第五章剛體力學1剛體運動概述：剛體：在任何情況下形狀和大小都不變的物體。即任意兩質點之間的距離保持不變的質點系（理想模型）。

剛體——一種特殊質點系

質點系

質點

剛體2用以確定一個物體在空間的位置所需的獨立坐標的個數。自由剛體的自由度數n=6非自由剛體的自由度數小于6

物體系運動自由度n，決定了其獨立的微分方程組的數目有n個，其中每個方程均為二階微分方程.若運動被限制或被約束,其自由度將減少。多一個約束條件,就減少一個自由度。ABC二、剛體的自由度3三、剛體運動的幾種形式1.平動（平移）

運動過程中剛體內任意一條直線在運動過程中始終保持方向不變。

剛體的任意運動都可視為某一點的平動和繞通過該點的軸線的轉動特點：剛體內所有的點具有相同的位移、速度和加速度。－－剛體上任一點的運動規律即代表剛體的平動規律。研究方法：用質心代表整個剛體的運動。可視為質點。（n=3）42.定軸轉動

剛體上所有質點都繞同一直線作圓周運動。這種運動稱為剛體的轉動。這條直線稱為轉軸。定軸轉動：轉軸固定不動的轉動。O特點：剛體內所有的點具有相同的角位移、角速度和角加速度。——剛體上任一點作圓周運動的規律即代表了剛體定軸轉動的規律(n=1)5

剛體上各點都平行于某一固定平面的運動稱為剛體的平面運動，又稱為剛體的平面平行運動。3平面平行運動可以分解為：剛體隨質心的平動（i=2）和繞質心垂直于運動平面的定軸轉動（i=1）如：車輪直線滾動64定點轉動：

運動中剛體上只有一點固定不動，整個剛體繞過該固定點的某一瞬時軸線轉動.如：陀螺的運動75一般運動剛體不受任何限制的的任意運動,稱為剛體的一般運動。它可視為以下兩種剛體的基本運動的疊加：

繞通過基點O的瞬時軸的定點轉動

隨基點O（可任選）的平動基點（O和O

′）選取不同，平動不同，轉動也可以不同，與基點的選取有關如圖示的兩種運動分解：8剛體的一般運動質心的平動繞質心的轉動+9五、歐拉角1011121314151617181920212223證加241.剛體內任意點的速度剛體內任意點的速度和加速度252.剛體內任意點的加速度上式是處理剛體運動學問題的基礎，對于各種具體的運動形態，只需要相應的做出限制。26（1）平動：（2）定軸轉動：取基點A位于轉軸上27（3）平面平行運動（4）定點運動：以定點為基點，并取為坐標原點282930六、瞬時轉動中心上式是否總成立？兩邊用標乘能否在剛體上或與之剛性聯結的地方，找到速度為零的點？31平面平行運動總能找到瞬心。兩邊矢乘32所以，速度為0的點的位置矢量為用分量形式寫出則得速度為零的點的坐標33與幾何法找瞬心34§5.2轉動慣量一、剛體的動量矩

mi對o點的動量矩：剛體對o點的動量矩352.坐標表示36統稱慣量系數37I慣量張量描述剛體轉動時慣性特征的物理量。矩陣形式矩陣形式矩陣形式38慣量主軸與方向一般不一致，但總能找到一些特殊的方向，剛體繞通過定點沿這些方向的軸轉動時，兩方向一致。這些軸稱為慣量主軸。慣量主軸與矩陣元的關系設x軸為慣量主軸繞x軸轉動時慣量主軸定義39充要條件同理y軸為慣量主軸時Z軸為慣量主軸時與慣量主軸相關的慣量積（非對角矩陣元）為零40均勻剛體的慣量主軸1.對稱軸設x為對稱軸，剛體上任意點（x,y,z）對稱點（x,-y,-z）對稱軸是慣量主軸。2.對稱軸的法線設yz面是通過定點的對稱面，x軸是法線，剛體上任意點（x,y,z）對稱點（-x,y,z）對稱面的法線也是慣量主軸41四、轉動慣量剛體繞定點轉動的慣性轉動張量度量張量剛體繞定軸轉動的慣性轉動慣量度量標量剛體對軸線的轉動慣量

是i質點到轉軸的垂直距離對連續分布42討論此均質剛體繞哪個轉軸轉動慣量大？為什么？12決定剛體轉動慣量的因素：剛體的質量分布轉軸的位置注意43記住！例題1.質量連續分布:

若棒繞一端o轉動，由平行軸定理，則轉動慣量為

解

o

(1)均質細直棒(質量m、長l)，求通過質心C且垂直于棒的軸轉動的轉動慣量。Cxxodxdm44R

(3)均質圓盤(m,R)對中心軸的轉動慣量:dmrdr

(2)均質細圓環(m,R)對中心軸的轉動慣量:

45平行軸定理若剛體對過質心的軸的轉動慣量為Jc，則剛體對與該軸相距為d的平行軸z的轉動慣量Jz

是mR如圖所示：46垂直軸定理o對于薄板剛體，繞垂直于板面的軸Oz的轉動慣量，等于位于板面內與Oz軸交于一點的兩相互正交軸Ox和Oy的轉動慣量之和。例如：薄盤繞直徑的轉動慣量4748轉動慣量也可由對定點O的慣量矩陣求得角速度繞轉軸的角動量49若力學體系有幾個部分組成，整體繞定軸轉動的轉動慣量,等與各部分對該軸的轉動慣量之和。即組合定理

例如：有質量為,長為的均質細桿和質量為，半徑為的勻質球體組成的剛體，對Z軸的轉動慣量為50知道了剛體對某定點的慣量張量，就可求出通過該點的任一軸線的轉動慣量51五、剛體的動能剛體的動能是剛體內各質點的動能之和按柯尼希定理，動能分解為隨質心平動動能和相對質心的動能之和先一般討論剛體繞固定點轉動時動能的表達式52是剛體對通過定點的瞬時轉軸的轉動慣量53如果坐標軸是關于定點的慣量主軸，慣量矩陣是對角化的剛體對質心的轉動動能的表達式也應具有相同的形式54剛體一般運動時的動能平動，定軸轉動，平面平行運動55565758595.3節見課本136頁60剛體的定軸轉動描述剛體的轉動力學量剛體上A.B兩點被約束不動剛體繞A.B軸做定軸轉動角度變量角速度xyzBAFbFa對原點o剛體角動量o61剛體繞z軸轉動慣量動能：62剛體定軸轉動的基本方程：1.質心定理：2.角動量定理63轉軸方向是固定的，約束力與z軸相交，與之相對應的力矩沒有z方向的分量。剛體定軸轉動只有一個自由度，一個方程，其它5個方程，可以用來確定定軸轉動剛體約束力。與牛頓第二定律相比，地位相當。64§5.7剛體的平面平行運動

一、平面平行運動的運動學

1.運動特征1)其上任一點始終在平行于某一固定平面內運動，剛體上垂直該固定平面的直線上各點運動情況相同。因此，平行于固定平面的某一截面，即代表剛體。2）剛體在內，由，可由兩步完成

隨A點的純平動，，基點位移均為

ABA’B’θⅡⅡ’Ⅰ再繞A’作純平動Ⅱ’→Ⅱ，

可見剛體的平面平行運動可分成=任意點的平動+繞該點的轉動65yxOrOCrr’y’jx’iθ平面平行運動動力學1.

運動微分方程以運動學觀點，基點可任意選取，以動力學選質心為基點較宜。取過質心的薄片代表剛體（0-xy為靜系，C-x’y’為剛體系）

(1)-(3)為剛體平面平行運動微分方程，三個方程可以確定661.剛體運