圓錐曲線復習題

x2y2

1.如圖，已知。為坐標原點，B,C為雙曲線T：---=1上的兩點，Ai，A2為雙曲線

a2b2

工的左、右頂點，若,從①雙曲線『的焦距為4,②雙曲線T上一點到兩焦點距

離之差的絕對值為2百,③雙曲線的漸近線方程為y=±yx,從這三個條件中任選兩個,

補充在橫線上，解答下面的問題.

(1)求雙曲線T的方程：(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分，)

(2)已知點7(-1,0),點8在第一象限，且8,C關于y軸對稱，直線A2B,A2c分

別交y軸于點M,N,求證：ZOTN=ZOMT.

【分析】(1)分別選①②，②③，①③列出方程，求出a,b的值，進而求出雙曲線的方

程；

(2)設8的坐標，由題意可得C的坐標，由(1)可得A2的坐標，然后求出直線48,

A2c的方程，由題意得到M,N的坐標，進一步證明/O7N=/OMT.

【解答】解：(1)選①②：可得2c=4,2a=2百，

所以〃=遮，c=2,b2=c2-tz2=4-3=1

x2

可得雙曲線的方程為：y-/=l；

選①③：可得2c=4,-=—,c2=a1-/?2,所以。2=3,廿=1,

a3

x2

可得雙曲線的方程為：—-7=1;

3

選②③：由題意可得2〃=28，-=—,所以/=3,b2=1,

a3

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x2

可得雙曲線的方程為：y-7=l；

（2）證明：由（1）可得4（-V3,0）,42（V3,0）,

由題意，設B（必，澗），xo>O,yo>O,C（-孫yo）,

將B的坐標代入雙曲線的方程，可得宣一加2=1,

3

所以直線A2B的方程為y=（X-V3）,

XQ—V3

令x=0,可得x=—皮星，所以M（0,

%Q—v3Xg—V3

直線A2c的方程為尸如弓（X-V3）,

-XQ-y/3

令x=0,可得產乃竺,即N（0,'34）,

x0+V3x0+V3

一療y06yo

因為kTN*kTM==孚；=-1,

2

0+10+1XO-3

所以77V±TM,又MNA.OT,

所以NO7W=NOMT.

【點評】本題考查求雙曲線的方程及直線與雙曲線的綜合，考查了方程思想和轉化思想,

屬于中檔題.

2.如圖，。為坐標原點，點F為拋物線Ci：a=2py（p>0）的焦點，且拋物線Ci上點P

處的切線與圓O：?+/=1相切于點Q.

（1）當直線PQ的方程為x-y-或=0時，求拋物線Ci的方程；

（2）當正數p變化時，記S，S2分別為△尸P。，△FOQ的面積，求苦的最小值.

【分析】（1）設點P的坐標為PQo,第），利用導數的幾何意義以及切線方程，得到關

于刈和P的方程，求出p即可得到答案；

（2）求出點P處的切線方程，利用直線與圓相切，得到沏4=4沏2+4「2,聯立方程組,

求出點Q的坐標，由弦長公式求解|PQ|,再求出點尸到切線的距離，從而表示出Si，S2,

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由基本不等式求解號的最小值，即可得到力的最小值.

2

S2S2

【解答】解：（1）設點P（Xo,第），

由v=2py,可得y=東，y'=p'

因為直線尸。的斜率為1,

所以j=1,且a—需'一a=0,解得p=2魚,

所以拋物線方程/=4V2y;

2

2

（2）因為點P處的切線方程為丫一頭=￥（%-&）,^2xox-2py-xo=0,

,pp

又切線與圓O：7+y2=l相切，則圓心到切線的距離I.=1

J4配2+4p2

2

化簡得%（）4=4%0+4P2,

2

2xox_2py—x0=0

x2+y2=l,解得Q4,

x4=4%2+4p2

(00

所以iPQi=vrmi%。一芻=1+等口。一芻=弊至,|華21，

x0Px0Px0

點F(0,當到切線的距離d=之一*產=卜0產

卜和2+4p2

所以Si=；|PQ|d=1^p^?|哈|-V^?7=E^”*l，

乙“P冗o

S2=\\OF\\XQ\=^,

22

由x()4=4x0+4P2,可得4P2=XQ4—4x0>0,即|xo|>2,

p2+%o2X0222%|=(p2+Xo2)/o2-2)

4PXop2P2

(殉4-4殉2+生/2)(肛2-2)_殉2(勺2-2)=與2_4

4+322V2+31

422而2一4

2(X0-4X0)-2(X0-4)-2

%c2-44）--------

當且僅當一--=—;—時等號成立，即&2=4+2企，此時p=J2+2vL

z

2X0-4

所以名的最小值為2&+3,

c2

所以當的最小值為12夜+17.

S2

【點評】本題考查了拋物線標準方程的求解，導數幾何意義，直線與圓位置關系，弦長

公式的應用以及利用基本不等式求解最值，考查了邏輯推理能力與運算能力，屬于難題.

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3.已知拋物線/=2px（p>0）上一點P的橫坐標為4,且P到焦點F的距離為5,直線/

交拋物線于A,B兩點（位于對稱軸異側），且。小。8=*

（I）求拋物線的方程；

（II）求證：直線/必過定點.

【分析】（I）由拋物線的定義和性質可得P的值，即可求解；

（II）設出直線A8的方程并與拋物線方程聯立，利用韋達定理以及向量運算求出直線/

的方程，進而可以求解.

【解答】解：（I）由題可得點P到拋物線準線的距離為5,

拋物線的準線方程為x=-￥，由拋物線的定義知4+芻=5,

解得p=2,

故拋物線的方程為y=4招

（II）證明：易知直線A3的斜率不為0,設直線A3的方程為工=機尹

y?y?

A（—，y）,B（一，%）,且yiy2V0，

4114z

聯立方程二1消去x可得J-4”），-書=0,

則△=16〃P+i6f>0,且yi+”=4機，y\y2=-46

由&.茄=招（弋）+為曠2=

解得力”=-18或2（舍去）,

所以-4，=-18,可得，=|,

即直線AB的方程為x=m）T，

*'L

Q

令y=0,則戶2，

9

所以直線/必過定點（一，0）.

2

【點評】本題考查了拋物線的性質以及直線與拋物線的位置關系的應用，考查了學生的

運算推理能力，屬于中檔題.

4.已知點A,B在直線/：y=x+2±（B在A上方），P（2,0）,\AB\=V2,斜率為內的

直線4尸交拋物線「：f=4x于點M,N,直線BP交「于點R,S.

（I）求向的取值范圍；

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1

(n)若0Vki<1,求S&MPR-S^SPN的取值范圍.

【分析】（I）由題意可設AP：y=&]G-2）,由于AP與拋物線，BP與拋物線，均有

1

交點，推出QW1,所W0,總公，1,即可得出答案.

（II）設/（X],>'|）,N（%2）”），R（X3，”），S（JC4,>4），由面積之間的關系，推出

ScMPR—”乙，S&RMN，S*SPN-V2S&MON，進而可得S^MPR'^bSPN~~~^~2^^RMN,

yy

i2乃及（yt-y2）

乃乃（1+3）

SAMON，記R，S到直線AP的距離分別為公，d4,即可得S&MPR，S&SPN=------~~--d3d4，

用點到直線的距離公式可得點R，S到直線AP的距離由，小，分別聯立直線AP,BP與

拋物線的方程，結合韋達定理可得y\+y2>yi”，”+*，）'3》4，代入SAMPR*SASPN，再結

合基本不等式，即可得出答案.

【解答】解：（I）由題意可設AP：y=k\（x-2）,

由于AP與拋物線，直線均有交點，故AiWl,kNO,

聯立直線，與直線”得明T?。?得A（給,懸）,

(3的+15七一1、

而=五,得到B（fci-1）（

七1-1

5kLi

得〃—k]T_5)1-1

何牝―3：1+12―加+3，

J-M3-*1

由于BP與拋物線，直線均有交點，故=儲,

)5^-1

力0

綜上，6(―oo,0)U(0>/)1_)(之，1)U(1/+oo).

(II)設MCxi,y\),N(%2?”)，R(13，>3)，S(工4,y4),

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則S^MPR==3VS^RMN，S^SPN=斯士S^MON'

y\及力丁2

故S4MPR,S&SPN=^^RMN,S&MON，

（71一及）

記R,S到直線AP的距離分別為必，d4,

y^2

則S