點到直線的距離(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、選擇題1.點P在x軸上，且到直線3x－4y＋6＝0的距離為6，那么點P的坐標為()A.(8,0) B.(－12,0)C.(8,0)或(－12,0) D.(－8,0)或(12,0)【解析】設點P的坐標為(x,0)，那么根據點到直線的距離公式可得eq\f(|3x－4×0＋6|,\r(32＋－42))＝6，解得x＝8或x＝－12.所以點P的坐標為(8,0)或(－12,0).【答案】C2.點A(0,2)、B(2,0)，假設點C在函數y＝x2的圖象上，那么使得△ABC的面積為2的點C的個數為()A.4B.3C.2 D.1【解析】由題意可得|AB|＝2eq\r(2)，直線AB的方程為x＋y－2＝0.因為△ABC的面積為2，所以AB邊上的高h滿足方程eq\f(1,2)×2eq\r(2)h＝2，得h＝eq\r(2).設點C(t，t2)，那么由點到直線的距離公式得eq\r(2)＝eq\f(|t＋t2－2|,\r(2))，即|t2＋t－2|＝2，那么t2＋t－4＝0或t2＋t＝0，這兩個方程共有4個不相等的實數根，故滿足題意的點C有4個.【答案】A3.到直線3x－4y－11＝0的距離為2的直線方程為()A.3x－4y－1＝0B.3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C.3x－4y＋1＝0D.3x－4y－21＝0【解析】設所求的直線方程為3x－4y＋c＝0.由題意eq\f(|c－－11|,\r(32＋－42))＝2，解得c＝－1或c＝－21.應選B.【答案】B4.點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，那么a等于()A.eq\r(2) B.2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋1【解析】由題意得eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，即|a＋1|＝eq\r(2)，又a>0，∴a＝eq\r(2)－1.【答案】C5.拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是()A.eq\f(4,3)B.eq\f(7,5)C.eq\f(8,5) D.eq\f(20,3)【解析】設P(x0，－xeq\o\al(2,0))為y＝－x2上任意一點，那么由題意得P到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝eq\f(|4x0－3x\o\al(2,0)－8|,5)＝eq\f(\o(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(2,3)))\s\up12(2)－\f(20,3)))),5)，∴當x0＝eq\f(2,3)時，dmin＝eq\f(\f(20,3),5)＝eq\f(4,3).【答案】A二、填空題6.傾斜角為60°，且與原點的距離是5的直線方程為____________.【解析】因為直線斜率為tan60°＝eq\r(3)，可設直線方程為y＝eq\r(3)x＋b，化為一般式得eq\r(3)x－y＋b＝0.由直線與原點距離為5，得eq\f(|0－0＋b|,\r(\r(3)2＋－12))＝5?|b|＝10.所以b＝±10.所以直線方程為eq\r(3)x－y＋10＝0或eq\r(3)x－y－10＝0.【答案】eq\r(3)x－y＋10＝0或eq\r(3)x－y－10＝07.假設點P在直線x＋y－4＝0上，O為原點，那么|OP|的最小值是________.【解析】|OP|的最小值，即為點O到直線x＋y－4＝0的距離，d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)8.x＋y－3＝0，那么eq\r(x－22＋y＋12)的最小值為________.【解析】設P(x，y)，A(2，－1)，那么點P在直線x＋y－3＝0上，且eq\r(x－22＋y＋12)＝|PA|.|PA|的最小值為點A(2，－1)到直線x＋y－3＝0的距離d＝eq\f(|2＋－1－3|,\r(12＋12))＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)三、解答題9.直線l1和l2的方程分別為7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直線l平行于l1，直線l與l1的距離為d1，與l2的距離為d2，且eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，求直線l的方程.【解】由題意知l1∥l2，故l1∥l2∥l.設l的方程為7x＋8y＋c＝0，那么2·eq\f(|c－9|,\r(72＋82))＝eq\f(|c－－3|,72＋82)，解得c＝21或c＝5.∴直線l的方程為7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.10.正方形的中心為直線x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交點，正方形一邊所在直線方程為x＋3y－2＝0，求其他三邊所在直線的方程.【解】∵由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))∴中心坐標為(－1,0).∴中心到邊的距離為eq\f(|－1－2|,\r(12＋32))＝eq\f(3,\r(10)).設正方形相鄰兩邊方程為x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.∵正方形中心到各邊距離相等，∴eq\f(|－1＋m|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10))和eq\f(|－3＋n|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10)).∴m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.∴其他三邊所在直線的方程為x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.[能力提升]1.在坐標平面內，與點A(1,2)距離為1，且與點B(3,1)距離為2的直線共有()A.1條B.2條C.3條 D.4條【解析】由題可知所求直線顯然不與y軸平行，∴可設直線為y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.∴d1＝eq\f(|k－2＋b|,\r(k2＋1))＝1，d2＝eq\f(|3k－1＋b|,\r(k2＋1))＝2，兩式聯立，解得b1＝3，b2＝eq\f(5,3)，∴k1＝0，k2＝－eq\f(4,3).故所求直線共有兩條.【答案】B2.假設動點A(x1，y1)、B(x2，y2)分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，那么AB中點M到原點距離的最小值為()A.3eq\r(2)B.2eq\r(3)C.3eq\r(3) D.4eq\r(2)【解析】根據條件可以知道，AB的中點M一定在處于l1，l2之間且與l1，l2距離相等的直線上，即M在直線x＋y－6＝0上，M到原點距離的最小值就是原點到直線x＋y－6＝0的距離，由點到直線的距離公式得d＝eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).【答案】A3.假設直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2eq\r(2)，那么m的傾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正確答案的序號是________.(寫出所有正確答案的序號)【解析】兩平行線間的距離為d＝eq\f(|3－1|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，由題意知直線m與l1的夾角為30°，l1的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.【答案】①⑤4.如圖2-2-4所示，直線l1：x＋y－1＝0，現將直線l1向上平移到直線l2的位置，假設l2，l1和坐標軸圍成的梯形面積為4，求l2的方程.圖2-2-4【解】設l2的方程為y＝－x＋b(b>0)，那么題圖中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b).所以AD＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2)b.梯形的