第2課時基本不等式的應用題型一利用基本不等式證明不等式[經典例題]a2b2c2例1已知a、b、c>0，求證：b＋c＋a≥a＋b＋c.a2b2c2【分析】∵a，b，c，b，c，a均大于0，a2a2∴b＋b≥2b·b＝2a.當且僅當a2＝b時等號成立．bb2b2c＋c≥2c·c＝2b.b2當且僅當c＝c時等號成立．c2c2·＝2c，＋≥2aaaac2當且僅當a＝a時等號成立．相加得a2＋＋b2＋＋c2＋≥2＋2＋2，bbccaaabca2b2c2b＋c＋a≥a＋b＋c.狀元漫筆

判斷a，b，c，a2，b2，c2bca

均大于0

→

證a2＋b≥2ab

b2→證＋c≥2bcc2→證a＋a≥2c

→得所證不等式方法概括(1)在利用

a＋b≥2

ab時，必定要注意能否知足條件

a>0，b>0.a＋b(2)在利用基本不等式

a＋b≥2

ab或

2

≥

ab(a>0，b>0)時要注意對所給代數式經過添項配湊，結構切合基本不等式的形式．此外，在解題時還要注意不等式性質和函數性質的應用．追蹤訓練1已知x>0，y>0，z>0.yzxzxy求證：x＋xy＋yz＋z≥8.證明：由于x>0，y>0，z>0，yz2yz>0，所以x＋x≥xxz2xzy＋y≥y>0，xy2xyz＋z≥z>0，yzxzxy8yz·xz·xy＝8，當且僅當x＝y＝z時等號成立．所以x＋xy＋yz＋z≥xyzyzxzxy分別對x＋x，y＋y，z＋z用基本不等式?同向不等式相乘．題型二利用基本不等式解決實質問題[教材P47例4]例2某工廠要建筑一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m．假如池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么如何設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？【分析】設貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別為xm，ym，水池的總造價為z元．根據題意，有z＝150×4800＋120(2×3x＋2×3y)3240000＋720(x＋y)．由容積為4800m3，可得3xy＝4800.所以

xy＝1600.所以

z≥240000＋720×2

xy，當x＝y＝40時，上式等號成立，此時所以，將貯水池的池底設計成邊長為

z＝297600.40m的正方形時總造價最低，最低總造價是

297600元．狀元漫筆貯水池呈長方體形，它的高是3m，池底的邊長沒有確立．假如池底的邊長確立了，那么水池的總造價就確立了．所以，應該觀察池底的邊長取什么值時，水池的總造價最低．教材反省利用基本不等式解決實質問題的步驟解實質問題時，第一審清題意，而后將實質問題轉變為數學識題，再利用數學知識(函數及不等式性質等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應按以下步驟進行：理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數．成立相應的函數關系式，把實質問題抽象為函數的最大值或最小值問題．在定義域內，求出函數的最大值或最小值．正確寫出答案．追蹤訓練2某漁業企業今年年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈，第一年需要各樣花費12萬元．從第二年起包含維修費在內每年所需花費比上一年增添4萬元．該船每年捕撈總收入50萬元．問捕撈幾年后總盈余最大，最大是多少？問捕撈幾年后的均勻收益最大，最大是多少？分析：(1)設該船捕撈n年后的總盈余y萬元．則nn－1y＝50n－98－12×n＋×42＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，∴當捕撈10年后總盈余最大，最大是102萬元．(2)年均勻收益為y4949n＝－2n＋n－20≤－22n·n－20＝12，49當且僅當n＝n，即n＝7時上式取等號．所以，當捕撈7年后年均勻收益最大，最大是12萬元．狀元漫筆1.盈余等于總收入－支出，注意支出，由兩部分構成．2．利用基本不等式求均勻收益．一、選擇題1．已知a，b，c，是正實數，且a＋b＋c＝1，則1＋1＋1的最小值為( )abcA．3B．6C．9D．12111111abacbc分析：∵a＋b＋c＝1，∴a＋b＋c＝a＋b＋c(a＋b＋c)＝3＋b＋a＋c＋a＋c＋b≥3＋22＋2＝9，當且僅當a＝b＝c＝1時，等號成立．3答案：C2.3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值為( )A．9B.

9232C．3D.2分析：由于－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，則由基本不等式可知，3－aa＋6≤3－a＋a＋693＝，當且僅當3－a＝a＋6，即a＝－時，等號成立．222答案：B3．將一根鐵絲切割成三段做一個面積為4.5m2的直角三角形框架，在以下四種長度的鐵絲中，采用最合理(夠用且浪費最少)的是( )A．9.5mB．10mC．10.5mD．11m分析：不如設直角三角形兩直角邊長分別為a，b，則ab＝9，注意到直角三角形的周長為l＝＋＋2＋2，進而l＝＋＋a2＋2≥2＋2＝6＋32≈10.24，當且僅當abababbababa＝b＝3時，l獲得最小值．從最節約的角度來看，選擇10.5m.答案：C94．已知函數y＝x－4＋x＋1(x>－1)，當x＝a時，y獲得最小值b，則a＋b＝( )A．－3B．2C．3D．8999分析：y＝x－4＋x＋1＝x＋1＋x＋1－5.由x>－1，得x＋1>0，x＋1>0，所以由基本不999等式得y＝x＋1＋＋1－5≥2x＋1×＋1－5＝1，當且僅當x＋1＝＋1，即x＝2時取xxx等號，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案：C二、填空題5．某企業購買一批機器投入生產，據市場剖析，每臺機器生產的產品可獲取的總收益y(單位：萬元)與機器運行時間x(單位：年)的關系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則該企業年均勻收益的最大值是________萬元．分析：每臺機器運行年的年均勻收益為y＝－x＋25，而，故y≤－＝，xx18xx>0x182258當且僅當x＝5時等號成立，此時年均勻收益最大，最大值為8萬元．答案：86．若正實數x，y知足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________．分析：設xy＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，即t2≥22t＋6，(t－32)(t2)≥0，∴t≥32，則xy≥18，當且僅當2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6時等號成立，∴xy的最小值為18.答案：187．某種飲料分兩次抬價，抬價方案有兩種，方案甲：第一次抬價p%，第二次抬價q%；＋q方案乙：每次都抬價2%，若p>q>0，則抬價多的方案是________．分析：設原價為1，則抬價后的價錢為方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，p＋q2方案乙：1＋%，由于1＋p%1＋q%≤1＋p%＋1＋q%p＋q2＝1＋2%，且>>0，pq所以1＋%1＋%<1＋p＋q%，pq2即(1＋p%)(1＋q%)<1＋p＋q%2，2所以抬價多的方案是乙．答案：乙三、解答題118．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：1＋a1＋b≥9.證明：∵a>0，b>0，a＋b＝1，1a＋bb1＋a＝1＋a＝2＋a，a同理，1＋b＝2＋b，11＋a1＋ba2＋a2＋ba5＋2a＋b≥5＋4＝9.∴1＋11＋1≥9(當且僅當＝＝1時等號成立)．abab29．桑基魚塘是廣東省珠江三角洲一種獨具地方特點的農業生產形式，某研究單位打算開發一個桑基魚塘項目，該項目準備購買一塊1800平方米的矩形地塊，中間挖成三個矩形池塘養魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(暗影部分所示)栽種桑樹，魚塘四周的基圍寬均為2米，以下圖，池塘所占面積為S平方米，此中a＝12.b(1)試用x，y表示S；若要使S最大，則x，y的值各為多少？分析：(1)由題可得，xy＝1800，＝2，則y＝＋＋6＝3＋6，＝(x－4)＋(x－baabaSay－6166)b＝(3x－16)a＝(3x－16)3＝1832－6x－3y(x>6，y>6，xy＝1800)．1616(2)方法一S＝1832－6x－3y≤1832－26x×3y＝1832－480＝135216當且僅當6x＝3y，xy＝1800，即x＝40，y＝45時，S獲得最大值1352.1618009600

，9600方法二＝1832－6－×＝1832－6x＋≤1832－26×Sx3xxx832－480＝1352，

x

＝19600，即x＝40時取等號，S獲得最大值，此時y＝1800當且僅當6