3.5.1二元一次不等式(組)所表示的平面區域1.會從實際情景中抽象出二元一次不等式(組).2.了解二元一次不等式的幾何意義.3.會畫二元一次不等式(組)表示的平面區域.(重點、難點)[根底·初探]教材整理1二元一次不等式(組)的概念閱讀教材P85前12行，完成以下問題.1.二元一次不等式的概念我們把含有兩個未知數，并且未知數的次數是1的不等式，稱為二元一次不等式.2.二元一次不等式組的概念我們把由幾個二元一次不等式組成的不等式組，稱為二元一次不等式組.3.二元一次不等式(組)的解集概念滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構成的有序數對(x，y)，稱為二元一次不等式(組)的一個解，所有這樣的有序數對(x，y)構成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集.判斷(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)二元一次不等式x＋y>2的解有無數多個.()(2)二元一次不等式(組)的解集可以看成直角坐標系內的點構成的集合.()(3)二元一次不等式組中的每個不等式都必須是二元一次不等式.()【解析】(1)√.因為滿足x＋y>2的實數x，y有無數多組，故該說法正確.(2)√.因為二元一次不等式(組)的解為有序數對(x，y)，有序數對可以看成直角坐標平面內點的坐標.故該說法正確.(3)×.因為在二元一次不等式組中可以含有一元一次不等式，如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1≥0，,3x＋2<0))也稱為二元一次不等式組.【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2二元一次不等式(組)表示的平面區域閱讀教材P85第13行～P88，完成以下問題.1.二元一次不等式表示的平面區域及確定(1)直線l：ax＋by＋c＝0把直角坐標平面分成了三個局部：①直線l上的點(x，y)的坐標滿足ax＋by＋c＝0.②直線l一側的平面區域內的點(x，y)的坐標滿足ax＋by＋c>0，另一側平面區域內的點(x，y)的坐標滿足ax＋by＋c<0.(2)在直角坐標平面內，把直線l：ax＋by＋c＝0畫成實線，表示平面區域包括這一邊界直線；畫成虛線表示平面區域不包括這一邊界直線.(3)①對于直線ax＋by＋c＝0同一側的所有點，把它的坐標(x，y)代入ax＋by＋c所得的符號都相同.②在直線ax＋by＋c＝0的一側取某個特殊點(x0，y0)，由ax0＋by0＋c的符號可以斷定ax＋by＋c>0表示的是直線ax＋by＋c＝0哪一側的平面區域.2.二元一次不等式組表示的平面區域二元一次不等式組表示的平面區域是各個不等式表示的平面區域的公共局部.1.以下說法正確的選項是________.(填序號)(1)由于不等式2x－1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一區域；(2)點(1,2)在不等式2x＋y－1＞0表示的平面區域內；(3)不等式Ax＋By＋C＞0與Ax＋By＋C≥0表示的平面區域是相同的；(4)第二、四象限表示的平面區域可以用不等式xy＜0表示.【解析】(1)錯誤.因為不等式2x－1>0雖然不是二元一次不等式，但它表示直線x＝eq\f(1,2)右側的區域.(2)正確.因為(1,2)是不等式2x＋y－1>0的解.(3)錯誤.因為不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區域不包括邊界Ax＋By＋C＝0，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面區域包括邊界Ax＋By＋C＝0.(4)正確.因為第二、四象限區域內的點(x，y)中x，y異號，故xy<0.該說法正確.【答案】(2)(4)2.以下各點在3x＋2y＜6表示的平面區域內的是_________________.①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0).【解析】將點的坐標代入，只有①②③滿足上述不等式.【答案】①②③3.點A(1,0)，B(－2，m)，假設A，B兩點在直線x＋2y＋3＝0的同側，那么m的取值集合是________.【解析】因為A，B兩點在直線x＋2y＋3＝0的同側，所以把點A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符號相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－eq\f(1,2).【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－\f(1,2)))))[小組合作型]二元一次不等式表示的平面區域(1)畫出不等式3x＋2y＋6＞0表示的區域；(2)寫出以下表示平面區域的二元一次不等式：圖3-5-1【精彩點撥】解決此題關鍵是理解不等式的解與坐標平面內的點間的關系及不等式的解與其對應點的分布規律.【自主解答】(1)如圖：第一步：畫出直線3x＋2y＋6＝0(注意應畫成虛線)，第二步：直線不過原點，把原點坐標(0,0)代入3x＋2y＋6得6＞0，∴不等式表示的區域為原點所在的一側.(2)①x＋y－1≤0；②x－2y＋2＜0；③x＋y≥0.二元一次不等式表示平面區域的判定方法：,第一步：直線定界.畫出直線ax＋by＋c＝0，不等式為ax＋by＋c＞0＜0時直線畫成虛線，不等式為ax＋by＋c≥0≤0時直線畫成實線；,第二步：特殊點定域.在平面內取一個特殊點，當c≠0時，常取原點0，0.假設原點0，0滿足不等式，那么原點所在的一側即為不等式表示的平面區域；假設原點不滿足不等式，那么原點不在的一側即為不等式表示的平面區域.當c＝0時，可取1，0或0，1作為測試點.,簡記為：直線定界，特殊點定域.[再練一題]1.點(1,2)和點(1,1)在直線y－3x－m＝0的異側，求m的取值范圍.【解】要使(1,2)，(1,1)兩點在y－3x－m＝0的異側，那么代入后它們的符號相異，由此得到關于m的不等式：(－1－m)(－2－m)＜0，即(m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－1.故m的范圍為(－2，－1).二元一次不等式組表示的平面區域(1)畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤5，,x－2y＞3，,x＋2y≥0))表示的平面區域；(2)畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1<0，,2x－y－3≥0))表示的平面區域.【精彩點撥】(1)不等式組表示的平面區域應該由什么來確定？(2)不等式組表示的平面區域一定是封閉圖形嗎？【自主解答】(1)不等式x＋y≤5表示直線x＋y－5＝0及左下方的區域.不等式x－2y>3表示直線x－2y－3＝0右下方的區域.不等式x＋2y≥0表示直線x＋2y＝0及右上方的區域.所以不等式組表示的平面區域如下圖.(2)不等式x－y－1<0表示直線x－y－1＝0左上方的平面區域.畫出直線2x－y－3＝0(實線)，不等式2x－y－3≥0表示直線2x－y－3＝0上及右下方的平面區域.所以不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1<0，,2x－y－3≥0))表示的平面區域是如下圖的陰影局部.1.二元一次不等式組表示的平面區域是由每個不等式所表示的平面區域來確定的，是它們所表示平面區域的交集.2.畫平面區域的步驟(1)畫線——畫出不等式對應的方程所表示的直線；(2)定側——將某個區域位置明顯的特殊點的坐標代入不等式，根據“同側同號、異側異號〞的規律，確定不等式所表示的平面區域在直線的哪一側；(3)求“交〞——如果平面區域是由不等式組決定的，那么在確定了各個不等式所表示的區域后，再求這些區域的公共局部，這個公共局部就是不等式組所表示的平面區域.[再練一題]2.△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,4)，B(－2,0)，C(2，0)，求△ABC內任意一點(x，y)所滿足的條件.【解】分別求三邊的直線方程，易得y＝0,2x－y＋4＝0,2x＋y－4＝0.在三角形內找一點(0,1)以確定各不等式的不等號的方向.因不包括邊界，所求三個不等式分別為：y>0,2x－y＋4>0,2x＋y－4<0.所以點(x，y)滿足的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y>0，,2x－y＋4>0，,2x＋y－4<0.))[探究共研型]二元一次不等式(組)表示平面區域的應用探究1假設點P(1,2)，Q(1,1)在直線x－3y＋m＝0的同側，如何求m的取值范圍？【提示】直線x－3y＋m＝0將坐標平面內的點分成三類：在直線x－3y＋m＝0上的點和在直線x－3y＋m＝0兩側的點，而在直線x－3y＋m＝0同側點的坐標，使x－3y＋m的值同號，異側點的坐標使x－3y＋m的值異號.故有(1－3×2＋m)(1－3×1＋m)>0，即(m－5)(m－2)>0，所以m>5或m<2.探究2不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>2，,x－y>0，,x<4))表示的區域是什么圖形，你能求出它的面積嗎？該圖形假設是不規那么圖形，如何求其面積？【提示】不等式組表示的平面區域如圖陰影局部△ABC，該三角形的面積為S△ABC＝eq\f(1,2)×6×3＝9.假設該圖形不是規那么的圖形.我們可以采取“割補〞的方法，將平面區域分為幾個規那么圖形求解.探究3點(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>2，,x－y>0，,x<4))表示的平面區域內嗎？該平面區域內有多少個縱、橫坐標均為整數的點？【提示】假設所給點在不等式組所表示的平面區域內，那么該點的坐標一定適合不等式組，否那么，該點不在這個不等組表示的平面區域內.經代入檢驗可知，在(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)中只有點(2,1)在不等式組表示的平面內.在尋求平面區域內整數點時，可根據不等式組表示的平面區域(探究2提示中的圖形)邊界的頂點，先給其中的一個未知數賦值，如x＝1，那么不等式組可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y>1，,y<1，,1<4，))顯然該不等式組無解；再令x＝2，那么原不等式組化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y>0，,y<2，,2<4，))那么0<y<2，又因為y∈Z，故y＝1，所以x＝2時只有一個整點.同樣方法x＝3時，有(3,0)，(3,1)，(3,2)三個整點在該區域內；x＝4時在該區域內沒有整點.總之在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>2，,x－y>0，,x<4))表示的平面區域內，共有4個整點.當然，也可在作圖時，利用打網格線的方法尋求.不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,4x＋3y≤12.))(1)畫出不等式組表示的平面區域；(2)求不等式組所表示的平面區域的面積；(3)求不等式組所表示的平面區域內的整點坐標.【精彩點撥】(1)怎樣畫出不等式組表示的平面區域？(2)該平面區域是什么圖形？如何求其面積？(3)整點是什么樣的點？怎樣求其坐標？【自主解答】(1)不等式4x＋3y≤12表示直線4x＋3y＝12上及其左下方的點的集合；x>0表示直線x＝0右方的所有點的集合；y>0表示直線y＝0上方的所有點的集合，故不等式組表示的平面區域如圖(1)所示.(1)(2)(2)如圖(1)所示，不等式組表示的平面區域為直角三角形，其面積S＝eq\f(1,2)×4×3＝6.(3)當x＝1時，代入4x＋3y≤12，得y≤eq\f(8,3)，∴整點為(1,2)，(1,1).當x＝2時，代入4x＋3y≤12，得y≤eq\f(4,3)，∴整點為(2,1).∴區域內整點共有3個，其坐標分別為(1,1)，(1,2)，(2,1).如圖(2).1.在應用平面區域時，準確畫出不等式組表示的平面區域是解題的關鍵.2.畫出不等式表示的平面區域后，常常要求區域面積或區域內整點的坐標.(1)求區域面積時，要先確定好平面區域的形狀，注意與坐標軸垂直的直線及區域端點的坐標，這樣易求底與高.必要時分割區域為特殊圖形.(2)整點是橫縱坐標都是整數的點，求整點坐標時要注意虛線上的點和靠近直線的點，以免出現錯誤.[再練一題]3.某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準備加工成書桌和書櫥出售.生產每張書桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生產每個書櫥需要方木料【解】設生產書桌x張，書櫥y個，那么x、y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1x＋0.2y≤90，,2x＋y≤600，,x≥0且x∈N，,y≥0且y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤900，,2x＋y≤600，,x≥0且x∈N，,y≥0且y∈N.))在平面直角坐標系中，畫出上述不等式組表示的平面區域，如圖，陰影局部的整點.1.下面給出的四個點中，位于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＜0，,x－y＋1＞0))表示的平面區域內的點是()A.(0,2)B.(－2,0)C.(0，－2) D.(2,0)【解析】依次將A，B，C，D四個選項代入驗證即可，只有C符合條件.【答案】C2.原點和點(1,1)在直線x＋y＝a兩側，那么a的取值范圍是()A.a<0或a>2 B.0<a<2C.a＝2或a＝0 D