2016年中考數學復習專題講座五：數學思想方法（一數學知識的重要組成部分。數學思想方法是數學知識在更次上的抽象和概括，它蘊含抓住數學思想方法，迅速調用數學思想方法，更是提高解題能力根本之所在．因例 B． 考點：解二元一次方程組。810360專題：計算題。分析：①+4a+4b=124即可得出答案．解答：解：，A．點評：本題考查了解二元一次方程組的應用，關鍵是檢查學生能否運用整體思想求出答例2 （2015?內江）已知A（1，5），B（3，﹣1）兩點，在x軸上取一點M，使AM﹣BM取得最大值時，則M的坐標為 x軸、y軸對稱的點的坐標。810360分析：作點BxB′AB′并延長與xM點．利用待定系數法求出直線AB′xM點的坐解答：解：如圖，作點B關于xB′AB′x軸的交點，即為所MAM﹣BM=AM﹣B′M=AB′．AB′y=kx+b，把A（1，5）B′（3，1），解 AB′y=﹣2x+7．令y=0，解得x=，∴M點坐標為（點評：本題可能感覺無從下手，主要原因是平時習慣了線段之和最小的問題，突然碰到解然后綜合得解這就是分類討分類討論是一種邏輯方法是一種重要的數學思想，（1）（2）（3）例3 （2015黔南州）州某教行政部計劃年暑假組部分教到外地行學習，預訂館住宿，有住條件一的甲、兩賓館供選，其標準均每人天120元并且各推出不的案．甲是5人（含35人）以的按標，超過35人的，超出部分按九折；乙家是45人（含45人）以內的按標準，超考點：一次函數的應用。分析：當x≤3535＜x≤45時，選擇甲賓館比較便宜，當x＞35時，兩個賓館的可以表示成人數x的函數，比較兩個函數值的大小即可．解答：解：設總人數是x，x≤35時，選擇兩個，賓館是一樣的；當x＞45時，甲賓館的是：y甲=35×120+0.9×120×（x﹣35），即y甲y乙 當y甲=y乙時 當y甲＞y乙時，即108x+420＞96x 當y甲＜y乙時，即108x+420＜96x 總之，當x≤35或x=55時，選擇兩個，賓館是一樣的；當35＜x＜55時，選擇甲賓館比較便宜；點評：此題的關鍵是用代數式列出在甲、乙兩賓館的費用，用了分類討論的方法，是解例 BCx軸上，有，ACy過點OOG⊥ACG，求△OEGF（10，0），在△ABCP，Q，是否存在以O，P，Q為頂點的三角形與△OFPOP的異側？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．考點：一次函數綜合題。分析：（1）EQAC上；②點QAB上．求直線OP與直線AC的解答：解：（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE= ，∴點設直線AC的函數解析式為 EG=6，OG=10，∴S△OEG=QACQ即為點1，作∠FOQCE由△OP1F≌△OP1QP1F⊥xP1AC上，當x=10 =∴點 QAB2，有OQ=OF，作∠FOQCEQ作QH⊥OB于點H，設OH=a，BH=QH=14﹣a，Rt△OQH中，a2+（14﹣a）2=100，∴Q（﹣6，8）或Q（﹣8，6）．QFOP2M．Q（﹣6，8）M（2，4）．Q（﹣8，6）M（1，3）．OP2的解析式為y=kx，則解方程 ， ∴P2（如圖，有QP4∥OF，QP4=OF=10P4在E點，P4的橫坐標為x，則點Q∵yQ=yP，直線AB∴（x﹣10）+14=﹣x+2解得 ∴點 QBC邊上時，如圖，OQ=OF=10P5E∴P5（0，2 ）或 ）或 點評：此題考查一次函數的綜合應用，運用了分類討論的數學思想方法，綜合性強，難 A．B． 考點：同底數冪的除法；冪的乘方與積的乘方。分析：由3x=4，9y=73x﹣2y=3x÷32y=3x÷（32）y，代入即可求得答案．解答：解：∵3x=4，9y=7，A．3x﹣2y變形3x÷（32）y是解此題的關鍵．2．（2015?）計算（a2）3÷（a2）2的結果是 考點：整式的除法。分析：根據冪的乘方首先進行化簡，再利用同底數冪的除法的運算法則計算后直接選取解答：解3．（2015?南昌）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，則 考點：完全平方公式。810360專題：計算題。分析：根據完全平方公式由（m﹣n）2=8m2﹣2mn+n2=8①，由（m+n）2=2m2+2mn+n2=2②，然后①+②得，2m2+2n2=10m2+n2的值．解答：解：∵（m﹣n）2=8，①+C．點評：本題考查了完全平方公式：4．（2015?本溪）已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的兩個解恰好分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，則△ABC的周長為（ B．11或 考點：解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質。分析：由一元二次方程x2﹣8x+15=0的兩個解恰好分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC的底邊長和腰長，然后分別從當底邊長和腰長分3553時去分析，即可求得答案．解答：∴（x﹣3（x﹣5）=0，∴x﹣3=0x﹣5=0，x1=3，x2=5，35∴△ABC53∴△ABC∴△ABC的周長為：1113．B．點評：此題考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性質以及三角形三邊關5．（2015?萊蕪）已知m、n是方程x2+2x+1=0的兩根，則代數式的值（ 考點：根與系數的關系；二次根式的化簡求值。810360專題：整體思想。分析：根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系得到m+n=﹣2mn=1，再變形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整體代入計解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的兩根 ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩根分別為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了二次根式的化簡求值．最短時，點B的坐標為 考點：一次函數的性質；正數和負數；垂線段最短。810360專題：計算題。分析：先過點AAB′⊥OBB′By=x上運動，所以△AOB′是等腰直角三角形，由勾股定理求出OB′B′的坐標．解答：解：先過點A作AB′⊥OBB′B′B重合AB最短，By=x∴△B′COA的坐標為即當線段AB最短時，點B的坐標為（﹣，﹣），B．7（2015?黔西南州）y=x2+bx﹣2與xA、By點，且A（﹣1，0），點M（m，0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，m A．B．C．考點：軸對稱-最短路線問題；二次函數的性質；相似三角形的判定與性質。CxC′xm解答：解：∵點A（﹣1，0）在拋物線y=x2+bx﹣2上∴拋物線的解析式為y=x2﹣CxC′C′Dx根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小．設拋物線的對稱軸交x軸于點E．∵ED∥y B．點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式，軸對稱性質以及相似三角形的性8．（2015?黃石）如圖所示，已知A（，y1），B（2，y2）為反比例函數y=圖象上的兩點，動點P（x，0）在x軸正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時P的坐標是（） 考點：反比例函數綜合題；待定系數法求一次函數解析式；三角形三邊關系。810360專題：計算題。分析：求出ABAB的解析式是y=kx+bA、B的坐標代入求出直線AB的解析式，根據三角形的三邊關系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜ABAB交xP′PP′點時，PA﹣PB=ABAPBP之差達到最大，求出直ABx軸的交點坐標即可．解答：解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函數y=得：y1=2，y2=AB交xP′PP′點時，PA﹣PB=AB，即此時線段APBP之差達到最大，AB的解析式是把A、B的坐標代入得 解得：k=﹣1，b=∴直線AB的解析式是y=﹣x+，當y=0時，x=，即P（，0），D．點評：本題考查了三角形的三邊關系定理和用待定系數法求一次函數的解析式的應用，P點的位置，題目比較好，但有一定的難度．9．（2015?蘭州）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數為（ 考點：軸對稱-最短路線問題。分析：根據要使△AMN上，作出ABCCDA′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，進而解答：解：作ABCCD的對稱點A′，A″，連接A′A″BCMCD點評：此題主要考查了平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出M，N的位置是解題關鍵． A．B．C．1﹣D．考點：幾何概率；正多邊形和圓；扇形面積的計算。8103601SFAB，S扇形DEF，再利用三個扇形面積減去正六邊形面積等于陰影部分面積，進而得出飛鏢插在陰解答：解：根據圖象可以得出，OOOM⊥BC，1120°，則S扇形FAB==，故S扇形BCD==，S扇形DEF==∴S△OBC=×OM×BC= ×1=∴S正六邊形面積= ∴S陰影=﹣ 點評：此題主要考查了概率公式以及正六邊形面積求法和扇形面積公式等知識，根據已 A．B．C．D．考點：幾何概率。810360分析：先根據矩形的性質求出矩形對角線所分的四個三角形面積相等，再根據旋轉的性解答：解：根據矩形的性質易證矩形的對角線把矩形分成的四個三角形均為同底等高的根據旋轉的性質易證陰影區域的面積=4份中的一份，點評：此題考查了幾何概率，用到的知識點為：概率=外完全相同），假設沙包每一個角形是等可能的，扔沙包1次陰影區域的概 A．B．C．D．考點：幾何概率。810360解答：解：因為陰影部分的面積與三角形的面積的比值是=，所以扔沙包1次 點評：本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰13．（2015?揚州）已知2a﹣3b2=5，則10﹣2a+3b2的值 考點：代數式求值。810360專題：計算題。分析：先將10﹣2a+3b22a﹣3b2=5整體代入即可得出答案．解答：解：10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2），點評：此題考查了代數式求值的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握整體思想的14．（2012?黔西南州）已知﹣2xm﹣1y3和xnym+n是同類項，則（n﹣m）2012= 考點：同類項。專題：計算題。分析：根據同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數相同）解答：解：∵﹣2xm﹣1y3和xnym+n是同類項m=2，n=1，點評：本題考查了同類項的定義，注意同類項定義中的兩個“相同15．（2015?常州）已知x=y+4，則代數式x2﹣2xy+y2﹣25的值為 考點：完全平方公式。810360分析：根據已知條件“x=y+4”可知“x﹣y=4”x﹣yx﹣y的值代入求值即可．解答：解：∵x=y+4， 的值 考點：完全平方公式。810360專題：計算題。分析：將x+=3兩邊平方，然后移項即可得出答案．解答：解：由題意得，x+=3，兩邊平方得：x2+2+故x2+=7．點評：此題考查了完全平方公式的知識，掌握完全平方公式的展開式的形式是解答此題18．（2015?鄂州）在銳角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，MN分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值 考點：軸對稱-最短路線問題。810360專題：探究型。分析：過點CCE⊥ABEBDM′M′M′N′⊥BCCE即為CM+MN的最小值，再根據BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直CE的長．解答：解：過點CCE⊥ABEBDM′M′M′N′⊥BCCE即CM+MN的最小值， 點評：本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，根據題意作出輔助線，構造出等腰直角三16．（2015?麗水）已知A=2x+y，B=2x﹣y考點：完全平方公式。分析：把A、B兩式代入，再計算完全平方公式，去括號，合并同類項即可．解答：解：A2﹣B2=（2x+y）2﹣（2x﹣y）22=a2±2ab+b2．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放20．（2015?攀枝花）先化簡，再求值：，其中x滿足方考點：分式的化簡求值；一元二次方程的解。810360專題：計算題。分析：將原式括號中通分并利用同分母分式的減法法則計算，分子合并后利用平方差公x的值代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值．解答：解：（x+1﹣∵x∴（x﹣2x+3=0，x=20，故舍去；當x=﹣3時，原式==．0x=2舍去．決定從2012年5月1日起對居民生活用電試行“階梯電價”，具體標準見下表：150a150300b3002012510060200千瓦時，交122.520125x千瓦時，當月交電費y yx試行“階梯電價”以后，該市一戶居民月用電多少千瓦時時，其當月的平均電價每0.62元？考點：一次函數的應用。分析：（1）10060a的值，進而利用居200122.5b的值即可；（2）利用當x≤150150＜x≤300x＞300時，0.65x﹣75≤0.62xxx＞300時，0.9x﹣82.5≤0.62x，分別得出即解答：解：（1）2012510060元；200122.5元．（2）x≤150150＜x≤300x＞300x150＜x≤300xx＞3000.62點評：此題主要考查了一次函數的應用以及分段函數的應用，根據自變量取值范圍不同x的取值是解題關鍵．24．（2012?天門）同學的父母在外打工，家中只有年邁多病的．星期天早上，李老師從家中出發步行前往家家訪．6分鐘后，從家出發騎車到相距1200米的藥店給買藥，停留14分鐘后以相同的速度按原路返回，結果與同時到家．家、家、藥店都在東西方向筆直大，且藥店在家與家之間．在此過程中設出發t（0≤t≤32）分鐘后師生二人離家的距離分別為S1、S2．S與t之間的函 （3）出發多長時間后在途中與相遇考點：一次函數的應用。分析：（1）根據速度=，再結合圖形，即可求 t由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t ，然后求出t的值即可；解答：解：（1）步行的速度為1600÷32=50米/分；故答案為：50米/0≤t≤6時，S2=0，6＜t≤12時，S2=200t﹣1200，12＜t≤26時，S2=1200，當26＜t≤32時 由S1=S2得，200t﹣1200=﹣50t 解得t=11.2，則出發5.2分鐘后在途中與相遇點評：此題考查了一次函數的應用，此類題是近年中的熱點問題，在此題中作圖的25．（2012?綏化）如圖，四邊形ABCD為矩形，Cx軸上，Ay軸上，D點坐標是（0，0），B點坐標是（3，4），矩形ABCDEF折疊，點ABCG處，E、FAD、ABF點的坐標是（2，