《第1章全等三角形和第2章軸對稱圖形》一、選擇題1．下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC、BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數為（）A．15° B．20° C．25° D．30°3．如圖，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列條件中不能判斷△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC4．如圖所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，給出下列結論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△CAN≌△ABM；④CD=DN．其中正確的結論是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④5．如圖，AD是△ABC的角平分線，則AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC6．如圖，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交點，FD=4，AF=2，則線段BC的長度為（）A．6 B．8 C．10 D．127．如圖，AD是△ABC的中線，E、F分別在AB、AC上（且E，F不與端點重合），且DE⊥DF，則（）A．BE+CF＞EFB．BE+CF=EFC．BE+CF＜EFD．BE+CF與EF的大小關系不確定8．如圖，△AOB≌△ADC，點B和點C是對應頂點，∠O=∠D=90°，記∠OAD=α，∠ABO=β，當BC∥OA時，α與β之間的數量關系為（）A．α=β B．α=2β C．α+β=90° D．α+2β=180°二、填空題9．如圖，在3×3的正方形網格中，已有兩個小正方形被涂黑．再將圖中其余小正方形任意涂黑一個，使整個圖案構成一個軸對稱圖形的方法有種．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB邊上，將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在AC邊上的點E處．若∠A=26°，則∠CDE=．11．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一點，且BD=BC，過點D分別作DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分別是E、F．給出以下四個結論：①DE=DF；②點D是AC的中點；③DE垂直平分AB；④AB=BC+CD．其中正確結論的序號是．（把你認為的正確結論的序號都填上）12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點B，C作過點A的直線的垂線BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，則DE=cm．13．如圖，點D在BC上，DE⊥AB于點E，DF⊥BC交AC于點F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，則∠EDF=．14．如圖，在一次夏令營活動中，小明同學從營地A出發，要到A地的北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了320m到達B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達目的地C，那么，由此可知，B、C兩地相距m．15．如圖，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將△ABC沿射線BC的方向平移2個單位后，得到△A′B′C′，連接A′C，則△A′B′C的周長為．16．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數為．17．如圖，已知點P為∠AOB的角平分線上的一點，點D在邊OA上．愛動腦筋的小剛經過仔細觀察后，進行如下操作：在邊OB上取一點E，使得PE=PD，這時他發現∠OEP與∠ODP之間有一定的相等關系，請你寫出∠OEP與∠ODP所有可能的數量關系．18．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作與△ABC只有一條公共邊，且與△ABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出個．三、解答題（共76分）19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度數；（2）延長AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE．20．如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當∠AEB=50°，求∠EBC的度數．21．如圖，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于點O，E是AD的中點，連接OE．（1）求證：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度數．22．已知：如圖，AD、BF相交于點O，點E、C在BF上，BE=FC，AC=DE，AB=DF．求證：OA=OD，OB=OF．23．如圖，O為碼頭，A，B兩個燈塔與碼頭的距離相等，OA，OB為海岸線，一輪船從碼頭開出，計劃沿∠AOB的平分線航行，航行途中，測得輪船與燈塔A，B的距離相等，此時輪船有沒有偏離航線？畫出圖形并說明你的理由．24．如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，FD與AB相交于點M．（1）求證：∠FMC=∠FCM；（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．（1）如圖①，BF垂直CE于點F，交CD于點G，試說明AE=CG；（2）如圖②，作AH垂直于CE的延長線，垂足為H，交CD的延長線于點M，則圖中與BE相等的線段是，并說明理由．26．如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．（1）求證：DE平分∠BDC；（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．27．（1）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上且CE=CA，試求∠DAE的度數；（2）如果把第（1）題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數會改變嗎？說明理由；（3）如果把第（1）題中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關系？28．四邊形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若AC與BD相交于點O，求證：AO=CO．

《第1章全等三角形和第2章軸對稱圖形》參考答案與試題解析一、選擇題1．下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故錯誤；B、不是軸對稱圖形，故錯誤；C、是軸對稱圖形，故正確；D、不是軸對稱圖形，故錯誤．故選C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．2．如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC、BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【考點】全等三角形的性質．【分析】根據全等三角形對應角相等，∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C，根據∠BED+∠CED=180°，可以得到∠A=∠BED=∠CED=90°，再利用三角形的內角和定理求解即可．【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C，∵∠BED+∠CED=180°，∴∠A=∠BED=∠CED=90°，在△ABC中，∠C+2∠C+90°=180°，∴∠C=30°．故選D．【點評】本題主要考查全等三角形對應角相等的性質，做題時求出∠A=∠BED=∠CED=90°是正確解本題的突破口．3．如圖，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列條件中不能判斷△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC【考點】全等三角形的判定．【分析】本題可以假設A、B、C、D選項成立，分別證明△ABC≌△DEF，即可解題．【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，（1）AB=DE，則△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A選項錯誤；（2）∠B=∠E，則△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B選項錯誤；（3）EF=BC，無法證明△ABC≌△DEF（ASS）；故C選項正確；（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，則△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的不同方法的判定，注意題干中“不能”是解題的關鍵．4．如圖所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，給出下列結論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△CAN≌△ABM；④CD=DN．其中正確的結論是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】根據E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF利用AAS可以證得△AEB≌△AFC，進而證得△AEB≌△AFC，△CDM≌△BDN從而作出判斷．【解答】解：∵在△AEB和△AFC中∴△AEB≌△AFC，∴BE=CF，∠EAB=∠FAC，∴∠1+∠CAB=∠2+∠CAB∴∠1=∠2，∴①②正確；∵△AEB≌△AFC∴AC=AB，在△CAN和△ABM中∴△ACN≌△BAM，∴③是正確的；∵△ACN≌△BAM，∴AM=AN，又∵AC=AB∴CM=BN，在△CDM和△BDN中∴△CDM≌△BDN，∴CD=BD，而DN與BD不一定相等，因而CD=DN不一定成立，∴④錯誤．故正確的是：①②③．故選C．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質的應用，能正確證明=出兩個三角形全等是解此題的關鍵，主要考查學生的體力能力．5．如圖，AD是△ABC的角平分線，則AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC【考點】角平分線的性質．【專題】壓軸題．【分析】先過點B作BE∥AC交AD延長線于點E，由于BE∥AC，利用平行線分線段成比例定理的推論、平行線的性質，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性質可有=，而利用AD時角平分線又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代換即可證．【解答】解：如圖過點B作BE∥AC交AD延長線于點E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴=，又∵AD是角平分線，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=，∴AB：AC=BD：CD．故選：A．【點評】此題考查了角平分線的定義、相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理的推論．關鍵是作平行線．6．如圖，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交點，FD=4，AF=2，則線段BC的長度為（）A．6 B．8 C．10 D．12【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】根據高利用角的關系求出∠DBF=∠DAC，根據∠ABC=45°，AD是三角形的高求出∠BAD=45°，然后根據等角對等邊的性質得到AD=BD，然后利用角邊角證明△ACD與△BFD全等，根據全等三角形對應邊相等求出CD的長度，再求出AD的長度，然后即可得解．【解答】解：∵AD、BE是三角形的高，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠DBF=∠DAC，∵∠ABC=45°，AD是三角形是高，∴∠BAD=45°，∴∠ABC=∠BAD，∴AD=BD．在△ACD與△BFD中，，∴△ACD≌△BFD（ASA），∴CD=FD，∵FD=4，AF=2，∴CD=4，BD=AD=FD+AF=4+2=6，∴BC=6+4=10．故選C．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，利用好直角的關系找出相等的角，從而得到三角形全等的條件是解題的關鍵．7．如圖，AD是△ABC的中線，E、F分別在AB、AC上（且E，F不與端點重合），且DE⊥DF，則（）A．BE+CF＞EFB．BE+CF=EFC．BE+CF＜EFD．BE+CF與EF的大小關系不確定【考點】全等三角形的判定與性質；三角形三邊關系．【專題】證明題．【分析】延長ED到G，使ED=DG，連接CG，FG，則△BED≌△CGD，根據線段的等量代換，以及三邊關系可求得BE+CF＞EF．【解答】解：延長ED到G，使DG=ED，連接CG，FG，在△BED與△CGD中，∵，∴△BED≌△CGD（SAS），∴CG=BE，ED=DG，又∵DE⊥DF∴FD是EG的垂直平分線，∴FG=EF∵GC+CF＞FG∴BE+CF＞EF故選：A．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質以及三邊關系，關鍵知道兩邊之和大于第三邊．8．如圖，△AOB≌△ADC，點B和點C是對應頂點，∠O=∠D=90°，記∠OAD=α，∠ABO=β，當BC∥OA時，α與β之間的數量關系為（）A．α=β B．α=2β C．α+β=90° D．α+2β=180°【考點】全等三角形的性質．【分析】根據全等三角形對應邊相等可得AB=AC，全等三角形對應角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后根據兩直線平行，同旁內角互補表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，∴∠BAC=∠OAD=α，在△ABC中，∠ABC=（180°﹣α），∵BC∥OA，∴∠OBC=180°﹣∠O=180°﹣90°=90°，∴β+（180°﹣α）=90°，整理得，α=2β．故選B．【點評】本題考查了全等三角形的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，平行線的性質，熟記各性質并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．二、填空題9．如圖，在3×3的正方形網格中，已有兩個小正方形被涂黑．再將圖中其余小正方形任意涂黑一個，使整個圖案構成一個軸對稱圖形的方法有5種．【考點】利用軸對稱設計圖案．【專題】幾何圖形問題；壓軸題．【分析】根據軸對稱的概念作答．如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形．【解答】解：選擇一個正方形涂黑，使得3個涂黑的正方形組成軸對稱圖形，選擇的位置有以下幾種：1處，3處，7處，6處，5處，選擇的位置共有5處．故答案為：5．【點評】本題考查了利用軸對稱設計圖案的知識，關鍵是掌握好軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB邊上，將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在AC邊上的點E處．若∠A=26°，則∠CDE=71°．【考點】翻折變換（折疊問題）．【分析】根據三角形內角和定理求出∠B，根據折疊求出∠ECD和∠CED，根據三角形內角和定理求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=26°，∴∠B=64°，∵將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在AC邊上的點E處，∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ECD=45°，∠CED=∠B=64°，∴∠CDE=180°﹣∠ECD﹣∠CED=71°，故答案為：71°．【點評】本題考查了折疊的性質，三角形內角和定理的應用，能求出∠CED和∠ECD的度數是解此題的關鍵，注意：折疊后的兩個圖形全等．11．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一點，且BD=BC，過點D分別作DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分別是E、F．給出以下四個結論：①DE=DF；②點D是AC的中點；③DE垂直平分AB；④AB=BC+CD．其中正確結論的序號是①③④．（把你認為的正確結論的序號都填上）【考點】線段垂直平分線的性質；角平分線的性質．【專題】計算題．【分析】本題要從已知進行思考，可得兩對三角形全等，許多角相等，邊相等，利用這些條件對各選項進行驗證，證明．【解答】解：①∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=72°，∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=36°，∴∠ABD=∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分線，∴DE=DF，故①正確．②因為AD=BD，但BD≠CD，故②錯誤；③∵AD=BD，∴DE垂直平分AB，③正確；∴④由①②③可知，AD=BD=BC，又∵AB=AC，∴AB=AD+CD=BC+CD，故④正確；①③④正確．故答案為：①③④．【點評】本題主要考查平分線的性質，由已知能夠注意到△ADE≌△ADF是解決的關鍵．12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點B，C作過點A的直線的垂線BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，則DE=7c【考點】直角三角形全等的判定；全等三角形的性質．【分析】用AAS證明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE=4+3=7cm．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°∴∠EAC=∠B∵AB=AC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴AD=CE，BD=AE∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm．故填7．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SAA、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．13．如圖，點D在BC上，DE⊥AB于點E，DF⊥BC交AC于點F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，則∠EDF=55°．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】由圖示知：∠DFC+∠AFD=180°，則∠FDC=35°．通過全等三角形Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL）的對應角相等推知∠BDE=∠CFD．【解答】解：如圖，∵∠DFC+∠AFD=145°，∠AFD=145°，∴∠FDC=35°．又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt△BDE與△Rt△CFD中，，∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF+∠BDE=∠EDF+∠CFD=90°，∴∠EDF=55°．故答案是：55°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．14．如圖，在一次夏令營活動中，小明同學從營地A出發，要到A地的北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了320m到達B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達目的地C，那么，由此可知，B、C兩地相距320m．【考點】等腰三角形的判定與性質；方向角．【專題】應用題．【分析】首先把實際問題轉化為直角三角形問題來解決，由已知可推出∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，再由三角形內角和定理得∠ACB=30°，從而求出B、C兩地的距離．【解答】解：根據圖形可得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，則∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，即∠ACB=∠BAC，則BC=AB=320m．故答案為：320m．【點評】此題考查了方向角問題，關鍵是實際問題轉化為直角三角形問題，此題還運用了三角形內角和定理．15．如圖，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將△ABC沿射線BC的方向平移2個單位后，得到△A′B′C′，連接A′C，則△A′B′C的周長為12．【考點】平移的性質．【分析】根據平移性質，判定△A′B′C為等邊三角形，然后求解．【解答】解：由題意，得BB′=2，∴B′C=BC﹣BB′=4．由平移性質，可知A′B′=AB=4，∠A′B′C=∠ABC=60°，∴A′B′=B′C，且∠A′B′C=60°，∴△A′B′C為等邊三角形，∴△A′B′C的周長=3A′B′=12．故答案為：12．【點評】本題考查的是平移的性質，熟知圖形平移后新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同是解答此題的關鍵．16．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數為63°或27°．【考點】等腰三角形的性質．【專題】分類討論．【分析】分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可求出它的底角的度數．【解答】解：在三角形ABC中，設AB=AC，BD⊥AC于D．①若是銳角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，底角=（180°﹣54°）÷2=63°；②若三角形是鈍角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此時底角=（180°﹣126°）÷2=27°．所以等腰三角形底角的度數是63°或27°．故答案為：63°或27°．【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質和三角形內角和定理的理解和應用，此題的關鍵是熟練掌握三角形內角和定理．17．如圖，已知點P為∠AOB的角平分線上的一點，點D在邊OA上．愛動腦筋的小剛經過仔細觀察后，進行如下操作：在邊OB上取一點E，使得PE=PD，這時他發現∠OEP與∠ODP之間有一定的相等關系，請你寫出∠OEP與∠ODP所有可能的數量關系∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】數量關系是∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，理由是以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OB于E2，連接PE2，根據SAS證△E2OP≌△DOP，推出E2P=PD，得出此時點E2符合條件，此時∠OE2P=∠ODP；以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OB于另一點E1，連接PE1，根據等腰三角形性質推出∠PE2E1=∠PE1E2，求出∠OE1P+∠ODP=180°即可．【解答】解：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，理由是：以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OB于E2，連接PE2，∵在△E2OP和△DOP中，∴△E2OP≌△DOP（SAS），∴E2P=PD，即此時點E2符合條件，此時∠OE2P=∠ODP；以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OB于另一點E1，連接PE1，則此點E1也符合條件PD=PE1，∵PE2=PE1=PD，∴∠PE2E1=∠PE1E2，∵∠OE1P+∠E2E1P=180°，∵∠OE2P=∠ODP，∴∠OE1P+∠ODP=180°，∴∠OEP與∠ODP所有可能的數量關系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，故答案為：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生的猜想能力和分析問題和解決問題的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．18．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作與△ABC只有一條公共邊，且與△ABC全等的三角形，這樣的三角形一共能作出7個．【考點】全等三角形的判定．【專題】壓軸題．【分析】只要滿足三邊對應相等就能保證作出的三角形與原三角形全等，以腰為公共邊時有6個，以底為公共邊時有一個，答案可得．【解答】解：以AB為公共邊有三個，以CB為公共邊有三個，以AC為公共邊有一個，所以一共能作出7個．故答案為：7．【點評】本題考查了全等三角形的作法；做三角形時要根據全等的判斷方法的要求，正確對每種情況進行討論是解決本題的關鍵．三、解答題（共76分）19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度數；（2）延長AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE．【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】（1）利用“直角三角形的兩個銳角互余”的性質和角平分的性質進行解答；（2）通過證△ACD≌△ECD來推知DA=DE．【解答】（1）解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°；（2）證明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，∴∠ECD=90°，∴∠ACD=∠ECD．在△ACD與△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DA=DE．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．20．如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當∠AEB=50°，求∠EBC的度數．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】（1）根據AAS即可推出△ABE和△DCE全等；（2）根據三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根據三角形的外角性質得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可．【解答】（1）證明：在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°．【點評】本題考查了三角形外角性質和全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．21．如圖，已知AB=CD，∠B=∠C，AC和BD相交于點O，E是AD的中點，連接OE．（1）求證：△AOB≌△DOC；（2）求∠AEO的度數．【考點】全等三角形的判定．【專題】證明題；壓軸題．【分析】（1）由已知可以利用AAS來判定其全等；（2）再根據等腰三角形三線合一的性質即可求得其為直角．【解答】（1）證明：在△AOB和△DOC中∵∴△AOB≌△DOC（AAS）（2）解：∵△AOB≌△DOC，∴AO=DO∵E是AD的中點∴OE⊥AD∴∠AEO=90°【點評】此題考查了學生對全等三角形的判定及等腰三角形的性質的掌握，要熟練掌握這些性質并能靈活運用．22．已知：如圖，AD、BF相交于點O，點E、C在BF上，BE=FC，AC=DE，AB=DF．求證：OA=OD，OB=OF．【考點】全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】根據等式的性質，可得BC與EF的關系，根據三邊對應相等的兩個三角形全等，可得△ABC與△DFE的關系，根據全等三角形的性質，可得∠B與∠F的關系，根據平行線的判定，可得答案．【解答】證明：如圖：連接AF，BD，∵BE=CF，∴BC=FE（等式的性質）．在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SSS）∴∠ABF=∠DFB（全等三角形的對應角相等），∴AB∥DF（內錯角相等都，兩直線平行）．又∵AB=DF，∴四邊形ABDF為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）∴OA=OD，OB=OF（平行四邊形的對角線互相平分）．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，三邊對應相等的兩個三角形全等，全等三角形的對應角相等．23．如圖，O為碼頭，A，B兩個燈塔與碼頭的距離相等，OA，OB為海岸線，一輪船從碼頭開出，計劃沿∠AOB的平分線航行，航行途中，測得輪船與燈塔A，B的距離相等，此時輪船有沒有偏離航線？畫出圖形并說明你的理由．【考點】全等三角形的應用．【分析】只要證明輪船與O點的連線平分∠AOB就說明輪船沒有偏離航線，也就是證明∠AOP=∠BOP，證角相等，常常通過把角放到兩個三角形中，利用題目條件證明這兩個三角形全等，從而得出對應角相等．【解答】解：此時輪船沒有偏離航線．理由：由題意知：OA=OB，OP=OP，PA=PB∴△OAP≌△OBP（SSS）∴∠AOP=∠BOP．∴此時輪船沒有偏離航線．【點評】本題考查了全等三角形的應用；解答本題的關鍵是：根據條件設計三角形全等，巧妙地借助兩個三角形全等，尋找對應角相等．要學會把實際問題轉化為數學問題來解決．24．如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，FD與AB相交于點M．（1）求證：∠FMC=∠FCM；（2）AD與MC垂直嗎？并說明理由．【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．【專題】幾何綜合題．【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質得出DF⊥AE，DF=AF=EF，進而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行線的判定得出答案．【解答】（1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中點，∴DF⊥AE，DF=AF=EF，又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF，在△DFC和△AFM中，，∴△DFC≌△AFM（AAS），∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM；（2）AD⊥MC，理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及等腰直角三角形的性質，得出∠DCF=∠AMF是解題關鍵．25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．（1）如圖①，BF垂直CE于點F，交CD于點G，試說明AE=CG；（2）如圖②，作AH垂直于CE的延長線，垂足為H，交CD的延長線于點M，則圖中與BE相等的線段是CM，并說明理由．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】（1）根據題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，且CD為斜邊上的中線，利用三線合一得到CD垂直于AB，且CD為角平分線，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一對角相等，AC=BC，利用ASA得到三角形AEC與三角形CGB全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；（2）由CD為角平分線，且∠ACB為直角，確定出∠ACD=∠BCD=45°，再由AC=BC，CD=CD，利用SAS得到三角形BCD與三角形ACD全等，利用全等三角形的對應角相等得到一對角相等，再利用同角的余角相等得到一對角相等，根據AC=BC，利用AAS得到三角形BCE與三角形CAM全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證．【解答】（1）證明：∵點D是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；（2）答：BE=CM理由：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，在△BCD和△ACD中，，∴△BCD≌△ACD（SAS），∴∠ADC=∠CDB，∵∠ADC+∠CDB=180°，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠CBE=45°，∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．故答案為：CM．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．26．如圖，已知點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上的一點，且CE=CA．（1）求證：DE平分∠BDC；（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．【考點】全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；等腰直角三角形．【專題】證明題；壓軸題．【分析】（1）根據等腰直角△ABC，求出CD是邊AB的垂直平分線，求出CD平分∠ACB，根據三角形的外角性質求出∠BDE=∠CDE=60°即可．（2）連接MC，可得△MDC是等邊三角形，可求證∠EMC=∠ADC．再證明△ADC≌△EMC即可．【解答】證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∠ABD=∠ABC﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分線上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分線上，即直線CD是AB的垂直平分線，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC．（2）如圖，連接MC．∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等邊三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM．在△ADC與△EMC中，，∴△ADC≌△EMC（AAS），∴ME=AD=BD．【點評】此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質的等知識點，難易程度適中，是一道很典型的題目．27．（1）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上且CE=CA，試求∠DAE的度數；（2）如果把第（1）題中“AB=AC”的條件去掉，其余條件不變，那么∠DAE的度數會改變嗎？說明理由；（3）如果把第（1）題中“