【優質】4.1平面向量基本定理課堂練習一、單選題1．《跳舞的線》是一款音樂類游戲，要求玩家用雙眼觀察障礙物與陷阱，用雙耳聆聽節奏，根據音樂引線條通過多重地形，最終抵達終點．玩家每點擊一次屏幕，線條將會旋轉，且為順時針、逆時針交替轉向．如圖是游戲中“沙漠”一關的截圖，線條從點前進到點有兩條路徑：①和②．假設轉彎不改變線條的速度，則兩條路徑所需時間一定相同，這一點可以由某定理保證．這個定理是（????）A．平面向量基本定理 B．共線向量基本定理C．有一內角為直角的平行四邊形是矩形 D．兩直線平行，同旁內角互補2．在長方形ABCD中，E為CD的中點，設，，則等于（????）A． B． C． D．3．如圖所示，在中，，，，AD為BC邊上的高，M為AD的中點，若，則的值為（????）A． B． C． D．4．在平面四邊形中，已知的面積是的面積的2倍.若存在正實數使得成立，則的最小值為（????）A．1 B．2 C．3 D．45．設中邊上的中線為，點滿足，則（????）A． B．C． D．6．在等邊中，O為重心，D是的中點，則（????）A． B． C． D．7．數學家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設點分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（????）A． B．C． D．8．如圖平面四邊形ABCD中，，則可表示為（????）A． B．C． D．9．在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，若，則（????）A．1 B． C． D．10．在平面四邊形中，已知的面積是的面積的3倍.若存在正實數使得成立，則的值為（????）A．10 B．9 C．8 D．711．在△ABC中，，M為AD的中點，，則=（????）A． B． C． D．12．在△中，點D滿足=，直線與交于點，則的值為（????）A． B． C． D．13．如圖，在平行四邊形中，E是的中點，若，，則等于（????）A． B．C． D．14．在中，為邊上的中線，E為的中點，則（????）A． B．C． D．15．已知中，，，與交于點，且，，則（????）A． B． C． D．16．中，是邊上靠近的三等分點，則向量（????）A． B．C． D．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F是線段AE上靠近點A的三等分點，則等于（????）A． B． C． D．18．如圖，在中，M為BC的中點，，則m＋n＝（????）A．1 B． C． D．2

參考答案與試題解析1．A【分析】根據平面向量的基本定理可得出結論.【詳解】由圖可知，從點到點的兩條路徑①和②，這兩條路徑的起點和終點都相同，由平面向量的基本定理可知，若轉彎不改變線條的速度，結合圖形可知，兩條路徑在行進的兩個方向的路程相同，則兩條路徑所需時間一定相同.故選：A.2．C【分析】根據給定條件，利用向量加法法則及共線向量，列式求解作答.【詳解】在長方形ABCD中，E為CD的中點，則，而，，所以.故選：C3．D【分析】利用平面向量的加法、數乘運算以及平面向量的基本定理即可求解.【詳解】因為在中，，,，為邊上的高，所以在中，，又，，為的中點，，，，故選：D.4．A【分析】由面積比得，再利用三點共線可得出的關系，從而利用基本不等式可求得的最小值．【詳解】如圖，設與交于點，由的面積是的面積的2倍，可得，所以，又三點共線，即共線，所以存在實數使得，因為，所以，消去k，可得，又因為，所以，當且僅當，即時等號成立．所以的最小值為1．故選：A．5．A【分析】由中線向量公式得到；由，利用線型運算得到，進而利用向量的減法運算得到結論.【詳解】因為中邊上的中線為，所以，因為，所以，所以，所以，所以．故選：.6．D【分析】根據給定條件，利用平面向量的線性運算計算作答.【詳解】O為的重心，延長AO交BC于E，如圖，E為BC中點，則有，而D是的中點，所以.故選：D7．D【分析】根據三點共線和長度關系可知AB正誤；利用向量的線性運算可表示出，知CD正誤.【詳解】依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，，，，A錯誤，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.8．D【分析】利用向量的線性運算的幾何表示即得.【詳解】∵，∴，∵，又，∴，即.故選：D.9．C【分析】根據平面向量減法和加法的運算法則，結合平面向量基本定理進行求解即可.【詳解】因為D為BC中點，E為AD中點，所以，因為由平面向量基本定理得，，，則，故選：C.10．A【分析】連接，設與交于點，過點作于點，過點作與點，由面積比得，再利用三點共線可得出的關系，從而可求解．【詳解】如圖，連接，設與交于點，過點作于點，過點作與點.若的面積是的面積的3位，則.根據相似三角形的性質可知，，所以，所以設因為，所以，所以.故選：A.11．A【分析】利用向量的線性運算直接求得.【詳解】取為基底.利用向量的線性運算可得：，所以，所以=.故選：A12．C【分析】根據向量的減法運算及共線向量計算，可得出即可求解.【詳解】設,則,，且，共線，則，所以所以，解得，此時，所以，故.故選：C13．D【分析】利用平面向量線性運算，即可用基底表示.【詳解】∵，∴.故選：D.14．B【分析】首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，向量的運算法則，用基底表示，從而求得結果.【詳解】由D為中點，根據向量的運算法則，可得，故選：B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量減法的三角形法則，考查了轉化能力，尤其注意向量減法運算的方向問題.15．B【分析】利用可得，再利用可得，可得關于的方程組，解方程組即求.【詳解】∵，，與交于點，且，，∴，又，∴，解得，∴.故選：B.16．C【分析】利用向量的三角形法則以及線性運算法則進行運算，即可得