第十一節函數模型及其應用——熱門考點題型探析一、復習目標：1．認識指數函數、對數函數以及冪函數的增加特點。知道直線上漲、指數增加、對數增加等不一樣函數種類增加的含義。2．認識函數模型（如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中廣泛使用的函數模型）的寬泛應用。3．能利用給定的函數模型解決簡單的實質問題。二、重難點：要點：掌握一次函數、二次函數、指數函數、對數函數等基本初等函數模型；培育閱讀理解、成立數學模型和剖析問題、解決問題的能力掌握解函數應用問題的基本步驟。難點：成立數學模型和剖析問題、解決問題的能力的培育。三、教課方法：講練聯合，探析概括。四、教課過程（一）、熱門考點題型探析考點1一次函數、二次函數模型的應用[例1]某地域上年度電價為0.8元/（千瓦·時），年用電量為a千瓦·時.今年度計劃將電價降到0.55元／（千瓦·時）至0.75元／（千瓦·時）之間，而用戶希望電價為0.4元／（千瓦·時）.經測算，下調電價后新增的用電量與實質電價和用戶希望電價的差成反比（比例系數為k）.該地域電力的成本價為0.3元／（千瓦·時）。（1）寫出今年度電價下調后，電力部門的利潤y與實質電價x的函數關系式；（2）設k＝0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的利潤比上年起碼增加20%?〔注：利潤＝實質用電量×（實質電價－成本價）〕[解題思路]先依據題意寫出利潤y與實質電價x的函數關系式，而后再列出不等式求解k[分析]（1）設下調后的電價為x元／（千瓦·時），依題意知用電量增至x0.4＋a，電k力部門的利潤為y＝（x0.4＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）.(0.2aa)(x0.3)[a(0.80.3)](120%),x0.4（2）依題意有0.55x0.75.x21.1x0.30,整理得0.55x0.75.解此不等式得0.60≤x≤0.75.答：當電價最低定為0.60元／（千瓦·時）時，仍可保證電力部門的利潤比昨年起碼增加20%.[反省概括]函數應用問題是高考的熱門，解函數應用問題的基本步驟：第一步：閱讀理解，審清題意。讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字表達，理解表達所反應的實質背景，在此基礎上，剖析出已知什么，求什么，從中提煉出相應的數學識題。第二步：引進數學符號，成立數學模型。一般地，設自變量為x，函數為y，必需時引入其他有關協助變量，并用x、y和協助變量表示各有關量，而后依據問題已知條件，運用已掌握的數學知識、物理知識及其余有關知識成立關系式，在此基礎大將實質問題轉變為一個函數問題，實現問題的數學化，即所謂成立數學模型。第三步：利用數學的方法將獲得的慣例函數問題（即數學模型）予以解答，求得結果。第四步：將所得結果再轉譯成詳細問題的解答。考點2指數函數、對數函數模型的應用[例2]小紅此刻是初一的學生，父親母親準備為他在銀行存20000元，作為5年后上大學的費用，假如銀行整存整取的年利率以下：利息稅為1年期2年期3年期5年期20%，則小紅父母應當選擇怎項目樣的存款方式，可使5年年利率ri1.98%2.25%2.52%2.79%后所贏利潤最大．請說明理由．[解題思路]小紅父親母親存款的方式能夠有多種選擇，但為了保證最大利潤，應當按照以下原則：（1）5年結束時，所存款項應當恰巧到期（不然以活期記，損失較大）；（2）假如存兩次（或兩次以上），則第2次存款時，應當將第1次存款所得本息和所有存入銀行．為表達方便，用Pnm表示把a元本金，先存一次n年期，再存一次m年期所得本息和．如：P112表示先存2個1年期，再存一個2年期所得本息和．第一，能夠考慮下邊的問題：PnmPmn能否成立？即把a元本金，先存一次n年期，再存一次m年期與先存一次m年期，再存一次n年期，所得本息和能否同樣？Pkaakrk4a145krk因為5，所以，Pnma14nrn14mrmPmn55[分析]依據以上剖析，我們只要考慮下邊的幾種狀況：P111111,P11112,P1113，P1122，P15,P123，P222，P33．方法之一是直接計算，但運算量相對較大．為此，我們能夠考慮下邊的方法：4242P11r1a11.032aPPa11.98%（1）比較155，1與2的大小關系：由于P2a142r2a1422.25%1.036a55，所以，P11<P2．所以，只要考慮上述八種狀況中的：P15,P123，P222，P33．（2）比較P21和P3的大小．P12a141.98%1242.25%1.052a55，P3a1342.52%1.060aPPPPP5，所以，521<3．所以，只要比較1，222，33．P1a14452.79%1.129a51.98%1由于：55，43432.52%2P22a122.25%1.112aP3a11.125a2535，．所以，P15最大，即小紅父親母親應當選擇先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）贏利最多．這與我們往常的認識是一致的．[反省概括]此題的目的是經過剖析、計算找尋問題的最優解．但是，假如經過窮舉得出結論，計算可能就較為復雜了，所以，需要優化的不不過結果，還有運算的過程；此外要注意：在區間(0,)上，函數yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函數，但它們的增加速度不一樣。跟著x的增大，yax(a1)的增加速度愈來愈快，會超出并遠遠大于yxn(n0)的增加速度，表現為指數爆炸；而ylogax(a1)的增加速度愈來愈慢；yax(a1)的圖像漸漸表現為與y軸平行，ylogax(a1)的圖像漸漸表現為與x軸平行。所以總會存在一個x0，當xx0時，有logaxxnax。考點3分段函數模型[例3]經過研究學生的行為，心理學家發現，學生的接受能力依靠于教師引入觀點和描繪問題所用的時間.講座開始時，學生的興趣急增；中間有一段不太長的時間，學生的學習興趣保持較理想的狀態，隨后學生的學習興趣開始分別.剖析結果和實驗表示，用f(x)表示學生掌握和接受觀點的能力，x表示提出和講解觀點的時間（單位分）能夠用公式：（1）開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？能連續多長時間？（2）一個數學難題，需要55的接受能力以及13分鐘時間，教師可否實時在學生向來達到所需接受能力的狀態下講解完這個難題？[分析]（1）當0x10時，f(x)0.1x22.6x43=0.1(x13)259.9，故其遞加，最大值為f(10)59，明顯在16x30上，f(x)遞減，f(x)59，所以開講后10分鐘達到最強的接受狀態，并保持6分鐘.（2）當0x10時，令f(x)55，得x6；1當16x30時，令f(x)55x17，得3；所以學生達到55的接受能力的時間教師來不及在學生達到最正確接受狀態時就結束講解。[反省概括]求解數學應用題一定打破三關：（1）閱讀理解關：一般數學應用題的文字閱讀量都比較大，要經過閱讀審題，找出要點詞、句，理解其意義．（2）建模關：即成立實質問題的數學模型，將其轉變為數學識題．（3）數理關：運用適合的數學方法去解決已成立的數學模型．考點4函數模型的綜合應用[例4]運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米行程,按交通法例限制50x100(單位:千米/小時).假定汽油的價錢是每升2元,而汽車每小時耗油2x2y對于x的表達式；（Ⅱ）360升,司機的薪資是每小時14元。（Ⅰ）求此次行車總花費當x為什么值時,此次行車的總花費最低,并求出最低花費的值（精準到小數點后兩位，103.16）。[解題思路]依據題意成立y與x的函數關系，而后再求y的最小值t130(h)（Ⅰ）設行車所用時間為x∴y1302(2x2)14130x[50.100].xx,360yy130182130x,x[50.100].所以，此次行車總花費對于x的表達式是：x360y234013x,x[50.100]（或：x18）y130182130x261082.16（Ⅱ）x360，130182130x,即x181056.88當且僅當x360時，上述不等式中等號成立ymin82.16答：當x約為56.88km/h時，此次行車的總花費最低，最低花費的值約為82.16元.[反省概括]求解數學應用題的一般步驟為：讀題建模求解反應用數學模型方法解決問題的步驟可用框圖表示以下：（二）、加強穩固訓練某廠家擬在2010年舉行促銷活動，經檢查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）xxk3(k為常數)萬件與年促銷花費m萬元（m≥0）知足m1，假如不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只好是1萬件。已知2008年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價錢定為每件產品年均勻成本的1.5倍（產品成本包含固定投入和再投入兩部分資本，不包含促銷花費）。（1）將2008年該產品的利潤y萬元表示為年促銷花費m萬元的函數；（2）該廠家2008的促銷花費投入多少萬元時，廠家的利潤最大？m0時,x1(萬件)13k,即k2,x3m2.解：（1）由題意可知，當，1816x1.5x每件產品的銷售價錢為（元），m16(m1)21680時,（2）m1，y82921,當且僅當161,即m3m21（萬元）。m1（萬元）時，ymax所以該廠家2006年的促銷花費投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大值為21萬元。（三）、小結反省：1．將實質問題轉變為函數模型，比較常數函數、一次函數、指數函數、對數函數模型的增加差別，聯合實例領會直線上漲、指數爆炸、對數增加等不一樣函數種類增長的含義。2．如何選擇數學模型剖析解決實質問題，數學應用問題形式多樣，解法靈巧。在應用題的各樣題型中，有這樣一類題型：信息由表格數據的形式給出，要求對數據進行合理的轉變辦理，成立數學模型，解答有關的實質問題。解答此類題型主要有以下三種方法：1）直接法：若由題中條件能明顯確立需要用的數學模型，或題中直接給出了需要用的數學模型，則可直接代入表中的數據，問