集合與函數概念

瞄［本章綜述

現代數學是用集合語言描述的，數學靠它強大的邏輯力量成為刻畫自然科學和社會科學的科學語言和

有效工具，深刻理解掌握這些概念、基本方法是成功跨入數學大門的前提。本章以集合知識為重點，涉及

的多是集合的基本運算，其中與不等式結合的含參試題體現了區分度。充分條件與必要條件這一節是必考

內容，由于本章節內容的工具性，因此相關試題的特點必然是綜合其他知識，但主要是與其他各章節的最

基礎的知識相結合，突顯難度的試題不多，學習本章的總則：以集合為中心，簡易邏輯化歸為集合。

竿雄隼：位人號寸〒

教材要點學科素養學考高考考法指津高考考向

1.函數的概念數學抽象水平1水平21.理解函數的概念和函

數的三要素，尤其是對

2.函數的三要素數學抽象水平2水平2應關系的實質。

【考查內容】函數的定義

2.掌握函數定義域、值域、值域的求法。

3.區間的概念與應用數學運算水平1水平1

域的求法，并能根據其

【考查題型】選擇題、填

意義解決一些逆向問

空題

題。

4.復合函數與抽象函數數學抽象水平1水平2【分值情況】5分

3.理解復合函數的概

念，能求一些復合函數

知識通關

一、集合的含義

知識點1元素與集合的概念

(1)元素：一般地，把研究對象統稱為元素，常用小寫的拉丁字母。，仇C,…表示.

(2)集合：一些元素組成的總體，簡稱集，常用大寫拉丁字母…表示.

(3)集合相等：指構成兩個集合的元素是一樣的.

(4)集合中元素的特性：確定性、互異性和無序性.

知識點2元素與集合的關系

關系概念記法讀法

Q￡A

屬于如果a是集合A的元素，就說。屬于集合/a屬于集合A

a^A

不屬于如果。不是集合/中的元素，就說。不屬于集合4a不屬于集合A

知識點3常用數集及表示符號

非負整數集

數集正整數集整數集有理數集實數集

(自然數集)

符號NN*或N*ZQR

題型一集合的判定問題

規律方法判斷一組對象能否構成集合的依據例1、下列每組對象能否構成一個集合：

(1)我們班的所有高個子同學；

(2)不超過20的非負數；

(3)直角坐標平面內第一象限的一些點;

(4)V3的近似值的全體.(3)中由于“較胖”的標準不明確，不滿足

集合元素的確定性，所以不能構成一個集合。

解析：

(1)“高個子”沒有明確的標準，因此不能構成

集合.題型二元素與集合的關系

規律方法判斷元素與集合關系的兩個關鍵點

(2)任給一個實數x,可以明確地判斷是不,是

“不超過20的非負數”，即“04x〈20”與

判斷一個元素是否屬于一個集合，一要明確

"%>20曲<0",兩者必居其一，且僅居其一，故

集合中所含元素的共同特征，二要看該元素是否

“不超過20的非負數”能構成集合；

滿足該集合中元素的共同特征.

(3)“一些點”無明確的標準，對于某個點是

否在.“一些點”中無法確定，因此“‘直角坐標平面

內第一象限的一些點”不能構成集合；

例2、(1)給出下列關系：②叵史Q：

⑷“百的近似值”不明確精確到什么程度，

因此很難判斷一個數如“2”是不是它的近似值，③|一3|2N；@|-V3e2|；⑤0后N.其中正確的

所以“V3的近似值”不能構成集合.

個數為()

A.1B.2C.3D.4

【變式訓練1】(2)集合A中的元素x滿足-9—eN,xwN,則集

3-x

下列每組對象是否構成一個集合：

合A中的元素為

(1)數學必修一課本中所有的難題；

(3)集合A={x|x=4+,判斷

(2)方程V—16=0在實數范圍內的解；

下列元素0,——,廣?L

與集合A的關系

V2-1V3-V2

(3)高一年級全體較胖的學生。

(4)己知集合加={(x,y)|x+y=2},

解析：

N={(x,y)|x—y=4},若aeMELaeN,

(1)“難題”無明確的標準，對于某個題是

否“難”無法客觀地判斷，因此不能構成一個集合;

那么a為()

(2)任給一個實數“X”，可以明確地判斷

A.{3,-1}B.(3,-1)

是否是該方程的解，兩者必居其一，因此能構成一

個集合；C.{(3,-1)}D.{x=3,y=—1}

解析：x=3

程組的解，即《且4是元素而不是集合。

U=T

(1)①②正確；③④⑤不正確.

答案⑴B(2)0,1,2

3-x

(3)OGA,—7=^—￡A,」「€A

V2-1V3-V2

...當x=0時”-9—=2eN,x=0滿足題意;

3-x

(4)B

當x=l時，4-=3eN,，x=l滿足題意；

【變式訓練2】

3-x

(1)用適當的符號填空：

當工=2時，-9—=6eN,；.x=2滿足題意；

3-x已知A={x|x=3攵+2,攵￡Z},

當x>3時，一9一<0不滿足題意，B={x\x=6m—l.meZ},則有：

3-x

17A；-5A；17Bo

所以集合A中的元素為0,1,2.

(2)已知集合M={JC|X=3〃,"￡Z},

(3)由于工=。+

N={X|X=3〃+1,〃￡Z},

二①當〃=匕=0時，x=O,0eA

P={x\x=3n-\.n^Z}

②以—=V2+1=1+V2

且。￡知,〃￡?/,(?￡2，設4=。一/?+。，則()

V2-1

，當。=。=1時，。+41b=1+V2A.d￡MB.deN

C.d^PD.以上都不對

解析：

③-1_=百+痣(1)由3女+2=17,解得左=5wZ/.17GA；

V3-V2

7

由3攵+2=—5解得攵=——eZ,???一5宏A；

當a=yfi,人=1時，a+yplb—V3+V2,3

由6m—1=17解得〃2=36Z,17eB0

但A/3任Z-；=產任Ao

V3-V2

(2)設a=3n,b-3m+1,c—35—1,m,〃，5GZ

(4)。是方程x+y=2和x-y=4聯立的方

則d=3n-(3m+1)+(3s-1)

=3(n-m+s)-2當a=—l時，A={-3-3,12},

=3(“一zn+s—1)+1不符合集合中元素的互異性，舍去；

，deN故選B37

當a=—二時，A={——-3,12},滿足題意

22

答案(1)G/e(2)B

3

故a=—

題型三集合中元素的特性2

規律方法利用集合中元素的互異性求參數的策答案-士3

略及注意點2

(1)策略：根據集合中元素的確定性，可以解

出字母的所有可能值，再根據集合中的元素的互【變式訓練3】

異性對集合中的元素進行檢驗.已知集合A={a+2,(a+l)2,/+3。+3},

(2)注意點：利用集合中元素的互異性解題若leA,求實數a的值。

解析：

(1)若。+2=1,則a=—1,此時A={1,O,1},

例3、已知集合A={a-2,2a2+5a,12}，且—3eA與集合中元素的互異性矛盾，舍去；

求。的值。(2)若(a+l)2=1,則a=0或a=—2

解析：當。=0時，A={2,1,,3},滿足題意；

由于—3eA,故一3為集合A中的元素，因此

當a=—2時，A={0,1,1},與集合中元素的互

—3=a—2或一3=2。2+5。，分別解這兩個方程異性矛盾，舍去；

再檢驗即可。

(3)若。2+3。+3=1,則a=—1或a=—2由

VA={a-2,2a2+5a,12},且一3eA上述過程知，都不滿足題意；綜上所述，a=0

答案0

/.—3=a—2或—3=2a2+5a

?3

解得a=—1或a=—

2二、集合的表示

知識點集合的表示方法(2)8={x[(x-l)2(x-2)=0}；

(1)列舉法：

(3)Af={(x,y)|x+y=4,xeN”,ywN“'}

①定義：把集合的元素一一列舉出來，并用花

括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法：(4)P=

6-x

②形式：A={a,a,a,...,a].

i2in解析：

(2)描述法：(1)V|x|<2,XGZ

①定義：用集合所含元素的共同特征表示集合

—2<x<2,xGZ

的方法稱為描述法；

**?x——2,—1,0,1,2

②寫法：在花括號內先寫上表示這個集合元素

的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，r.A={-2-1Al,2}

在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

(2)和2是方程(x—l)2(x—2)=0的根,

B={1,2}

(3)???x+y=4”N*,yeN",

題型四用列舉法表示集合

X=\px=2x=3

規律方法用列舉法表示集合的三個注意點或<t<

y=3y=2I)'T

(1)用列舉法表示集合時，首先要注意元素

是數、點，還是其他的類型，即先定性.AAf={(1,3),(2,3),(3,1)}

(2)列舉法適合表示有限集，當集合中元素

(4)<~^—WN,XGN

個數較少時，用列舉法表示集合比較方便.6-x

(3)搞清集合是有限集還.是無限集是選擇6

----20日口6—x>0

6-x即’

x>0x>0

/.0<x<6,

/.x=0,1,2,3,4,5

例4、用列舉法表示下列集合:

當x=0,3,4,5這4個自然數時,

(1)A={x|國<2,xeZ}；

二^=1,2,3,6也是自然數,x要滿足條件x=K,

6-xq

〃={0,3,4,5}123

.,.￡={0,4)

【變式訓練4】

用列舉法表示下列集合：

(1)C={y|y=-x~+4,xeN,yeN}

題型五用描述法表示集合

(2)￡>={(%,y)|y--x2+4,xeN,y^N}；

規律方法用描述法表示集合的注意點

(3)E={x[E=x,p+q=5,peN,qeN*1。

q

(1)“豎線”前面的xeR可簡記為x；

解析：

(2)“豎線”不可省略；

(1)由y=-/+4,xeN,ywN知

(3)p(x)可以是文字語言，也可以是數學符

0<y<4,0<x<2號語言，能用數學符號表示的盡量用數學符號表

示；

...x=0,1,2時，y=4,3,0,符合題意,

AC={0,3,4}

(2)?.?點(x,y)滿足條件

2

y=-x+4,x&N,y&N,則有例5、用描述法表示下列集合：

x—0,x—1,x—2,(1)正偶數集；

<<?

7=4,[y=3,[y=0,

(2)被3除余2的正整數的集合；

.?.￡>={(0,4),(1,3),(2,0))

(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合.

(3)依題意知p+q=5,peN,qeN”,

解析：

p=0,〃=1,1p=2,p=3/〃=4,(1)偶數可用式子x=2〃,〃eZ表示，但此題要

則《<

<7=5,q=4,q=3,q—2,q=1.求為正偶數，故限定〃eN*,所以正偶數集可表示

為{x|x=2〃,〃eN*\.{(x,y)|x<0,y>0}.

(2)設被3除余2的數為x,則x=3〃+2,【變式訓練5-2】

neZ,但元素為正整數，故x=3〃+2,〃eN,

用描述法表示圖中陰影部分點(含邊界)的

所以被3除余2的正整數集合可表示為坐標的集合.

{x|x=3〃+2,“wN}.

(3)坐標軸上的點(x,y)的特點是橫、縱坐標中

至少有一個為0,即盯=0,故.坐標軸上的點的集

合可表示為{(x,y)|孫=0}.

【變式訓練5-1】解析：

用描述法表示平面直角坐標系中位于第二本題是用圖形語言給出的問題，要求把圖形

象限的點的集合.語言轉換為符號語言.用描述法表示(即用符號語

言表示)為

解析：

31

位于第二象限的點(x,y)的橫坐標為負，縱坐{(x,y)|-l<x<-,--<y<l,xy>0}

標為正，即x<0,y>0,故第二象限的點的集合為

思維拓展

-設實數集s是滿足下面兩個條件的集合

考向一集合中的探索性問題

①1三s;②若aes,則——es

\-a

規律方法

集合離不開元素，元素是集合的核心，所以(1)求證：若aes,則1-工es;

解決有關集合中的探索性問題，可以先從元素入a

手，作為解題的切入點。解此題關鍵在于由已知

(2)若2es,則在s中必含有其他的兩個數，試求

aeA,aR1,得至U---GA,-----：—sA,然后

l-?i―1.出這兩個數；

1-67

(3)求證：集合s中至少有三個不同的元素。

逐步探索，再根據集合中元素的互異性，從而將

問題加以解決.(3)中用到反證法的解題思想.解析：

綜上所述，集合S中至少有三個不同的元素。

(1)證明：由aes,則一—es

\-a【變式訓練6】

可得——ws.

數集"滿足條件：若aeM,則

"一且。70).若3eM,

\—a

則在M中還有三個元素是什么？

解析：

故若aws,貝V3eM,=-2eM,

a1-3

.1+(—2)

--&M,

(2)由2es,貝ij---=_1Gs',■,1-(-2)3

1-2

由一1es,則——-——=—e5,

1-(-1)2

而當時，一［=2es,又回到了開始

2I-1

2

因此當2es時，只有另兩個元素一les,又：-2-=3eM

2

1--

2

(3)證明：由(2)知aes時，--—￡5,1-—€5

1-42a

.,.在M中還有三個元素一2,—1,g.

下證a,—,1-4三者兩兩互不相等

\-aa

①若a=-L,即/一。+1=0,無解，答案一2,-；,2

1-a

考向二集合中含參問題

②若a=l—L,即。+1=0,無解，規律方法集合中含參問題的處理方法

a

所以a71——；分類討論是一種重要的數學思想，也是一種

a

重要的數學方法，它適用于解答從整體上難以解

③若」一=1一,，即/一。+1=0,無解,決的數學問題。它適用于解答從整體上難以解決

\-aa的數學問題。運用分類討論思想解決問題時，把

所以一1—所給的已知條件的集合進行科學的劃分十分必要，

\-aa必須遵循不重不漏和最簡的原則，其一般步驟是：

(1)考察分類討論的原因和必要性；

(2)明確討論對象，確定對象的范圍：

(3)確定分類標準，進行合理分類，做到不重不漏;

(4)逐類討論，獲得階段性結果：

已知集合M=[-2,3x2+3x-4,x2+x-4],

若2GM,求x

解析：

例7、已知集合A={x,xy,,

\xy當3x~+3x—4=2時，即x?+x—2—0,

則x=-2或x=l.

5={0,|乂,訓且4=6,則（x,y）=

解析：經檢驗，x=—2,x=l均不合題意.

由已知OeB,A=B,貝ij

當x?+x—4=2時，即x~+x—6-0,

集合A中必有一個元素是0,

則x=-3或r=2

當x=O或呼=0時，則分母無意義，

經檢驗，x=-3或c=2均合題意.

故A中必然是、二--1=0,

綜上所述，x=-3^x=2.

v^y

答案-3或2

解得孫=1,

由此推測B中必有一個元素為1,考向三集合與方程的綜合問題

故分W=1和y=1兩種情況討論，

規律方法集合與方程的綜合問題的解題思路

若國=1,解得X=±l;

（1）弄清方程與集合的關系，往往用集合表示

當x=1時，?.?孫=1,，y=1,

方程的解集，集合中的元素就是方程的根。

則集合A={l,l,0},與集合的互異性矛盾，舍去；

（2）當方程中含有參數時，若方程是一元二次

當％=-1時，則y=-l,方程，則應綜合應用一元二次方程的相關知識

求解。若知道其解集，利用根與參數的關系，

此時集合A={-1,1,0},B={0-1,1,）滿足題意；

可快速求出參數的值（或參數之間的關系）；

若y=l,由前面可知，與集合互異性矛盾，舍去;

若知道解集中元素個數，利用判別式可求參數

綜上所述，x=_l,y=_l的取值范圍。

答案（-1,-1）

【變式訓練7】

9

-

答案(1)a＞8

』

例8、已知集合4=卜6班氏2-3%+2=0,。￡尺｝=(A停

(2)當

(1)若A中不含有任何元素，求a的取值范圍94

A于

當。=-

(2)若A中只有一個元素，求。的值，并把這個8={

元素寫出來

、9

(3)a-0或a＞—

(3)若A中至多有一個元素，求。的取值范圍8

解析：【變式訓練8】

集合A是方程以2—3%+2=0在實數范圍內A是由方程ax2+2x+l=0(awR)的實數根組

的解集成的集合。

(1)A中不含有任何元素，

即方程以2-3x+2=0無解，則

(1)當A中有兩個元素時，求a的取值范圍；

2

①當。=0時，a？-3x+2=0的解為》=一，不(2)當A中沒有元素時，求a的取值范圍；

3

合題意(3)當A中有且僅有一個元素時，求a的值，并

求出此元素。

QW09

②，解得〃＞三

△=(—3)2—8。＜08解析：

(1)當A中有兩個元素時，即

2

(2)當。=0時，方程有一解為X=—；

3

方程辦2+2x+1=0有兩個不相等的實數根

9

當時，△=(),即。=—時，方程有兩相等

8.??。/0,且&=4-4。＞0,解得口＜1且。/0

的實數根，

(2)當A中沒有元素時，即

,4

即A中只有一個元素為x=—

3

方程以2+2%+1=0沒有實數根

9

所以當”=0或。=—時，A中只有一個元素，

8/.a豐0,且A=4—4。＜0,解得a＞1

分別為2*或？4

33(3)當A中有且僅有一個元素時，

(3)A中至多有一個元素，包括A中不含有元素和

即方程aV+2x+l=0有一個實數根

A中只有一個元素兩種情況，據(1)(2)的結果,

a

得a=0或或兩個相等的實數根。則

8

①當。=0時，方程的根為x=—,；

(3)當a=0時，A={--}；

22

②當awO時，A=4—4a=0,解得”=1,當a=l時，A={—1}

此時x=-l

故當a=0時，x=；當a=l時，x=-l

2

答案（1）a<l且a/0

（2）a>\綜合訓練

客［A組基礎演練

一、選擇題

1..下列各組對象不能構成集一合的是（）

A.所有直角三角形

B.拋物線y=N上的所有點

C.某中學高一年級開設的所有課程

D.充分接近小的所有實數

解析：A、B.、C中的對象具備“三性”，而D中的對象不具備確定性.

答案D

2.給出下列關系：

①gdR；@V2?ER；③|一3|GN；④|一小|WQ.

其中正確的個數為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：①③正確.

答案B

3.下列各組中的兩個集合M和N,表示同一集合的是（）

A.M={n},N={3.14159}

B.M={2,3},N={（2,3）}

C.-14W1,x《N},N={\}

D.M={1,S，n},N={n，1,|一點|}

解析：選項A中兩個集合的元素互不相等，選項B中兩個集合一個是數集，一個是點集,

選項C中集合M={0』},只有D是正確的.

答案D

4.已知集合4中只含1,層兩個元素，則實數“不能取（）

A.1B.-1

C.-1和1.D.1或一1

解析：由集合元素的互異性知，。2/1,即aW±l.

答案C

5.集合{xGN*lx-3<2}的另一種表示法是（）

A.{0,123,4}B.{1,2,3,4）

C.{0,1,234,5}D.{1,2,3,4,5}

解析："：x-3<2,xGN*,xCN*,

.?.x=l,2,3,4.故選B-.

答案B

6.己知集合4={0,1,片},5={1知,2a+3},若A=B，則〃=()

A.-1或3B.0或-1C.3D.-1

解析：由于A=8，故/=2。+3，解得a=—1或a=3.

當〃=一1時，/=],與集合元素互異性矛盾，故。=一1不正確.

經檢驗可知a=3符合.

答案C

二、填空題

7.若a,b^R,且aWO,后0,則呼+耳的可能取值所組成的集合中元素的個數為

解析：當必＞0時，號+臂=2或-2.

當岫＜0時，囤+粵=0,

ab

因此集合中含有一2,0,2三個元素..

答案3

8.集合M中的元素y滿足y^N,且y=l—若則a的值為

解析：由y=l—且yCN知，

y=0或1,.,.集合M含0和1兩個元素，又

.'.a—0或1.

答案0或1

9.設集合A={1,-2,/_]},B={I,蘇―3。,0},.若從，8相等，則實數a=—

a2—1=0,

解析：：由集合相等的概念得，解得a=l.

la2-3a=~2,

答案：1

10.已知集合A={x|2r+a＞0},且1初，則實數a的取值范圍是.

解析：陣{x|2v+tf>.0},

；.2Xl+aW0,即aW-2.

答案aW—2

三、解答題

11.(1)已知集求M；

(2)已知集合.C={T&CZWeN},求C.

解析：(l)：xWN,2WZ,

；.l+x應為6的.正約數.

；.l+x=1,