學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGEPAGE4學必求其心得，業必貴于專精“計數原理”雙基過關檢測一、選擇題1．(2017·濱州模擬)甲、乙兩人從4門課程中選修2門,則甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法有()A．6種 B．12種C．24種 D．30種解析：選C分步完成：第一步，甲、乙選同一門課程有4種方法；第二步，甲從剩余的3門課程選一門有3種方法;第三步，乙從剩余的2門中選出一門課程有2種方法；∴甲、乙恰有1門相同課程的選法有4×3×2＝24（種）．2.現有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色,則不同的著色方法共有(）A．24種 B．30種C．36種 D．48種解析：選D按A→B→C→D順序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48(種)．3．（2017·云南師大附中適應性考試）在（a＋x）7展開式中x4的系數為280，則實數a的值為（）A．1 B．±1C．2 D．±2解析:選C由題知，Ceq\o\al（4,7)a3＝280，得a＝2，故選C.4．（2016·佛山二模）教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有(）A．10種 B．25種C．52種 D．24種解析:選D每相鄰的兩層之間各有2種走法,共分4步．由分步乘法計數原理,共有24種不同的走法．5．張、王兩家夫婦各帶一個小孩一起到動物園游玩,購票后排隊依次入園．為安全起見,首尾一定要排兩位爸爸,另外，兩個小孩一定要排在一起,則這六人入園順序的排法種數為（）A．12 B．24C．36 D．48解析：選B將兩位爸爸排在兩端，有2種排法；將兩個小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個位置上，有2Aeq\o\al（3,3）種排法，故總的排法有2×2×Aeq\o\al（3,3）＝24(種）．6．某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人)，其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案種數是()A．150 B．300C．600 D．900解析:選C若甲去，則乙不去，丙去，再從剩余的5名教師中選2名，有Ceq\o\al(2,5)×Aeq\o\al(4,4）＝240種方法;若甲不去，則丙不去，乙可去可不去,從6名教師中選4名，共有Ceq\o\al(4,6）×Aeq\o\al（4,4)＝360種方法．因此共有600種不同的選派方案．7．(2017·成都一中模擬）設(x2＋1)（2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11（x＋2）11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為(）A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選A令等式中x＝－1,可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝（1＋1）（－1)9＝－2，故選A。8．從1,3，5，7,9這五個數中,每次取出兩個不同的數分別記為a，b,共可得到lga－lgb的不同值的個數是（)A．9 B．10C．18 D．20解析：選Clga－lgb＝lgeq\f(a,b）,從1，3,5，7，9中任取兩個數分別記為a,b，共有Aeq\o\al（2,5）＝20種結果，其中lgeq\f(1,3）＝lgeq\f(3，9），lgeq\f（3,1）＝lgeq\f（9，3），故共可得到不同值的個數為20－2＝18.故選C。二、填空題9.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f（1，x）)）5的二項展開式中x項的系數為________．解析:eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（1,x)))5的展開式的通項是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5）·（2x）5－r·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，x）)）r＝Ceq\o\al(r,5)·(－1）r·25－r·x5－2r。令5－2r＝1得r＝2。因此eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f（1，x))）5的展開式中x項的系數是Ceq\o\al(2，5）·（－1）2·25－2＝80.答案：8010．(2016·石家莊模擬）將甲、乙、丙、丁四名學生分到兩個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班,則不同的分法的種數為________(用數字作答)．解析：第1步,把甲、乙分到不同班級有Aeq\o\al（2，2）＝2種分法;第2步,分丙、丁：①丙、丁分到同一班級有2種方法;②丙、丁分到兩個不同班有Aeq\o\al(2，2)＝2種分法．由分步乘法計數原理，不同的分法為2×（2＋2）＝8（種)．答案：811．如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通，今發現A，B之間線路不通,則焊接點脫落的不同情況有________種．解析：四個焊點共有24種情況，其中使線路通的情況有：1,4都通，2和3至少有一個通時線路才通，共有3種可能．故不通的情況有24－3＝13(種)可能．答案：1312.（2017·寧波調研)如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區域涂一種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有________種．解析：若1，3不同色，則1,2,3,4必不同色，有3Aeq\o\al（4,4）＝72種涂色法；若1,3同色，有Ceq\o\al（1,4)Ceq\o\al（1,3）Aeq\o\al(2，2)＝24種涂色法．根據分類計數原理可知,共有72＋24＝96種涂色法．答案：96三、解答題13．已知（a2＋1)n展開式中的二項式系數之和等于eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（16，5）x2＋\f(1,\r（x）)))5的展開式的常數項,而（a2＋1）n的展開式的二項式系數最大的項等于54，求正數a的值．解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（16，5）x2＋\f(1，\r(x））))5展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r，5）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2））5－r·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，\r(x）)）)r＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（16，5))）5－rxeq\f（20－5r,2)，令20－5r＝0，得r＝4,故常數項T5＝Ceq\o\al（4，5)·eq\f(16，5）＝16,又(a2＋1)n展開式的各項系數之和為2n，由題意得2n＝16,∴n＝4.∴(a2＋1)4展開式中二項式系數最大的項是中間項T3,從而Ceq\o\al(2,4）（a2）2＝54，∴a＝eq\r（3)。14．從1到9的9個數字中取3個偶數4個奇數,試問：（1)能組成多少個沒有重復數字的七位數？（2)上述七位數中，3個偶數排在一起的有幾個？(3）(1）中的七位數中，偶數排在一起，奇數也排在一起的有幾個？解：（1）分三步完成：第一步，在4個偶數中取3個，有Ceq\o\al（3,4）種情況；第二步,在5個奇數中取4個，有Ceq\o\al(4,5）種情況；第三步，3個偶數，4個奇數進行排列，有Aeq\o\al（7,7）種情況．所以符合題意的七位數有Ceq\o\al（3，4）Ceq\o\al（4,5)Aeq\o\al(7，7）＝100800個．(2）上述七位數中，3個偶數排在一起的有Ceq\o\al（3,4）Ceq\o\al(4，5)Aeq\o\al（3,3)Aeq\o\al(5,5）＝14400個．（3)(1)中的七位數中，3個偶數排在一起，4個