×××大學線性代數期末考試題一、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題2分，共10分）1.若，則__________。2．若齊次線性方程組只有零解，則應滿足。3．已知矩陣，滿足，則與分別是階矩陣。4．矩陣的行向量組線性。5．階方陣滿足，則。二、判斷正誤（正確的在括號內填“√”，錯誤的在括號內填“×”。每小題2分，共10分）1.若行列式中每個元素都大于零，則。（）2.零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合。（）3.向量組中，如果與對應的分量成比例，則向量組線性相關。（）4.，則。（）5.若為可逆矩陣的特征值，則的特征值為。()三、單項選擇題(每小題僅有一個正確答案，將正確答案題號填入括號內。每小題2分，共10分)1.設為階矩陣，且，則（）。① ② ③ ④42.維向量組（3sn）線性無關的充要條件是（）。①中任意兩個向量都線性無關②中存在一個向量不能用其余向量線性表示③中任一個向量都不能用其余向量線性表示④中不含零向量3.下列命題中正確的是()。①任意個維向量線性相關②任意個維向量線性無關③任意個維向量線性相關④任意個維向量線性無關4.設，均為n階方陣，下面結論正確的是()。①若，均可逆，則可逆 ②若，均可逆，則可逆③若可逆，則可逆 ④若可逆，則，均可逆5.若是線性方程組的基礎解系，則是的（）①解向量 ②基礎解系 ③通解 ④A的行向量四、計算題(每小題9分，共63分)1.計算行列式。解·2.設，且求。解.，3.設且矩陣滿足關系式求。4.問取何值時，下列向量組線性相關？。5.為何值時，線性方程組有唯一解，無解和有無窮多解？當方程組有無窮多解時求其通解。①當且時，方程組有唯一解；②當時方程組無解③當時，有無窮多組解，通解為6.設求此向量組的秩和一個極大無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示。7.設，求的特征值及對應的特征向量。五、證明題(7分)若是階方陣，且證明。其中為單位矩陣。×××大學線性代數期末考試題答案一、填空題1.5 2. 3. 4.相關 5.二、判斷正誤1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.×三、單項選擇題1.③ 2.③ 3.③ 4.② 5.①四、計算題1.2.，3.4.當或時，向量組線性相關。5.①當且時，方程組有唯一解；②當時方程組無解③當時，有無窮多組解，通解為6.則，其中構成極大無關組，7.特征值，對于λ1＝1，，特征向量為五、證明題∴，∵一、選擇題（本題共4小題，每小題4分，滿分16分。每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1、設，為n階方陣，滿足等式，則必有（）(A)或;(B)；（C）或;(D)。2、和均為階矩陣，且，則必有（）(A)；(B)；（C）.(D)。3、設為矩陣，齊次方程組僅有零解的充要條件是（）(A)的列向量線性無關；(B)的列向量線性相關；（C）的行向量線性無關；(D)的行向量線性相關.4、階矩陣為奇異矩陣的充要條件是（）(A)的秩小于；(B)；(C)的特征值都等于零；(D)的特征值都不等于零；二、填空題（本題共4小題，每題4分，滿分16分）5、若4階矩陣的行列式，是A的伴隨矩陣，則=。6、為階矩陣，且，則。7、已知方程組無解，則。8、二次型是正定的，則的取值范圍是。三、計算題（本題共2小題，每題8分，滿分16分）9、計算行列式10、計算階行列式四、證明題（本題共2小題，每小題8分，滿分16分。寫出證明過程）11、若向量組線性相關，向量組線性無關。證明：(1)能有線性表出；(2)不能由線性表出。12、設是階矩方陣，是階單位矩陣，可逆，且。證明（1）；（2）。五、解答題（本題共3小題，每小題12分，滿分32分。解答應寫出文字說明或演算步驟）13、設，求一個正交矩陣使得為對角矩陣。14、已知方程組與方程組有公共解。求的值。15、設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3，已知，，是它的三個解向量，且，求該方程組的通解。解答和評分標準一、選擇題1、C；2、D；3、A；4、A。二、填空題5、-125;6、；7、-1；8、。三、計算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：第二列減第一列，第四列減第三列得：（4分）按第一行展開得按第三列展開得。（4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通過行列式的變換化為上三角形行列式（4分）（4分）四、證明題11、證明：(1)、因為線性無關，所以線性無關。，又線性相關，故能由線性表出。(4分)，（2）、（反正法）若不，則能由線性表出，不妨設。由（1）知，能由線性表出，不妨設。所以，這表明線性相關，矛盾。12、證明（1）（4分）（2）由（1）得：，代入上式得（4分）五、解答題13、解：（1）由得的特征值為，，。（4分）（2）的特征向量為，的特征向量為，的特征向量為。（3分）（3）因為特征值不相等，則正交。（2分）（4）將單位化得，，（2分）（5）取（6）（1分）14、解：該非齊次線性方程組對應的齊次方程組為因，則齊次線性方程組的基礎解系有1個非零解構成，即任何一個非零解都是它的基礎解系。（5分）另一方面，記向量，則直接計算得，就是它的一個基礎解系。根據非齊次線性方程組解的結構知，原方程組的通解為，。（7分）15、解：將=1\*GB3①與=2\*GB3②聯立得非齊次線性方程組:若此非齊次線性方程組有解,則=1\*GB3①與=2\*GB3②有公共解,且=3\*GB3③的解即為所求全部公共解.對=3\*GB3③的增廣矩陣作初等行變換得:.（4分）1°當時，有，方程組=3\*GB3③有解,即=1\*GB3①與=2\*GB3②有公共解,其全部公共解即為=3\*GB3③的通解，此時，則方程組=3\*GB3③為齊次線性方程組，其基礎解系為:,所以=1\*GB3①與=2\*GB3②的全部公共解為，k為任意常數.（4分）2°當時，有，方程組=3\*GB3③有唯一解,此時，故方程組=3\*GB3③的解為:,即=1\*GB3①與=2\*GB3②有唯一公共解.（4分）線性代數習題和答案第一部分選擇題(共28分)單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式=m，=n，則行列式等于（）A.m+n B.-(m+n)C.n-m D.m-n2.設矩陣A=，則A-1等于（）A. B.C. D.3.設矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則A*中位于（1，2）的元素是（）A.–6 B.6C.2 D.–24.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（）A.A=0 B.BC時A=0C.A0時B=C D.|A|0時B=C5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（）A.1 B.2C.3 D.46.設兩個向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關，則（）A.有不全為0的數λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全為0的數λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全為0的數λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全為0的數λ1，λ2，…，λs和不全為0的數μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.設矩陣A的秩為r，則A中（）A.所有r-1階子式都不為0 B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個r階子式不等于0 D.所有r階子式都不為08.設Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則下列結論錯誤的是（）A.η1+η2是Ax=0的一個解 B.η1+η2是Ax=b的一個解C.η1-η2是Ax=0的一個解 D.2η1-η2是Ax=b的一個解9.設n階方陣A不可逆，則必有（）A.秩(A)<n B.秩(A)=n-1C.A=0 D.方程組Ax=0只有零解10.設A是一個n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是（）A.如存在數λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量B.如存在數λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3個互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬于λ1，λ2，λ3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關11.設λ0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于λ0的線性無關的特征向量的個數為k，則必有（）A.k≤3 B.k<3C.k=3 D.k>312.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）A.|A|2必為1 B.|A|必為1C.A-1=AT D.A的行（列）向量組是正交單位向量組13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）A.A與B相似B.A與B不等價C.A與B有相同的特征值D.A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）A. B.C. D.第二部分非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。15..16.設A=，B=.則A+2B=.17.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.設向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=.19.設A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為.20.設A是m×n矩陣，A的秩為r(<n)，則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系中含有解的個數為.21.設向量α、β的長度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內積（α+β，α-β）=.22.設3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為.23.設矩陣A=，已知α=是它的一個特征向量，則α所對應的特征值為.24.設實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數為3，則其規范形為.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.設A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.試計算行列式.27.設矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組α1=，α2=，α3=，α4=.試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數。29.設矩陣A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30.設矩陣A=的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標準形f(x1,x2,x3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，ξ1，ξ2是其導出組Ax=0的一個基礎解系.試證明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2線性無關。答案：一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.616.17.418.–1019.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數20.n-r21.–522.–223.124.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.解（1）ABT==.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·（-2）=-12826.解==27.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以B=(A-2E)-1A==28.解一所以α4=2α1+α2+α3，組合系數為（2，1，1）.解二考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數為（2，1，1）.29.解對矩陣A施行初等行變換A=B.（1）秩