2021-2022學年河北省唐山市遵化市九年級（下）期中數

學試卷

1.下列光線所形成是平行投影的是（）

A.太陽光線B.臺燈的光線C.手電筒的光線D.路燈的光線

2.下列計算正確的是（）

A.3a+2b=SabB.(—2a)2——4a2

C.（a+l）2=層+2a+1D.a3-a4=a12

3.已知a>b,則下列不等式不成立的是（)

A.3a>3bB.b+3<a+3

C.-u>—bD.3-2a<3-2b

4.計算魚（通一企）結果是（）

A.2V2-2B.2V3-2C.2V2-V2D.2V3-V2

5.如圖所示，下列每個圖是由若干盆花組成的形如三角形的圖案，每條邊（包括兩個

頂點）有〃盆花，每個圖案花盆總數是S,按此推斷S與〃的關系式為（）

??2,S=3n=3,S=6n=4.S=9

A.S=3nB.S=3(n-1)C.S=3n-lD.S=3n+1

6.一張矩形紙片ABCQ,已知4B=3,4。=2,小明按所給圖步驟折疊紙片，則線

段ZJG長為（）

A.2V2B.V2C.2D.I

7.美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給

人一種美感.如圖，某女士身高165C7W,下半身長x與身高/的比值

是0.60,為盡可能達到美的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10c;n

8.若分式三口」7的運算結果為x（xHO）,則在“□”中添加的運算符號為（）

A.+B.-C.+或+D.-或x

9.規定用符號[對表示一個實數的整數部分，例如[3.69]=3,[V3]=1,則|g-1|

10.如圖，在直角坐標系中，△。48的頂點為。(0,0),4(4,3),B(3,0).以點O為位似中

心，在第三象限內作與A04B的位似比為I的位似圖形△。。。，則點C坐標()

Bx

A.(-1,-1)B.(-^,-1)C.(-1,-^)D.(-2,-1)

11.計算管一/A第x(—24)的結果是()

D.-10

12.如圖已知直線m〃zi.三個圖形的頂點均在直線〃?，〃上，三個圖形面積最大的結論

正確的是()

A.①最大B.②最大C.③最大D.不確定

如圖，經過直線AB外一點C作這條直線的垂線，作

法如下:

(1)任意取一點K,使點K和點C在A8的兩旁.

A/B

(2)以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點。產'一/

和E.*尸

(3)分別以點。和點E為圓心，大于的長為半徑作

弧，兩弧相交于點尺

(4)作直線CF.則直線CF就是所求作的垂線.根據以上尺規作圖過程，若將這些點

作為三角形的頂點，其中不一定是等腰三角形的為()

A.△CDFB.△CDKC.△CDED.△DEF

14.下列四個統計圖中，用來表示不同品種的奶牛的日平均產奶量最為合適的是()

第2頁，共19頁

平均產奶量（升）平均產奶量（升）

D.

ABCEF牛的品種

①平分弦的直徑垂直于弦;

②三角形的內心到三角形各邊的距離相等;

③在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角相等；

④過平面內三點可以作一個圓；

⑤經過半徑并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

⑥90。的圓周角所對的弦是直徑；

⑦相等的圓心角所對的弧相等.其中正確的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

16.如圖△ABC中，乙ACB=90°,AC+BC=8,分別以A3、

AC,BC為半徑作半圓，若記圖中陰影部分的面積為y,

x的圖象中正確的是（）

B.

17.在對某二次三項式進行因式分解時，甲同學因為看錯了一次項系數而將其分解為

2(%-l)(x-9),乙同學因為看錯了常數項而將其分解為2(x—2)(x—4),請寫出

正確的因式分解的結果.

18.我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》一書中，給出了著名的秦九韶

公式，也叫三斜求積公式，即如果一個三角形的三邊長分別為a,h,c,則該三角

形的面積為S=J；[a2b2-(好手之產].現已知△4BC的三邊長分別為1,3,V10,

則△ABC的面積為.

19.根據如圖所示程序計算函數值，若輸入的x的值為|,則輸出的函數值為.

20.嘉淇準備完成題目：計算：27>(-1|)-口+3+(—3)2.發現有一個數“□”印刷不

清楚.

(1)他把“口”猜成18,請你計算：27x(-1|)-18+3+(-3產

(2)他媽媽說：“你猜錯了，我看到該題標準答案的結果是-32.”通過計算說明原

題中“口”是幾？

21.如圖，在平面直角坐標系中，點4(2,a),B(a+2,a),其中a>0,直線y=kx-2

與y軸相交于C點.

(1)已知&=2,①求S“Bc；②若點A和點8在直線y=kx—2的兩側，求k的取值

范圍；

(2)當k=2時，若直線y=kx-2與線段AB的交點為。點(不與A點、8點重合),

月SC<3,求°的取值范圍.

22.已知矩形ABCZ)的一條邊AD=8,將矩形ABC。折疊，使得頂點B落在CQ邊上

的P點處.如圖，已知折痕與邊BC交于O,連結AP、OP、OA.

①求證：40cps"DA；

②若A0CP與APDA的面積比為1：4,求邊A8的長.

第4頁，共19頁

23.為迎接建黨一百周年，甲、乙兩名同學進行了六次黨史知識測試，部分成績如圖所

示，已知甲、乙兩名同學六次成績的平均數相等.

(1)計算甲同學成績的平均數，并補充完整乙同學成績的折線統計圖；

(2)若乙同學成績的方差為S；=33.3,請計算甲同學成績的方差，并比較哪個同學

的成績較穩定；

(3)甲同學成績的中位數和眾數分別記作小b,乙同學成績的眾數記作c,在數“,

b,c中隨機抽取兩個數，求抽到的兩個數恰好相等的概率.

24.電影“長津湖”的熱映，讓今年國慶節多了幾分英雄氣.現有電影票一張，明明和

磊磊打算通過玩擲骰子的游戲決定誰擁有.游戲規則是：在一枚均勻的正方體骰子

的每個面上分別標上數字1、2、3、4、5、6.明明和磊磊各擲一次骰子，若兩次朝

上的點數之和是3的倍數，則明明獲勝，電影票歸明明所有，否則磊磊獲勝.

(1)用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結果：

(2)你認為這個游戲規則對明明和磊磊公平嗎？請說明理由.

25.如圖，在△ABC中，AB=CB=10,乙4BC=90。，點。為直線BC上一點，點E

為A8延長線上一點，且BE=8。，連接40,EC.

(1)求證：CBE-,

(2)當NC4D=20。時，求ZE的度數.

(3)點P是△04。的外心，當點。在直線BC上運動，且點尸恰好在△4BC內部或

邊上時，直接寫出點P運動的路徑的長.

26.已知二次函數丫=/+加;+<:(。40)的圖象與；1軸的交于4、B(1,O)兩點，與y軸

交于點C(0,-3),

(1)求二次函數的表達式及A點坐標；

(2)。是二次函數圖象上位于第三象限內的點，求點。到直線AC的距離取得最大值

時點D的坐標；

(3)M是二次函數圖象對稱軸上的點，在二次函數圖象上是否存在點M使以M、N、

8、。為頂點的四邊形是平行四邊形？若有，請寫出點N的坐標(不寫求解過程).

第6頁，共19頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：四個選項中只有太陽光可認為是平行光線；故太陽光線下形成的投影是平

行投影.

故選：A.

判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，所得到的投影

就是平行投影.

本題考查平行投影的概念，屬于基礎題，注意基本概念的掌握是關鍵.

2.【答案】C

【解析】解：A、3a與勸不是同類項，不能合并，原計算錯誤，故此選項不符合題意；

B、（-2a）2=4a2,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

C、（a+l）2=a2+2a+1,原計算正確，故此選項符合題意；

D、a3-a4=a7,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

故選：C.

根據完全平方公式，合并同類項、積的乘方、同底數塞的乘法的運算法則逐一計算可得.

本題主要考查合并同類項、積的乘方、完全平方公式、同底數基的乘法，解題的關鍵是

掌握完全平方公式、合并同類項、積的乘方、同底數塞的乘法運算法則及同類項概念等

知識點.

3.【答案】C

【解析】解：a>b,3a>3b,成立；

a>b,.1-b+3<a+3,成立；

va>b,—a<—b,故本選項不成立；

D>11??>/）,.---2a<—2b,3-2a<3—2b,故本選項成立；

故選：C.

根據不等式的基本性質對各選項進行逐一分析即可.

本題主要考查不等式的性質，應用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以

（或除以）同一個負數時，一定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含

有字母的數時，一定要對字母是否大于0進行分類討論.

4.【答案】B

【解析】解：V2（V6-V2）

=V2x6-V2x2

—V12—V4

=2^3-2,

故選：B.

根據乘法分配律可以將式子展開，然后化簡即可.

本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

5.【答案】B

【解析】解：根據圖案組成的是三角形的形狀，則其周長等于邊長的3倍，但由于每個

頂點重復了一次.

所以S=3n—3,即S=3(n—1).

故選B.

由圖可知：

第一圖：有花盆3個，每條邊有2盆花，那么3=3x(2-1)；

第二圖：有花盆6個，每條邊有3盆花，那么6=3x(3—1)：

第三圖：有花盆9個，每條邊有4盆花，那么9=3x(4-1)；

由此可知S與〃的關系式為S=3(n-1).

本題是一道找規律的題目，這類題型在中考中經常出現.本題要注意給出的圖片中所包

含的規律，然后根據規律列出函數關系式.

6.【答案】B

【解析】解：：AB=3,AD=2,

???DA'=2,CA'=1,

???DC=1,

???4D=45°,

DG=y/2DC=V2,

故選：B.

首先根據折疊的性質求出C4和DC'的長度，進而求出線段0G的長度.

本題主要考查了翻折變換以及矩形的性質，解題的關鍵是求出DC'的長度.

7.【答案】C

【解析】解：根據已知條件得下半身長是165x0.60=99c/n,

設需要穿的高跟鞋是ycm,則根據黃金分割的定義得：

解得：y?8cm.

故選：C.

先求得下半身的實際高度，再根據黃金分割的定義求解.

第8頁，共19頁

本題主要考查了黃金分割的應用.關鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比，難度適中.

8.【答案】C

【解析】解：因為二+三=x2+xx(x+l)

-----------X,

X+lX+1

X2xx2-xj

=

HXJ

X+lX+1---X+1

X2XX3

X=-----HX

x+1--x+1---(x+1)2

22

——X+——X=X——XX——+1

x+1x+1x+1X

故選：C.

可對兩個分式分別進行加、減、乘、除運算，根據結果是否是x對選擇支作出判斷.

本題考查了分式的加、減、乘、除.掌握分式的運算法則是解決本題的關鍵.

9.【答案】C

【解析】解：V9<13<16,

???3<V13<4,

2<V13-1<3,

[V13-1]=2.

故選：C.

先求出(舊-1)的范圍，再根據范圍求出即可.

本題主要考查了無理數的估算，解題關鍵是確定無理數的整數部分即可解決問題.

10.【答案】B

【解析】解：???以點。為位似中心，位似比為1，

而4(4,3),

點的對應點C的坐標為(一±-1).

故選：B.

根據關于以原點為位似中心的對應點的坐標的關系，把A點的橫縱坐標都乘以-抑可.

本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，位似

比為那么位似圖形對應點的坐標的比等于左或-北

11.【答案】A

【解析】解：*-[+：-費)x(—24)

117313

=行x(-24)-工X(-24)+Tx(-24)-五X(-24)

126424

―22+28+(—18)+13

=1,

故選：4

根據乘法分配律計算即可.

本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數的運算法則和運算順序，注

意乘法分配律的應用.

12.【答案】C

【解析】解：設，〃、〃之間的距離為〃，

.??圖①的面積為等=圖②的面積為：x8h=45圖③的面積為5/?,

二圖③的面積最大.

故選C.

設〃7、〃之間的距離為〃，然后分別表示出三個圖形的面積即可得到答案.

本題主要考查了平行線間距的應用，熟知正確表示出三個圖形的面積是解題的關鍵.

13.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查了尺規作圖-過直線AB外一點C作這條直線的垂線以及等腰三角形的判定,

依據尺規作圖，即可得到CD=CK,CD=CE,DF=EF,進而得出△CDK,XCDE,

△OEF都是等腰三角形.

【解答】

解：由作圖可得，CD,DF,CF不一定相等，故△CD尸不一定是等腰三角形；

而CD=CK,CD=CE,DF=EF,故△CDK,△CDE,△OEF都是等腰三角形；

故選：A.

14.【答案】D

【解析】解：根據題意可得，

用來表示不同品種的奶牛的日平均產奶量最為合適的是條形統計圖，因為條形統計圖能

很好反應不同品種奶牛的平均產量.

故選：D.

應用統計圖的選擇的方法進行判斷即可得出答案.

本題主要考查了統計圖的選擇，熟練掌握統計圖的選擇的方法進行求解是解決本題的關

鍵.

15.【答案】A

【解析】解：①平分不是直徑的弦的直徑垂直于弦，故①錯誤；

②三角形的內心到三角形三邊的距離相等，故②正確；

③在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角相等，故③錯誤；

④不共線的三點確定一個圓，故④錯誤；

第10頁，共19頁

⑤經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故⑤錯誤；

⑥90。的圓周角所對的弦是直徑，故⑥正確；

⑦在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故⑦錯誤.

綜上所述：正確的是②⑥，共2個.

故選：A.

利用圓的有關知識即可解決問題.

本題考查了圓的有關知識，三角形的內切圓與內心，三角形的外接圓與外心等知識，掌

握這些性質是解題的關鍵.

16.【答案】A

【解析】解：如圖，■.■AC+BC=8,AC=x,

???BC=8—%.

又???在△ABC中，Z,ACB=90°,

:.AB=y/x2+(8—x)2.

陰影(|)2+：兀(等：)一%)=即

???S=|TTXX)2-1TTXd#+-x2)2+lx(8lx2+4%,y=

--x2+4x(0<x<8).

則該函數圖象是開口向下的拋物線，且自變量的取值范圍是0<x<8.

故選：A.

由圖示知，S掰影=以AC為直徑的扇形的面積+以8c為直徑的扇形面積-以AB為直徑的

扇形面積+△ABC的面積.據此列出y與x的函數關系式，根據函數關系式選擇相應的

圖象.

本題考查動點問題的函數圖象，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之

和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵.

17.【答案】2(x-3)2

【解析】解:V2(%-1)(%-9)=2x2-20x4-18,

2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16,

???甲同學因為看錯了一次項系數，

???多項式的二次項和常數項分別是2x2、18,

?，乙同學因為看錯了常數項，

.?.多項式的二次項和一次項分別是2廣、-12x,

所以該二次三項式為：2/—12x+18.

2x2—12%+18

=2(/-6x+9)

=2(x-3)2

故答案為：2(x—3)2

根據乘法和因式分解的關系，排除甲乙看錯的項，得到原二次三項式，再因式分解即可.

本題考查了因式分解和多項式乘法的關系及多項式的因式分解.根據題意，確定原來的

二次三項式是解決本題的關鍵.

18.【答案】|

【解析】解：的三邊長分別為1,3,國,

4BC的面積=J；X[12x32-(5y2]=|,

故答案為：

根據三斜求積公式計算即可求解.

考查了二次根式的應用，關鍵是熟悉三斜求積公式.

19.【答案】|

【解析】解：???x=|,

??.由題意可知代入y=±

得：y=|,

故答案為：|.

觀察圖形可知，輸入的X,有三個關系式，當一1<％<0時，y=x—3,當0<x<2時，

y=x2,當2WXW4時，丫=：.因為.|,所以代入y=：即可得輸出的結果是一1.

本題主要考查了分段函數，解答本題的關鍵就是弄清楚題圖給出的計算程序.

20.【答案】解：(l)27x(—l|)—18+3+(—3)2

5

=27X(--)-6+9

=-45+(—6)+9

=—42；

(2)設原題中“口”為x,

則27x(-1-)—%+3+(-3)2=—32,

解得％=-12,

即原題中“口”為一12.

【解析】(1)根據有理數的乘方、有理數的乘除法和加減法可以解答本題；

(2)設原題中“口”為x,從而可以得到方程，然后求解即可.

本題考查有理數的混合運算、解一元一次方程，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算

的計算方法和解一元一次方程的方法.

第12頁，共19頁

21.【答案】解：(1)①?.?Q=2,

???A(2,2),F(4,2),

:.AB=2,

?.?直線y=kx-2與y軸相交于C點,

C(0,-2),如圖，

11

???S&ABC-2ABX(2+2)=，X2X4=4.

②當直線y=kx-2經過點4(2,2)時，

2k-2=2,解得k=2,

當直線y=kx-2經過點B(4,2)時，

4k-2=2,解得k=1,

???點A和點8在直線y=kx-2的兩側時，1<k<2.

(2)直線AB的解析式為：y=a,

當k=2時，直線y=2x-2,

2x—2—a,即x—三匕

解得a>2,

又?..2。=等一2<3,

解得a<8,

所以。的取值范圍為2<a<8.

【解析】(1)①把a=2代入，先求解4,8的坐標及48的長，再求解C的坐標，利用

面積公式求解三角形的面積即可；

②分別求解y=kx-2過A,8時，％的值，從而可得答案；

(2)先求解直線AB的解析式為：y=a,。。的解析式為直線y=2x-2,再求解。的坐

標及的長，再利用。在線段A8上，4。<3列不等式組即可得到答案.

本題考查的是坐標與圖形，利用待定系數法求解一次函數的解析式，一次函數的性質，

一元一次不等式組的應用，掌握以上知識是解題的關鍵.

22.【答案】解：①???四邊形A8CO是矩形,

???AD=BC,DC=AB,ADAB=/B=NC=4。=90°.

由折疊可得：AP=AB,PO=BO,^PAO=Z.BAO,乙APO=^B.

:.Z-APO=90°.

???乙APD=90°-Z,CPO=乙POC.

vZD=ZC,Z.APD=Z.POC.

???△0cps△PDA.

②△OCP與4P￡M的面積比為1：4,

tOC_OP_CP_|1_1

?,麗=而=麗==于

APD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.

VAD=8,

???CP=4,BC=8.

設OP=x,則OB=x,CO=8-x.

在Rt△PC。中，

vZC=90°,CP—4,OP—x,CO=8—x,

■.%2=(8-x)2+42.

解得：x=5.

???AB=AP=2OP=10.

邊AB的長為10.

【解析】①只需證明兩對對應角分別相等即可證到兩個三角形相似；

②根據相似三角形的性質求出PC長以及AP與。尸的關系，然后在RtAPC。中運用勾

股定理求出O尸長，從而求出4B長.

此題考查了相似三角形的性質和判定，翻折的性質，矩形的性質勾股定理，掌握三角形

相似的判定方法是解決問題的關鍵.

23.【答案】解：(1”.?1用=*(60+65+75+75+80+95)=75,

貝U75x6-80-70-70-75-70=85,

補充完整乙同學成績的折線統計圖如下：

第14頁，共19頁

(2)S懦=i[(75-60)2+(75-65)2+(75-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(95-

75)2]=125>S；,

???甲、乙兩名同學六次成績的平均數相同，S%>S%

二乙同學成績較穩定；

(3)?.?甲成績的中位數為誓=75,眾數為75,乙成績的眾數為70,

■1?a=75,b=75,c=70,

列表如下:

757570

75(75,75)(75,70)

75(75,75)(75,70)

70(70,75)(70,75)

共有6種等可能的結果，抽到的兩個數恰好相等的結果有2種，

???抽到的兩個數恰好相等的概率為；=

63

【解析】(1)由平均數的定義求出甲同學成績的平均數，再求出乙同學的第6次成績，

補全乙同學成績的折線統計圖即可；

(2)由方差的定義求出甲同學成績的方差，再比較即可；

(3)列表得出共有6種等可能的結果，抽到的兩個數恰好相等的結果有2種，再由概率

公式求解即可.

本題考查了列表法、折線統計圖、眾數、中位數等知識；列表法可以不重復不遺漏的列

出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件.注意概率=所求情況數與總情況數

之比.

24.【答案】解：(1)列表得:

123456

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

3(L3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

6(L6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

共有36種等可能的結果數;

(2)不公平，理由如下：

由表可知共有36種等可能結果，其中兩次朝上的點數之和是3的倍數有12種結果，不

是3的倍數的有24種結果，

則明明獲勝的概率是登=：,磊磊獲勝的概率是芻=；,

363363

■:-1,V2一,

33

??.這個游戲規則對明明和磊磊不公平.

【解析】(1)列表即可得出所有等可能結果；

(2)從表格中得出所有等可能結果，從中找到點數之和等于3的倍數的結果數和不是3

的倍數的結果數，求出兩者的概率即可判斷.

本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等

就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

25.【答案】(1)證明：???44BC=90°,

乙ABD=乙CBE=90°,

在△480和4CBE中，

AB=BC

Z.ABD=Z.CBE,

BD=BE

:.XABDQXCBE(S4S)；

(2)解：若點Z)在線段8C上時，如圖:

?：AB=CB,Z,ABC=90°,

???/.CAB=Z.ACB=45°,

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."BAD=/.CAB-/.CAD=25°,

由(1)知△4BD絲ACBE,

:.乙ECB=^BAD=25°,

4E=90°-/.ECB=65°,

若點。在BC延長線上時，如圖:

???△ABD"4CBE,

???4BEC=/.ADB=乙ACB-/.CAD=45°-20°=25°,

綜上所述：NBEC的度數為65。或25。；

(3)解：過3作BF14C于F,如圖：

???點「是小C4O的外心，

二點P在線段AC的垂直平分線上，

由AB=CB,NABC=90°知AABC是等腰直角三角形，

???B、尸均在線段AC的垂直平分線上，

當點P恰好在△ABC的內部或邊上時，P運動的路徑即為8尸，

???AB^CB=10,Z.ABC=90°,

AC=<AB2+BC2=10V2,

-?AB=CB,^ABC=90",BFA.AC,

：.BF=-AC

2=5V2,

即點P運動的路徑的長為5&.

【解析】(1)根據