引言第一節

頻率特性的基本概念及作圖第二節

典型環節頻率特性圖第三節

開環頻率特性繪制第四節

Nyquist穩定判據第五節穩定裕度第六節開環頻率特性與時域指標間關系第七節

閉環頻率特性簡介本章小結第五章頻率分析法引 言頻率響應是指系統對正弦輸入的穩態響應頻率響應法是以頻率特性為基礎研究系統的性能頻率分析法特點：應用奈奎斯特判據，根據系統的開環頻率特性來分析閉環系統穩定性；根據頻率特性和性能指標的關系分析系統的瞬態性能和穩定性指標；頻率特性可以通過實驗方法測得；可以推廣應用于某些非線性系統；圖解方法，直觀性強，在工程上得到廣泛應用。5.1頻率特性的基本概念及作圖頻率特性定義頻率特性和傳遞函數的關系頻率特性作圖一、頻率特性定義例：一階RC網絡的頻率特性

微分方程：若則當時，有：比較輸入信號1、輸出電壓穩態值是與輸入信號同頻率的正弦信號；2、幅值和相角與輸入不同，與頻率ω和系統參數T有關；令： A(ω)和φ(ω)反映了RC網絡頻率響應的振幅和相位隨頻率變換的規律。A(ω)和φ(ω)聯合起來稱為系統的頻率特性。結論：為討論方便，不考慮重極點二、頻率特性和傳函的關系當系統穩定時：寫出穩態響應表達式：幅頻特性：相頻特性：得到頻率特性和傳函的關系為：說明：頻率特性適合線性系統或元件；A(ω)和φ(ω)是頻率ω的函數，隨輸入頻率變化而變化，與輸入幅值和相角無關；微分方程、傳遞函數、頻率特性之間具有內在聯系，可相互轉化。頻率特性是頻域中的數學模型。三、頻率特性作圖極坐標頻率特性曲線對數頻率特性曲線對數幅相特性曲線代數式：極坐標式：指數式：——相頻特性；——幅頻特性；關系：頻率特性曲線：1、極坐標頻率特性曲線——奈奎斯特(Nyquist)曲線；2、對數頻率特性曲線——伯德(Bode)曲線；3、對數幅相特性曲線——尼柯爾斯(Nichols)曲線。極坐標頻率特性曲線ω：0→∞向量G(jω)在復平面上的運動軌跡。G(-jω)、

G(jω)共軛，頻率特性曲線對稱于實軸。繪制極坐標曲線的方法：方法一：計算實部和虛部，描點。方法二：計算幅值和相角，描點。繪制極坐標草圖的方法：

1、計算起點和終點；ω為0、∞時，G(jω) 2、計算關鍵點；

3、給出曲線走向；

4、畫出草圖。對數頻率特性曲線伯德(Bode)曲線，包括對數幅頻特性曲線和相頻特性曲線，應用最多。對數坐標圖的橫坐標：橫坐標按ω的對數lgω線性分度，標以ω。橫軸上每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱十倍頻或十倍頻程，用符號dec表示。如果ω變化1倍，在對數坐標上變化0.301，稱為倍頻程。頻率由1到10的對數分度：對數坐標圖的縱坐標：對數幅頻特性曲線的縱坐標：

相頻特性曲線的縱坐標：

一般以度或弧度為單位進行線性分度。對數頻率特性曲線一般畫在半對數坐標紙上。均勻分度，單位分貝(db)采用對數坐標圖的優勢：可以展寬頻帶；對數特性將乘除變為加減運算；典型環節可用分段直線（或漸近線）近似表示；可用實驗方法確定系統的頻率特性表達式。對數幅相特性曲線尼柯爾斯(Nichols)曲線。對數幅相圖的橫坐標為相角，縱坐標為對數幅頻特性幅值的分貝數。橫坐標、縱坐標都是線性分度。而ω作為參變量標在曲線相應點的旁邊。5.2典型環節的頻率特性比例環節積分環節慣性環節振蕩環節微分環節延遲環節比例環節的頻率特性（1）傳遞函數：頻率特性：1、極坐標頻率特性曲線：比例環節的頻率特性（2）2、對數頻率特性曲線：積分環節的頻率特性（1）1、極坐標頻率特性曲線：積分環節的頻率特性（2）2、對數頻率特性曲線：慣性環節的頻率特性（1）1、極坐標頻率特性曲線：慣性環節的頻率特性（2）當ω由0變化到∞時，慣性環節的極坐標特性曲線是一個半圓。證明：圓心(K/2,0)，半徑K/2，實軸下方半圓。慣性環節的頻率特性（3）2、對數頻率特性曲線：低頻段時，ω很小，ωT<<1，低頻漸近線：高頻段時，ω很大，ωT>>1，高頻漸近線：慣性環節的頻率特性（4）交接頻率或轉折頻率慣性環節的頻率特性（5）誤差：Δ=真實值-近似值處存在最大誤差：振蕩環節的頻率特性（1）不妨取K=1振蕩環節的頻率特性（2）1、極坐標頻率特性曲線：以ξ為參變量，繪制振蕩環節極坐標曲線曲線與負虛軸相交曲線沿負實軸方向趨向原點，且與負實軸相切。振蕩環節的頻率特性（3）時，A(ω)具有最大值，振蕩環節的頻率特性（4）ωp與ξ有關，ωp稱為諧振頻率或峰值頻率。振蕩環節的頻率特性（5）2、對數頻率特性曲線：低頻段，低頻漸近線高頻段，高頻漸近線兩漸近線相交，振蕩環節的交接頻率或轉折頻率。振蕩環節的頻率特性（6）相頻特性曲線：微分環節的頻率特性（1）1、純微分環節與積分環節對比？微分環節的頻率特性（2）2、一階微分環節微分環節的頻率特性（3）3、二階微分環節延遲環節5.3開環頻率特性繪制極坐標特性曲線的繪制對數頻率特性曲線的繪制最小相與非最小相系統一、極坐標特性曲線的繪制例：設開環系統的頻率特性為：1）列寫實頻特性和虛頻特性的表達式；2）當K=10、T1=1、T2=5時，試繪制極坐標圖。將G(jω)有理化：帶入K=10、T1=1、T2=5，取ω為不同值計算，描點一般地：起點：與虛軸交點：終點：例：設開環系統的頻率特性為：試繪制極坐標特性曲線。將G(jω)有理化：起點：與實軸交點：終點：極坐標特性曲線：1、保持準確曲線的重要特征，如起點、終點、與實軸或虛軸的交叉點；2、在重要點的附近有足夠準確性。一般系統：1、起點：起點與系統類型和增益有關2、終點：對于實際的物理系統，一般n>m3、與實、虛軸交點：4、中頻部分曲線形狀和頻率特性的參數密切相關。零點的影響：二、對數頻率特性曲線的繪制

已知各環節的對數頻率特性，開環系統的對數幅頻特性和相頻特性分別為：將開環系統寫成典型環節時間常數的實系數形式2）繪制對數幅頻特性的低頻漸近線，即ω→0對數幅頻實際繪制時按以下步驟一次完成：1）確定K、v以及各個環節的轉折頻率。將各轉折頻率從小到大標注在頻率軸上。4）分段直線的最后一段5）在轉折頻率附近進行修正，可得到較準確曲線。斜率：

-20(n-m)dB/dec3）以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻段開始沿頻率增大的方向，每遇到一個交接頻率改變一次分段直線的斜率。當遇到ωi時，斜率變化量為+20dB/dec；當遇到ωk時，斜率變化量為+40dB/dec；當遇到ωj時，斜率變化量為-20dB/dec；當遇到ωl時，斜率變化量為-40dB/dec；對數相頻特性曲線的繪制：利用典型環節的各對數相頻特性相加，或直接利用相頻特性表達式計算。例：設某系統的傳遞函數為：試繪制開環系統的幅頻特性和相頻特性。整理：1）K=10,v=0慣性環節：T1=0.25,ω1=1/T1=4振蕩環節：

T2=0.5,ω2=1/T2=22）低頻段3）繪制近似對數幅頻特性曲線相頻特性：例：設某系統的頻率特性為：試繪制用分段直線表示的對數幅頻特性。1）轉折頻率2）低頻段斜率: -40dB/dec3）繪制近似對數幅頻曲線例：延遲環節的開環傳遞函數為：試繪制開環系統的對數頻率特性。三、最小相與非最小相系統定義：系統的開環傳函在右半s平面上沒有極點或零點的系統是最小相位系統，相應的傳遞函數稱為最小相位傳遞函數。

在右半s平面上具有極點或零點的系統是非最小相位系統，相應的傳遞函數稱為非最小相位傳遞函數。

有延遲環節的系統也屬于非最小相位系統。最小相位系統的特性：若系統穩定，具有相同的幅頻特性的系統中，對于任意給定的頻率，最小相位系統的相位滯后最小。例：最小相位系統相頻特性與對數幅頻特性之間存在有確定的關系。因此，在利用對數頻率特性對系統進行分析和綜合時，常常只需畫出和利用對數幅頻特性曲線。

繪制非最小相位系統的對數頻率特性時，必須分別繪出對數幅頻特性和對數相頻特性。利用對數幅頻特性曲線確定最小相位系統傳函最小相位系統當ω→∞時，對數幅頻特性的最高頻漸近線斜率為-20(n-m)dB/dec，相角為-90°(n-m)。

可用于判斷最小相位系統。5.4Nyquist穩定判據輔助函數F(s)與開環、閉環傳遞函數零點和極點的關系幅角定理奈氏(Nyquist)穩定判據奈氏判據在Ⅰ、Ⅱ型系統中的應用對數頻率穩定判據引言1932年，奈奎斯特(Nyquist)提出了頻率法的穩定判據——奈奎斯特穩定判據。

奈氏判據由開環系統頻率特性判別閉環系統的穩定性，在控制理論中占有重要地位。一、輔助函數F(s)與開環、閉環傳遞函數零點和極點的關系系統開環傳遞函數：構造一輔助函數：F(s)特點:

1、

F(s)零點是閉環極點；

2、

F(s)極點是開環極點；

3、

由于n>=m，因此系統閉環極點的數目等于開環極點的數目

（即F(s)零點數等于極點數）。如何求F(s)零點？二、幅角定理1、映射關系S平面上的任一條不通過F(s)奇異點的封閉曲線Г，F(s)平面上存在與其相對應的封閉曲線Г’。Г’變化主要由兩個因素決定：

1）Г所包圍的區域；

2）F(s)形式

F(s)平面原點被包圍的次數和方向，對穩定性有重要意義。2、幅角定理由幅角變化，導出F(s)平面原點被包圍的次數和方向。例：當s沿封閉曲線Г變化時，復數F(s)的幅角變化：問題：

s沿封閉曲線Г順時針移動一周，a）z1、p1未被Г包圍不包圍原點b）z1被Г包圍順時針包圍原點一周N=1c）p1被Г包圍逆時針包圍原點一周N=-1幅角原理：

設s平面上不通過任何F(s)奇點的封閉曲線Г包圍s平面上的Z個零點和P個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線Г移動一周時，則在F(s)平面上相對應于封閉曲線Г的象Г’將以順時針的方向圍繞原點旋轉N圈。如何判斷系統的穩定性？三、奈氏(Nyqusit)穩定判據1、奈氏路徑

為判斷右半平面F(s)零點個數，取如下包圍整個右半s平面的封閉曲線為奈氏路徑。1)正虛軸，由s=jω;ω:0→+∞;2)半徑無窮大的正半圓，由3)負虛軸，由s=-jω;ω:0→-∞;2、奈氏路徑在F(s)平面上的映射1)半徑無窮大的右半圓一個點2)正虛軸3)負虛軸與F(jω)對稱于實軸。3、F(s)平面轉化為G(s)平面奈氏曲線F(jω)曲線對原點的包圍情況與G(jω)曲線對(-1,j0)點的包圍情況相當。奈氏路徑順時針包圍了F(s)的Z個零點和P個極點，則G(s)平面上的映射曲線G(jω)(開環頻率特性曲線)順時針包圍點(-1,j0)N次4、奈氏判據設開環傳函在右半s平面上的極點數為P，則閉環穩定的充要條件是：在G(s)平面上的開環頻率特性曲線G(jω)當ω：-∞→+∞時，將以逆時針的方向圍繞(-1,j0)點P圈，即若閉環系統不穩定，則閉環系統在右半s平面上的極點個數：N——開環頻率特性曲線順時針方向包圍(-1,j0)點的圈數。推論：開環系統穩定P=0，則閉環系統穩定的充要條件是N=0，即開環頻率特性曲線G(jω)當ω:-∞→+∞時不包圍點(-1,j0)。例1：例2：1、概略繪制奈氏曲線2、判斷穩定性何時處于臨界穩定？例3：P=1，穩定N=-1，即逆時針包圍(-1,j0)一圈，K>1四、奈氏判據在Ⅰ、Ⅱ型系統中的應用開環系統傳函：1、重新選取奈氏路徑半徑為無窮小的右半圓2、奈氏曲線的畫法半徑為無窮小的半圓上的點Ⅰ型系統：Ⅱ型系統：含有積分環節完整的極坐標頻率特性曲線：1）ω：0+→∞2）ω=0+

逆時針補畫v90°圓弧3）以實軸為對稱軸，畫出ω：-∞→0時的奈氏曲線例1：例2：

若

？

注：1）簡便起見，G(jω)，ω：0→∞對點(-1,j0)的包圍N’——G(jω)，ω：0→∞變化，順時針圍繞(-1,j0)圈數。穩定2）利用正負穿越討論對點(-1,j0)的包圍

穿越：極坐標曲線穿過點(-1,j0)以左的負實軸。正穿越：ω↑,φ(ω)↑自上向下，逆時針N+表示半次穿越設開環傳函在右半s平面上極點個數為P，則穩定<=>當ω：0→+∞變化時，頻率特性曲線在實軸(-∞,-1)段負穿越次數之差為P/2。例：判斷系統穩定性，已知P=03）開環系統在虛軸上有極點五、對數頻率穩定判據1、奈氏圖與伯德圖關系單位圓<—>零分貝線負實軸<—>-180°穿越數：L(ω)>0區間內相頻穿越-180°線2、對數頻率穩定判據設開環傳函在右半s平面的極點數為P，則穩定<=>在開環對數幅頻特性L(ω)>0的所有頻段內有積分環節的處理例1：例2：2、對數幅相圖多回路系統的分析例：求臨界穩