◆學習目的了解隨機解釋變量問題的概念、產生的原因及造成的后果、克服的方法。◆基本要求1)認識到隨機解釋變量問題是計量經濟學建模經常會遇到的問題;2)了解隨機解釋變量問題的概念、產生的原因及造成的后果;3)掌握存在隨機解釋變量問題時的計量經濟學建模方法及應用。第八章隨機解釋變量問題主講人：楊君

一、線性回歸模型的基本假設

假設1、解釋變量X是確定性變量，不是隨機變量；假設2、隨機誤差項具有零均值、同方差和不序列相關性：

E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n

假設3、隨機誤差項與解釋變量X之間不相關：

Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n

假設4、服從零均值、同方差、零協方差的正態分布i~N(0,2)i=1,2,…,n回顧

1、如果假設1、2滿足，則假設3也滿足;2、如果假設4滿足，則假設2也滿足。注意：

以上假設也稱為線性回歸模型的經典假設或高斯（Gauss）假設，滿足該假設的線性回歸模型，也稱為經典線性回歸模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。

回顧

普通最小二乘估計量（ordinaryleastSquaresEstimators）稱為最佳線性無偏估計量（bestlinearunbiasedestimator,BLUE）

高斯—馬爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)

在給定經典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。回顧◆隨機解釋變量問題及其產生原因◆隨機解釋變量的影響◆隨機解釋變量問題的修正第八章隨機解釋變量問題第一節隨機解釋變量問題及其產生原因—、隨機解釋變量問題

在很多情況下，我們不能假定解釋變量全部是確定性變量，而實際上它們有的是隨機變量，我們把違背這一基本假設的問題稱為隨機解釋變量問題。對于模型

其基本假設之一是解釋變量X1，X2，…，Xk都是確定性變量。如果存在一個或多個解釋變量為隨機變量，則稱原模型存在隨機解釋變量問題。例:為討論方便，假設(8-1)式中X2為隨機解釋變量。

1.隨機解釋變量與隨機誤差項獨立(Independence)

2.

隨機解釋變量與隨機誤差項同期無關(contemporaneouslyuncorrelated)，但異期相關。

3.隨機解釋變量與隨機誤差項同期相關(contemporaneouslycorrelated)。

實際經濟問題中的隨機解釋變量問題

在實際經濟問題中，經濟變量往往都具有隨機性。但是在單方程計量經濟學模型中，凡是外生變量都被認為是確定性的。于是隨機解釋變量問題主要表現于：用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。但是，并不是所有包含滯后被解釋變量的模型都帶來“隨機解釋變量問題”二、隨機解釋變量問題產生的原因耐用品存量調整模型。著名的“耐用品存量調整模型”可表示為例8-1:

該模型表示，耐用品的存量

由前一個時期的存量

和當期收入

共同決定。這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。但是，如果模型不

只與

相關，與

不相關，屬于隨機解釋變量與隨機干擾項同期無關，但異期相關的情況。

存在隨機干擾項的序列相關性，那么隨機解釋變量

（2）合理預期的消費函數模型

合理預期理論認為消費Ct是由對收入的預期Yte所決定的：

預期收入Yte與實際收入Y間存如下關系的假設

容易推出Ct-1是一隨機解釋變量，且與(t-t-1)高度相關（Why?）。屬于上述第3種情況。第二節隨機解釋變量的影響

計量經濟學模型一旦出現隨機解釋變量，且與隨機干擾項相關的話，如果仍采用普通最小二乘法估計模型參數，則不同性質的隨機解釋變量問題會產生不同的后果。以一元線性回歸模型為例進行說明。圖8-1

從圖形(圖4-1)上看，如果隨機解釋變量與隨機干擾項正相關，則在抽取樣本時，容易出現X值較小的點在總體回歸線下方，而X值較大的點在總體回歸線上方的情況，因此，擬合的樣本回歸線則可能低估(underestimate)了截距項，而高估(overestimate)斜率項。反之，如果隨機解釋變量與隨機干擾項負相關，則往往導致擬合的樣本回歸線高估截距項，而低估斜率項。對一元線性回歸模型在第二章曾得到如下最小二乘估計量：隨機解釋變量X與隨機干擾項的關系不同，參數OLS估計量的統計性質也會不同。分三種不同情況：而,所以同理，所以參數OLS估計量,仍然是無偏一致估計量1、如果X與相互獨立，得到的參數估計量仍然是無偏、一致估計量。

2、如果X與同期不相關，異期相關，得到的參數估計量有偏、但卻是一致的。

kt的分母中包含不同期的X；由異期相關性知：kt與t相關，因此，但是

注意：

如果模型中帶有滯后被解釋變量作為解釋變量，則當該滯后被解釋變量與隨機誤差項同期相關時，OLS估計量是有偏的、且是非一致的。即使同期無關，其OLS估計量也是有偏的，因為此時肯定出現異期相關。

3、如果X與同期相關，得到的參數估計量有偏、且非一致。

第三節隨機解釋變量問題的修正工具變量的選取工具變量的應用工具變量法估計量的性質

模型中出現隨機解釋變量并且與隨機干擾項相關時，普通最小二乘估計量是有偏的。如果隨機解釋變量與隨機干擾項異期相關，則可以通過增大樣本容量的辦法來得到一致的估計量；但如果是同期相關，即使增大樣本容量也無濟于事。這時，最常用的方法是工具變量(instrumentvariables)法。一、工具變量的選取——在模型估計過程中被作為工具使用的變量，

用以替代與隨機干擾項相關的隨機解釋變量。被選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：1.工具變量Z與所替代的隨機解釋變量X高度相關，即2.工具變量Z與隨機干擾項不相關，即3.工具變量Z與模型中其他解釋變量不相關，以避免出現多重共線性。

工具變量二、工具變量的應用（以一元回歸模型為例說明）

記一元線性回歸模型如下：用普通最小二乘法估計模型得正規方程組：

按照工具變量的選擇條件選擇z為X的工具變量得正規方程組：于是于是

然而，如果Xi與i相關，即使在大樣本下，也不存在

(xii)/n0

，則在大樣本下也不成立，OLS估計量不具有一致性。由于Cov(Xi,i)=E(Xii)=0，意味著大樣本下

(xii)/n0

表明大樣本下成立，即OLS估計量具有一致性。

采用工具變量法得到的正規方程組為二、工具變量的應用（以多元線性回歸模型為例說明）

其矩陣形式為采用參數估計量得到的正規方程組為（4-22）其中通常，對于沒有選擇另外的變量作為工具變量的解釋變量，可以認為用自身作為工具變量。于是Z稱為工具變量矩陣。三、工具變量法估計量的性質1．工具變量法估計量是有偏估計量2．工具變量法估計量是一致估計量1．工具變量法估計量是有偏估計量

用工具變量法所求的參數估計量

與總體參數真值

之間的關系為于是因Z和X都是隨機變量，在一般情況下，故

上式說明工具變量法估計量一般不具有無偏性。這說明工具變量法估計量具一致性。2．工具變量法估計量是一致估計量如果工具變量Z選取恰當，則有

因此，對式（4-23），兩邊取概率極限得隨機解釋變量的Eviews操作實例1，已知1978-1998年中國國內生產總值GDP、宏觀消費CONS、資本總額CAPI數據。假設最初建立模型為：

CONS=β0+β1GDP+μGDP為隨機解釋變量，必定與隨機誤差項相關。——采用工具變量法進行修正操作步驟：１、建立工作文件e4-4-2，建立數據組并輸入數據

2、計算CONS=β0+β1GDP+μ的回歸結果3、生成殘差序列e=resid4、用殘差序列e和CAPI做相關分析

E與CAPI的相關系數為-0.0328，說明兩者不相關，所以選擇CAPI作為GDP的工具變量5、用工具變量進行修正引入工具變量后得到的回歸方程為：引入工具變量前得到的回歸方程為：(1)在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的。注意：幾個重要的概念

(2)工具變量并沒有替代模型中的解釋變量，只是在估計過程中作為“工具”被使用。(3)如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關，就必須找到兩個以上的工具變量。但是，一旦工具變量選定，它們在估計過程被使用的次序不影響估計結果。(4)OLS可以看作工具變量法的一種特殊情況。

(5)要找到與隨機擾動項不相關而又與隨機解釋變量相關的工具變量并不是一件很容易的事

可以用Xt-1作為原解釋變量Xt的工具變量。

案例2：居民總消費模型以居民消費總額JMXF為被解釋變量；以GDP和JMXF(-1)為解釋變量；進行OLS估計。JMXF(-1)為隨機解釋變量，且與隨機誤差項相關；以政府消費ZFXF作為工具變量，進行IV估計。數據OLS估計IV估計估計結果OLS:JMXF=1001.164757+0.1367699684*GDP+0.7238178139*JMXF(-1)IV:JMXF=1059.996753+0.1584492759*GDP+0.6655810226*JMXF(-1)

IV案例：居民總消費模型以居民消費總額JMXF為被解釋變量；以GDP和JMXF(-1)為解釋變量；進行OLS估計。經分析，GDP可能為隨機解釋變量，且與隨機誤差項相關；以政府消費ZFXF作為工具變量，進行IV估計；以政府消費ZFXF和資本形成ZBXC作為工具變量，進行GMM估計。數據解釋變量的內生性檢驗——Hausman檢驗如果δ顯著為0→v與Y同期無關→v與μ同期無關→X與μ同期無關→X是同期外生變量；如果δ顯著不為0→v與Y同期相關→v與μ同期相關→X與μ同期相關→X是同期內生變量。Z1外生，與μ不相關選擇Z2作為X的工具變量解釋變量的內生性檢驗——Hausman檢驗如果δ顯著為0→v與Y同期無關→v與μ同期無關→X與μ同期無關→X是同期外生變量；如果δ顯著不為0→v與Y同期相關→v與μ同期相關→X與μ同期相關→X是同期內生變量。JMXF(-1)外生，與μ不相關分別選擇ZFXF與ZBXC作為GDP的工具變量選擇ZFXF作為GDP的工具變量檢驗GDP是否為內生變量做如下方程，求殘差項V把殘差項V代入方程DependentVariable:JMXFMethod:LeastSquaresDate:09/23/11Time:08:13Sample:19792005Includedobservations:27VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C1216.304280.01904.3436500.0002GDP0.3308590.0683944.8375410.0001JMXF(-1)0.2047140.1828071.1198400.2743V0.2977150.0963913.0886270.0052R-squared0.998346Meandependentvar23729.26AdjustedR-squared0.998130S.D.dependentvar21866.27S.E.ofregression945.5075Akaikeinfocriterion16.67727Sumsquaredresid20561641Schwarzcriterion16.86925Loglikelihood-221.1432F-statistic4627.565Durbin-Watsonstat1.048512Prob(F-statistic)0.000000由分析結果中的V檢驗，可知GDP是內生性變量IV估計用ZFXF作為GDP的工具變量進行分析軟件操作：EVIEWS-----Quick------EstimateEquationDependentVariable:JMXFMethod:Two-StageLeastSquaresDate:09/23/11Time:08:27Sample(adjusted):19792005Includedobservations:27afteradjustingendpointsInstrumentlist:CZFXFJMXF(-1)VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C972.6883321.30333.0273220.0058GDP0.1208470.0419822.8785290.0083JMXF(-1)0.7658610.1114746.8703320.0000R-squared0.997635Meandependentvar23729.26AdjustedR-squared0.997437S.D.dependentvar21866.27S.E.ofregression1106.898Sumsquaredresid29405335F-statistic5056.138Durbin-Watsonstat0.517847Prob(F-statistic)0.000000ZFXF作為GDP的工具變量的分析結果：GMM估計用ZFXF和ZBXC作為GDP的工具變量進行分析軟件操作：EVIEWS-----Quick------EstimateEquationZFXF和ZBZC作為GDP的工具變量的分析結果：DependentVariable:JMXFMethod:GeneralizedMethodofMomentsBandwidth:Fixed(2)Kernel:BartlettConvergenceachievedafter:2weightmatricies,3totalcoefiterationsInstrumentlist:CZFXFZBXCJMXF(-1)VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C975.1255382.97082.5462140.0177GDP0.1218420.0353963.4422640.0021JMXF(-1)0.7631300.0902668.4542180.0000R-squared0.997638Meandependentvar23729.26AdjustedR-squared0.997441S.D.dependentvar21866.27S.E.ofregression1106.190Sumsquaredresid29367767Durbin-Watsonstat0.516445J-sta