by)y2(－)y0＋2(－2)＝0.當＝，＝2pa0＋2時上式恒建立，即pbaxpabypaxayb2pa定點為(a，b)．2pa答案(dáàn)：(a，b)三、解答題29．平面內的動點P到定點F(1，0)和定直線x＝2的間隔之比為常數.2求動點P的軌跡C的方程；設直線l：y＝kx＋m與軌跡C交于M，N兩點，直線FM與FN的傾斜角分別為α，β，且α＋β＝π.證明：直線l過定點，并求出該定點的坐標．〔x－1〕2＋y2222x22分析：(1)設P(x，y)，那么|x－2|＝2，化簡得x＋2y＝2，即2＋y＝1.x22(2)證明：由2＋y＝1，消去y，得y＝kx＋m，222(2k＋1)x＋4kmx＋2m－2＝0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，4km22m－2那么x1＋x2＝－2k2＋1，x1x2＝22＋1，且kFMkx1＋mFNkx2＋mk＝1，k＝2.x－1x－1由α＋β＝π，可得kFM＋kFN＝0，kx＋mkx＋m12即x1－1＋x2－1＝0.化簡，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，24km〔m－k〕所以2k·2m－2－－2m＝0，整理，得m＝－2k，2k2＋12k2＋1所以直線l的方程為y＝k(x－2)，所以直線l過定點，該定點的坐標為(2，0)．x2y210．橢圓C：a2＋b2＝1(a>b>0)與直線x＋y－1＝0訂交于A，B兩點．(1)當橢圓的半焦距c＝1，且a2、b2、c2成等差數列時，求橢圓的方程；在(1)的條件(tiáojiàn)下，求弦AB的長；32(3)當橢圓的離心率e知足3≤e≤2，且以線段AB為直徑的圓經過坐標原點O時，求橢圓長軸長的取值范圍．分析：(1)由得2b2＝a2＋c2＝b2＋2c2，又∵c＝1，∴b2＝2，a2＝3，∴橢圓的方程為x2y2＋＝1.32x＋y－1＝0(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2y2得＋＝1325x2－6x－3＝0，∴x＋x63551212∴|AB|＝2|x－x|＝2·〔x2831xxx.21212x＋y－1＝0(3)由x2y2得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，a2＋b2＝1由＝4a2b2(a2＋b2－1)>0，得a2＋b2>1.2a2a2〔1－b2〕此時x1＋x2＝a2＋b2，x1·x2＝a2＋b2.∵以線段AB為直徑的圓經過坐標原點O，→→∴OA·OB＝0，∴x1·x2＋y1·y2＝0，∴2x1·x2－(x1＋x2)＋1＝0，22－2222a2，即a＋bab＝0，故b＝22a－12c2a2－b22222由e＝a2＝a2，得b＝a－ae，12a＝1＋1－e2.32523由3≤e≤2得4≤a≤2，∴5≤2a≤6.22x2y211．直線(zhíxiàn)l：x＋y＋8＝0，圓O：x＋y＝36(O是坐標原點)，橢圓C：2＋2ab＝1(>>0)的離心率為＝3，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等．abe2求橢圓C的方程；→→→(2)過點(3，0)作直線l，與橢圓C交于A，B兩點，設OS＝OA＋OB(O是坐標原點)，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線長相等？假定存在，求出直線l的方程，假設不存在，說明原因．分析：(1)∵圓心O到直線l：x＋y＋8＝0的間隔為d＝82，＝42直線l被圓O截得的弦長2a＝2R2－d2＝4，∴a＝2，c3222又a＝2，a－b＝c，解得b＝1，c＝3，x22∴橢圓C的方程為：4＋y＝1.→→→(2)∵OS＝OA＋OB，∴四邊形OASB是平行四邊形．假定存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線長相等，那么四邊形OASB為矩形，因→→此有OA⊥OB，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2＋y1y2＝0.直線l的斜率明顯存在，設過點(3，0)的直線l的方程為：y＝k(x－3)，y＝k〔x－3〕由22222－4＝0，x＋y2＝1，得(1＋4k)x－24kx＋36k4由＝(－24k