可編輯版/雙曲線知識點及題型總結目錄雙曲線知識點21雙曲線定義：22.雙曲線的標準方程：23.雙曲線的標準方程判別方法是：24.求雙曲線的標準方程25.曲線的簡單幾何性質26曲線的內外部37曲線的方程與漸近線方程的關系38雙曲線的切線方程39線與橢圓相交的弦長公式3高考題型解析3題型一：雙曲線定義問題3題型二：雙曲線的漸近線問題4題型三：雙曲線的離心率問題4題型四：雙曲線的距離問題5題型五：軌跡問題6高考例題解析6練習題7雙曲線知識點1雙曲線定義：①到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長〔＜|F1F2|的點的軌跡〔〔為常數這兩個定點叫雙曲線的焦點．要注意兩點：〔1距離之差的絕對值.〔22a＜|F1F當|MF1|－|MF2|=2a時,曲線僅表示焦點F2當|MF1|－|MF2|=－2a時,曲線僅表示焦點F1當2a=|F1F2|時,軌跡是一直線上以F1、F當2a＞|F1F②動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數e<e＞1>時,這個動點的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲線的焦點,定直線l叫做雙曲線的準線2.雙曲線的標準方程：和〔a＞0,b＞0.這里,其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數是正數,則焦點在x軸上；如果項的系數是正數,則焦點在y軸上.對于雙曲線,a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣,通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.4.求雙曲線的標準方程,應注意兩個問題：⑴正確判斷焦點的位置；⑵設出標準方程后,運用待定系數法求解.5.曲線的簡單幾何性質－=1〔a＞0,b＞0⑴范圍：|x|≥a,y∈R⑵對稱性：關于x、y軸均對稱,關于原點中心對稱⑶頂點：軸端點A1〔－a,0,A2〔a,0⑷漸近線：①若雙曲線方程為漸近線方程②若漸近線方程為雙曲線可設為③若雙曲線與有公共漸近線,可設為〔,焦點在x軸上,,焦點在y軸上④特別地當離心率兩漸近線互相垂直,分別為y=,此時雙曲線為等軸雙曲線,可設為；y=x,y=－x⑤與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是⑥與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是6曲線的內外部<1>點在雙曲線的內部.<2>點在雙曲線的外部.7曲線的方程與漸近線方程的關系<1若雙曲線方程為漸近線方程：.<2>若漸近線方程為雙曲線可設為.<3>若雙曲線與有公共漸近線,可設為〔,焦點在x軸上,,焦點在y軸上.8雙曲線的切線方程<1>雙曲線上一點處的切線方程是.〔2過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.〔3雙曲線與直線相切的條件是.9直線與雙曲線相交的弦長公式若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB,A、B兩點分別為A<x1,y1>、B<x2,y2>,則弦長,這里體現了解析幾何"設而不求"的解題思想；高考題型解析題型一：雙曲線定義問題1."ab<0”是"曲線ax2+by2=1為雙曲線"的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件2.若,則""是"方程表示雙曲線"的<>A.充分不必要條件.B.必要不充分條件.C.充要條件.D.既不充分也不必要條件.3.給出問題：F1、F2是雙曲線－=1的焦點,點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9,求點P到焦點F2的距離.某學生的解答如下：雙曲線的實軸長為8,由||PF1|－|PF2||=8,即|9－|PF2||=8,得|PF2|=1或17.該學生的解答是否正確？若正確,請將他的解題依據填在下面橫線上；若不正確,將正確結果填在下面橫線上._________.4.過雙曲線x2-y2=8的左焦點F1有一條弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是雙曲線的右焦點,則△PF2Q的周長是.題型二：雙曲線的漸近線問題1.雙曲線－=1的漸近線方程是<>A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.過點〔2,－2且與雙曲線－y2=1有公共漸近線的雙曲線方程是<>A.－=1B.－=1C.－=1D.－=1題型三：雙曲線的離心率問題1已知雙曲線eq\f<x2,a2>－\f<y2,b2>=1<a＞0,b＞0>的左右焦點分別為F1、F2,點P在雙曲線的右支上,且∣PF1∣=4∣PF2∣,則此雙曲線的離心率e的最大值為〔A．eq\f<4,3> B．eq\f<5,3> C．２ D．eq\f<7,3>2.已知是雙曲線的左、右焦點,過且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點,若是正三角形,那么雙曲線的離心率為<>A.B.C.2D.33.過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是<>A.B.C.D.4.在給定雙曲線中,過焦點垂直于實軸的弦長為,焦點到相應準線的距離為,則該雙曲線的離心率為<>A.B.2C.D.25..已知雙曲線<a>0,b<0>的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是A.<1,2>B.<1,2>C.[2,+∞>D.<2,+∞>題型四：雙曲線的距離問題1.設P是雙曲線－=1上一點,雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y=0,F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點.若|PF1|=3,則|PF2|等于<>A.1或5B.6C.7D.92.已知雙曲線的右焦點為F,若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此直線斜率的取值范圍是A.<,>B.<-,>C.[,]D.[-,]3.已知圓C過雙曲線－=1的一個頂點和一個焦點,且圓心在此雙曲線上,則圓心到雙曲線中心的距離是____________.題型五：三角形問題雙曲線左右焦分別為F1、F2,P為雙曲線上一點,則P為雙曲線上的點,F1、F2為其焦點,雙曲線的離心率為,且,若的面積為9,則a+b=雙曲線左右焦分別為F1、F2,P為雙曲線上一點,且,則設橢圓和雙曲線的公共焦點分別為F1、F2,P為這兩條曲線的一個交點,則的值為雙曲線左右焦分別為F1、F2,P為雙曲線上一點,且,若的面積為雙曲線的右頂點為A,右焦點為F,過F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B,求三角形AFB的面積雙曲線左右焦分別為F1、F2,P為雙曲線上一點,當三角形F1PF2的面積為1時,題型六：最值問題O和F〔-2,0分別為雙曲線的中心和左焦點,P為雙曲線右支上的任意一點,的范圍是的左頂點為A1,右焦點為F2,P是雙曲線右支上的一點,則的最小值為平面區域D是又雙曲線的兩條漸近線和直線6x-y-8=0所圍成三角形的邊界及內部,當〔x,y時,x2+y2+2x的最大值為定義則方程有唯一的解時,求k的取值范圍雙曲線的離心率為2,則最小值為題型七：軌跡問題1.已知橢圓x2+2y2=8的兩焦點分別為F1、F2,A為橢圓上任一點。AP是⊿AF1F2的外角平分線,且=0.則點P的軌跡方程是.2.雙曲線x2－y2=4的兩焦點分別為F1、F2,A為雙曲線上任一點。AP是∠F1AF2的平分線,且=0.則點P的軌跡是〔A.橢圓的一部分B.雙曲線的一部分C.圓的一部分D.拋物線的一部分3求與圓及都外切的動圓圓心的軌跡方程高考例題解析1.已知是雙曲線的左、右焦點,P、Q為右支上的兩點,直線PQ過,且傾斜角為,則的值為<>AB8CD隨的大小變化2.過雙曲線的右焦點作直線交曲線于A、B兩點,若則這樣的直線存在<>A0條B1條C2條D3條3.直線與曲線的交點個數是<>A0個B1個C2個D3個4.P為雙曲線上一點,為一個焦點,以為直徑的圓與圓的位置關系為<>A內切B外切C內切或外切D無公共點或相交5.設是雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線上且滿足,則的面積為<>A1BC2D6.設是雙曲線的左、右焦點,P在雙曲線上,當的面積為1時,的值為<>A0B1CD27.過點A〔0,2可以作___條直線與雙曲線x2－＝1有且只有一個公共點8．過點P<4,4>且與雙曲線eq\f<x2,16>－eq\f<y2,9>＝1只有一個交點的直線有<>A．1條B．2條C．3條D．4條9.P為雙曲線x2－eq\f<y2,15>＝1右支上一點,M、N分別是圓<x＋4>2＋y2＝4和<x－4>2＋y2＝1上的點,則|PM|－|PN|的最大值為________．.直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點A、B。〔Ⅰ求實數的取值范圍；〔Ⅱ是否存在實數,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在,求出的值。若不存在,說明理由。〔XX卷9.已知兩定點滿足條件的點P的軌跡是曲線E,直線ｙ＝kx－1與曲線E交于A、B兩點?！并袂螅氲娜≈捣秶?；〔Ⅱ如果且曲線E上存在點C,使求。本小題主要考察雙曲線的定義和性質、直線與雙曲線的關系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分14分。練習題1.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F<,0>,直線y=x－1與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標為﹣,則此雙曲線的方程是〔A．=1B．=1C．=1D．=12.雙曲線虛軸的一個端點為M,兩個焦點為F1、F2,∠F1MF2=120°,則雙曲線的離心率為〔A.B.C.D.3、已知雙曲線＝1〔a＞0,b＞0的右焦點為F,右準線與一條漸近線交于點A,△OAF的面積為〔O為原點,則兩條漸近線的夾角為〔A．30o B．45o C．60oD．90o4、已知雙曲線的兩個焦點為,,P是此雙曲線上的一點,且,,則該雙曲線的方程是 A．B．C． D．5、已知F1、F2是雙曲線的兩焦點,以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是 A． B． C．D．6