專題4.1立體圖形的初步認識【九大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1幾何體的認識及分類】 1【題型2棱柱的概念及特征】 3【題型3點、線、面、體的關系】 5【題型4立體圖形的計算】 7【題型5正方體的平面展開圖】 9【題型6立體圖形的展開與折疊】 10【題型7立體圖形的截面形狀及面積】 12【題型8從不同方向看幾何體的形狀】 14【題型9由形狀圖判斷幾何體】 16【知識點1立體圖形的認識】有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、球等）的各部分不都在同一個平面內，這就是立體圖形．【知識點2常見的幾何體分類】立體圖形除了按照柱體、錐體、球分類，也可以按照圍成幾何體的面是否有曲面劃分：①有曲面：圓柱、圓錐、球等；②沒有曲面：棱柱、棱錐等.【題型1幾何體的認識及分類】【例1】（2022秋?市南區期中）下面七個幾何體中，是棱柱的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據直棱柱的特征進行判斷即可．【解答】解：如圖，根據棱柱的特征可得，①是三棱柱，②是球，③圓錐，④三棱錐，⑤正方體，⑥圓柱體，⑦六棱柱，因此棱柱有：①⑤⑦，故選：B．【變式1-1】（2022?懷化期末）與圖中實物圖相類似的立體圖形按從左至右的順序依次是（）A．圓柱、圓錐、正方體、長方體 B．圓柱、球、正方體、長方體 C．棱柱、球、正方體、棱柱 D．棱柱、圓錐、棱柱、長方體【分析】根據常見實物與幾何體的關系解答即可．【解答】解：與圖中實物圖相類似的立體圖形按從左至右的順序依次是圓柱、球、正方體、長方體．故選：B．【變式1-2】（2022?定西期末）圍成下列立體圖形的各個面中，每個面都是平面的是（）A． B． C． D．【分析】根據每個幾何體的面是否是平面進行判斷即可．【解答】解：三棱柱的兩個底面是三角形，三個側面是長方形，它們都是平面，因此三棱柱符合題意，故選：C．【變式1-3】（2022?海陽市期末）如圖，小明在一個有蓋可密封的正方體盒子里裝了一定量的水，他不斷改變正方體盒子的放置方式（假設盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的幾何體，則下列選項中可能是盒子里的水形成的幾何體是（）①長方體；②正方體；③圓柱體；④三棱錐；⑤三棱柱A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤【分析】根據正方體的特征即可求解【解答】解：根據題意可知，盒子里的水能形成的幾何體是長方體，三棱柱，三棱錐；不可能是正方體．故選：D．【知識點3棱柱的有關概念及其特征】①在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側面的交線叫做側棱，棱柱所有側棱長都相等，棱柱的上下底面的形狀、大小相同，并且都是多邊形；棱柱的側面形狀都是平行四邊形.②棱柱的頂點數、棱數和面數之間的關系：底面多邊形的邊數n確定該棱柱是n棱柱，它有2n個頂點，3n條棱，n條側棱，有n+2個面，n個側面.【題型2棱柱的概念及特征】【例2】（2022?金臺區校級月考）下列說法不正確的是（）A．四棱柱是長方體 B．八棱柱有10個面 C．六棱柱有12個頂點 D．經過棱柱的每個頂點有3條棱【分析】從棱柱的底面的形狀可以對A選項做出判斷；從八棱柱有8個側面，2個底面，對選項B做出判斷，從頂點數，以及棱與棱的交點情況對選項C、D做出判斷．【解答】解：四棱柱的底面若是一般的四邊形，不是長方形，就不是長方體，因此A選項是不正確的，符合題意，八棱柱有8個側面，2個底面，共有10個面，因此B選項不符合題意，六棱柱上底面有六個頂點，下底面也有6個頂點，共有12個頂點，因此選項C不符合題意，面與面相交成線，線與線相交于點，因此經過棱柱的每個頂點有3條棱，不符合題意，故選：A．【變式2-1】（2022?成都月考）如圖形狀的四張紙板，按圖中線經過折疊可以圍成一個直三棱柱的是（）A． B． C． D．【分析】根據直三棱柱的特點作答．【解答】解：A、圍成三棱柱時，兩個三角形重合為同一底面，而另一底面沒有，故不能圍成直三棱柱；B、D的兩底面不是三角形，故也不能圍成直三棱柱；只有C經過折疊可以圍成一個直三棱柱．故選：C．【變式2-2】．（2022?本溪期中）某棱柱共有8個面，則它的棱數是18．【分析】根據六棱柱的形狀進行填空即可．【解答】解：某棱柱共有8個面，則它是六棱柱，它的棱數是6×3＝18．故答案為：18．【變式2-3】（2022?單縣期末）如圖四個幾何體分別是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5個面，9條棱，6個頂點，觀察圖形，下列說法正確的有（）①n棱柱有n個面；②n棱柱有3n條棱；③n棱柱有2n個頂點．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】結合已知三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特點，可知n棱柱一定有（n+2）個面，3n條棱和2n個頂點．【解答】解：∵是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5個面，9條棱，6個頂點，∴n棱柱一定有（n+2）個面，3n條棱和2n個頂點，故①錯誤，②③正確，故選：C．【知識點4點、線、面、體的關系】①體與體相交成面，面與面相交成線，線與線相交成點．

②點動成線，線動成面，面動成體．③點、線、面、體組成幾何圖形，點、線、面、體的運動組成了多姿多彩的圖形世界．【題型3點、線、面、體的關系】【例3】（2022?黃山校級月考）點動成線，線動成面，面動成體．比如：（1）圓規在紙上劃過會留下一個封閉的痕跡，這種現象說明點動成線．（2）冬天環衛工人使用下部是長方形的木锨推雪時，木锨過處，雪就沒了，這種現象說明線動成面．（3）一個人手里拿著一個綁在一根棍上的半圓面，當這個人把這個半圓面繞著這根棍飛快地旋轉起來時就會看到一個球，這種現象說明面動成體．【分析】根據點、線、面、體的關系解答即可．【解答】解：點動成線，線動成面，面動成體．（1）點動成線；（2）線動成面；（3）面動成體．故答案為：線，面，面；（1）點動成線；（2）線動成面；（3）面動成體．【變式3-1】（2022?平陰縣期末）下面的幾何體，是由A、B、C、D中的哪個圖旋轉一周形成的（）A． B． C． D．【分析】根據面動成體，可得A圖旋轉一周形成圓臺這個幾何體，【解答】解：根據面動成體，可知A圖旋轉一周形成圓臺這個幾何體，故選：A．【變式3-2】（2022?花溪區期末）下列幾何體中可以由平面圖形繞某條直線旋轉一周得到的是（）A． B． C． D．【分析】根據平面圖形繞某條直線旋轉一周得到的幾何體必須有曲面判斷即可．【解答】解：∵平面圖形繞某條直線旋轉一周得到的幾何體必須有曲面，且矩形沿其一條邊旋轉得到圓柱體，∴B選項符合題意，故選：B．【變式3-3】（2022?宿豫區期末）如圖：CD是直角三角形ABC的高，將直角三角形ABC按以下方式旋轉一周可以得到右側幾何體的是（）A．繞著AC旋轉 B．繞著AB旋轉 C．繞著CD旋轉 D．繞著BC旋轉【分析】根據直角三角形的性質，只有繞斜邊旋轉一周，才可以得出組合體的圓錐，進而解答即可．【解答】解：將直角三角形ABC繞斜邊AB所在直線旋轉一周得到的幾何體是，故選：B．【題型4立體圖形的計算】【例4】（2022?雁塔區校級月考）如圖是一個長為3cm，寬為2cm的長方形紙片，若將長方形紙片繞長邊所在直線旋轉一周，得到的幾何體的體積為12πcm3．（結果保留π）【分析】將長方形紙片繞長邊所在直線旋轉一周，得到的幾何體是底面半徑為2cm，高為3cm的圓柱體，根據體積計算公式進行計算即可．【解答】解：將長方形紙片繞長邊所在直線旋轉一周，得到的幾何體是底面半徑為2cm，高為3cm的圓柱體，所以：體積為：π×22×3＝12πcm3，故答案為：12π．【變式4-1】（2022?膠州市一模）如圖所示是一種棱長分別是2cm，3cm，4cm的長方體積木，現要用若干塊這樣的積木來搭建大長方體，如果用6塊積木來搭，那么搭成的大長方體的表面積最小是168cm2．【分析】如果用6塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是長4cm，寬3×2＝6cm，高2×3＝6cm的長方體的表面積，根據長方體的表面積公式即可求解．【解答】解：長4cm，寬3×2＝6（cm），高2×3＝6（cm），（4×6+4×6+6×6）×2＝（24+24+36）×2＝84×2＝168（cm2）答：如果用6塊積木來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是168cm2．故答案為：168．【變式4-2】（2022?市南區校級二模）如果圓柱的側面展開圖是相鄰兩邊長分別為8，8π的長方形，那么這個圓柱的體積等于128或128π．【分析】分兩種情況：①底面周長為8高為8π；②底面周長為8π高為8；先根據底面周長得到底面半徑，再根據圓柱的體積公式計算即可求解．【解答】解：①底面周長為8高為8π，π×（82π）2×8＝π×16π＝128；②底面周長為8π高為8，π×（8π2π）2＝π×16×8＝128π．答：這個圓柱的體積可以是128或128π．故答案為：128或128π．【變式4-3】（2022春?黃浦區期末）已知一個無蓋的長方體容器，它的長寬高之比為2：3：4，且棱長總和為36cm．求這個長方體容器外表面積的最大值．【分析】設長方體的長寬高分別為2x厘米，3x厘米，4x厘米，根據題意列出方程可得x的值，進而可求這個長方體容器外表面積的最大值．【解答】解：設長方體的長寬高分別為2x厘米，3x厘米，4x厘米，根據題意得，2x+3x+4x＝36÷4，解得x＝1，所以長方體的長寬高分別為2厘米，3厘米，4厘米，所以外表面積的最大值是：2×3+3×4×2+2×4×2＝46（平方厘米）．答：這個長方體容器外表面積的最大值是46平方厘米．【知識點5正方體的平面展開圖】正方體是特殊的棱柱，它的六個面都是大小相同的正方形，將一個正方體的表面展開，可以得到11種不同的展開圖，把它歸為四類：一四一型有6種；二三一型有3種；三三型有1種；二二二型有一種.正方體展開圖口訣：

①一線不過四;田凹應棄之；

②找相對面：相間，“Z”端是對面；③找鄰面：間二，拐角鄰面知.【題型5正方體的平面展開圖】【例5】（2022?濟南期末）下列圖形中，不是正方體表面展開圖的是（）A． B． C． D．【分析】根據正方體展開圖的11種形式對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：由正方體四個側面和上下兩個底面的特征可知：A，C，D選項可以拼成一個正方體，而B選項，上底面不可能有兩個，故不是正方體的展開圖．故選：B．【變式5-1】（2022?南開區期末）如圖是一個正方體紙盒的展開圖，當折成紙盒時，與數11重合的數是1和7．【分析】由正方體展開圖的特征得到結論．【解答】解：由正方體展開圖的特征得出，折疊成正方體后，點11所在的正方形分別和點7、點1所在的兩個正方形相交，故點1與點7、點1重合．故答案為1和7.【變式5-2】（2022?商丘三模）如圖1，是由五個邊長都是1的正方形紙片拼接而成的，現將圖1沿虛線折成一個無蓋的正方體紙盒（圖2）后，與線段FC2重合的線段是（）A．NB2 B．MN C．B1B2 D．MA2【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．【解答】解：將圖1沿虛線折成一個無蓋的正方體紙盒，則A2D2和A2M重合，MN和C2D2重合，NB2和FC2重合．故選：A．【變式5-3】（2022?張家口一模）如圖，是一個正方體的展開圖，這個正方體可能是（）A． B． C． D．【分析】結合正方體的展開圖中圓點所在面的位置，把展開圖折疊再觀察其位置，即可得到這個正方體．【解答】解：把展開圖折疊后，只有B選項符合圖形，故選：B．【題型6立體圖形的展開與折疊】【例6】（2022?龍山縣期末）如圖A、B、C、D四個圖形，它們能折疊成的立體圖形依次是圓柱，五棱柱，圓錐，三棱柱．【分析】依據展開圖的特征進行判斷，即可得到它們能折疊成的立體圖形的名稱．【解答】解：由題可得，A能折疊成的立體圖形為圓柱，B能折疊成的立體圖形為五棱柱，C能折疊成的立體圖形為圓錐，D能折疊成的立體圖形為三棱柱．故答案為：圓柱，五棱柱，圓錐，三棱柱．【變式6-1】（2022?蒲城縣一模）如圖是某個幾何體的展開圖，該幾何體是（）A．三棱柱 B．四棱柱 C．圓柱 D．圓錐【分析】根據三棱柱的展開圖解答．【解答】解：由圖可知，該幾何體的兩個底面是正三角形，且有3個側面，側面都是矩形，故這個幾何體是三棱柱．故選：A．【變式6-2】（2022?市北區一模）如圖，在各選項中，可以從左邊的平面圖形折成右邊封閉的立體圖形的是（）A． B． C． D．【分析】四棱錐有四個三角形的側面，故A選項不正確，將B中展開圖折疊為長方體，因此B選項正確，C選項不能折疊成正方體，D顯然不正確．【解答】解：將B選項中的展開圖經過折疊可以得到長方體，故選：B．【變式6-3】（2022春?肥鄉區月考）如圖，經過折疊可以圍成一個長方體的圖形有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．【解答】解：第一個圖形，第四個圖形都能圍成四棱柱；第二個圖形缺少一個面，不能圍成棱柱；第三個圖形折疊后底面重合，不能折成棱柱．故選：C．【知識點6截一個幾何體】截面：用一個平面去截一個幾何體，截出的面叫做截面．

截面的形狀隨截法的不同而改變，一般為多邊形或圓，也可能是不規則圖形，一般的截面與幾何體的幾個面相交就得到幾條交線，截面就是幾邊形，因此，若一個幾何體有幾個面，則截面最多為幾邊形．【題型7立體圖形的截面形狀及面積】【例7】（2022?鄆城縣期中）一個圓柱的底面半徑是10cm，高是18cm，把這個圓柱放在水平桌面上，如圖所示．（1）如果用一個平面沿水平方向去截這個圓柱，所得的截面是什么形狀？（2）如果用一個平面沿豎直方向去截這個圓柱，所得的截面是什么形狀？（3）怎樣截時所得的截面是長方形且長方形的面積最大，請你求出這個截面面積．【分析】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形狀與圓柱體的底面相同，是圓形的；（2）用豎直的平面去截，所得到的截面形狀為長方形的；（3）求出當截面最大時，長方形的長和寬，即可求出面積【解答】解：（1）所得的截面是圓；（2）所得的截面是長方形；（3）當平面沿豎直方向且經過兩個底面的圓心時，截得的長方形面積最大，這時，長方形的一邊等于圓柱的高，長方形的另一邊等于圓柱的底面直徑，則這個長方形的面積為：10×2×18＝360（cm2）．【變式7-1】（2022?朝陽區校級期末）如圖所示，把一個高為10厘米的圓柱切成若干等份，拼成一個近似的長方體．如果這個長方體的底面積是50平方厘米，那么圓柱體積是500立方厘米．【分析】根據圓柱的體積公式計算即可．【解答】解：由題意得：50×10＝500（立方厘米），∴圓柱體積是500立方厘米，故答案為：500．【變式7-2】（2022?畢節市期中）用一個平面去截一個幾何體，截面可能是長方形的幾何體是（）A．①③ B．②③ C．①② D．②①【分析】截面的形狀是長方形，說明從不同的方向看到的立體圖形的形狀必有長方形或正方形，由此得出長方體、正方體、圓柱用一個平面去截一個幾何體，可以得到截面的形狀是長方形．【解答】解：用一個平面去截一個幾何體，如果截面的形狀是長方形，原來的幾何體可能是長方體、正方體、圓柱．故選：A．【變式7-3】（2022?彭澤縣期中）如圖是棱長為2cm的正方體，過相鄰三條棱的中點截取一個小正方體，則剩下部分的表面積為24cm2．【分析】由于是在正方體的頂點上截取一個小正方體，去掉小正方形的三個面的面積，同時又多出小正方形的三個面的面積，表面積沒變，由此求得答案即可．【解答】解：過相鄰三條棱的中點截取一個小正方體，則剩下部分的表面積為2×2×6＝24cm2．故答案為：24．【題型8從不同方向看幾何體的形狀】【例8】（2022?于洪區期中）如圖，若干個大小相同的小立方塊搭成的幾何體．（1）這個幾何體由8個小立方塊搭成；（2）從正面、左面、上面觀察該幾何體，分別畫出你所看到的幾何體的形狀圖．【分析】（1）根據搭建組合體的形狀，或根據“從上面看”所得到的圖形相應位置上所擺放的小正方體的個數得出答案；（2）根據簡單組合體三視圖的畫法畫出相應的圖形即可．【解答】解：由該組合體的“俯視圖”相應位置上所擺放的小正方體的個數可得，1+3+1+1+2＝8（個），故答案為：8；（2）這個組合體的三視圖如下：【變式8-1】（2022?高青縣期末）如圖是由若干個完全相同的小正方體組合而成的幾何體，若將小正方體①移動到小正方體②的正上方，下列關于移動后幾何體從三個方面看到的圖形，說法正確的是（）A．從左邊看到的圖形發生改變 B．從上方看到的圖形發生改變 C．從前方看到的圖形發生改變 D．三個方向看到的圖形都發生改變【分析】根據三視圖的定義求解即可．【解答】解：根據圖形可知，主視圖發生變化，上層的小正方形由原來位于左邊變為右邊，俯視圖和左視圖都沒有發生變化．故選：C．【變式8-2】（2021秋?金水區校級期末）如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體從上面看到的圖形，小正方形上的數字表示該位置小正方體的個數，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據左視圖的定義判斷即可．【解答】解：該幾何體的從左面看到的圖形為：故選：A．【變式8-3】（2022?咸安區期末）如圖，三個大小不等的正方體拼成的幾何體，其中兩個小正方體的棱長之和等于大正方體的棱長，分別從正面、左面、上面看該幾何體所得到的平面圖形面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3的大小關系是（）A．S1＝S2＝S3 B．S3＜S2＜S1 C．S1＜S2＜S3 D．S3＜S1＜S2【分析】根據從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【解答】解：從正面看第一層是一