第二節點線面的投影1.2點的投影點、線、面是構成物體形狀的基本幾何元素。為正確表達物體形狀，必須先掌握這些基本幾何元素的投影規律。1.2.1點在一個投影面上的投影過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。Pb●●AP采用多面投影。過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B1●B2●B3●點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。1、點在一個投影面上的投影a●解決辦法？1.2點的投影HWV二、點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正面或V面）◆水平投影面（簡稱水平面或H面）◆側面投影面（簡稱側面或W面）投影軸oXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線Y三個投影面互相垂直WHVoX空間點A在三個投影面上的投影a點A的正面投影a點A的水平投影a點A的側面投影空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。a●a●a●A●ZYWVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開aaZaayayaXYYO●●az●x●●●●XYZOVHWAaaa點的投影規律:①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面的距離aax=aay=z=A到H面的距離aay=aaz=x=A到W面的距離xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸●●aaax例：已知點的兩個投影，求第三投影。●a●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用圓規直接量取aaz=aaxa●[例題1]已知點A的正面與側面投影，求點A的水平投影。a[例題2]已知A點的坐標為x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20、10、15)，求作A點的三面投影圖。axayHayw151020aa'a"18[例題3]已知點A的三面投影，試確定

點A的空間位置。x=12z=20y=1812A(12,18,20)20[例題4]已知點A在H面上，點B在W面上，

點C在V面上，試求各點的投影。c'c"cb"b'bc"ca'a"Ob'ba'aa"AaBb"Cc'三、兩點的相對位置兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：▲x坐標大的在左▲y坐標大的在前▲z坐標大的在上baa

abb●●●●●●B點在A點之前、之右、之下。XYHYWZ2.比較兩點的相對位置(b)b'b"aa'a"重影點：空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。A、C為H面的重影點●●●●●aacc被擋住的投影加()()A、C為哪個投影面的重影點呢？aca(b)a(b)c'(d')e"(f")e"(f")c'(d')立體上的重影點EBDCb'edcb"(a)(b)(c)a'(e')c'(d')e"(d")a"(c")a(b)Ab●a●b●a●b●a●1.2.2直線的投影

直線的投影可由直線上任兩點的同名投影來確定。如圖所示，分別作出直線AB上兩端點A、B的三面投影，用直線連接兩點的同面投影得到ab、ab和ab即為AB的三面投影。各種位置直線的投影投影面平行線投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線統稱特殊位置直線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜垂直于某一投影面與三個投影面都傾斜的直線(1)投影面平行線的投影特性BAa'b'a"b"abABb'Oaba'a"b"a"b"a'b'baBAa"b"a'b'abβγb'Oa'αγb"a"abOaba'b'b"a"αβbaababbaabba①在其平行的那個投影面上，投影反映實長并反映直線與另兩投影面傾角。②另兩個投影面上，投影平行于相應的投影軸。水平線側平線正平線γ投影特性：實長實長實長βγααβbaaabb與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ(2)物體上平行線的投影分析（1）投影面垂直線的投影特性BAABBAa'b'b(a)a"b"(a')b'a"b"ababb'a'a"(b

")a'b'aba"(b")bab"a"(a')b'b(a)a'b'b"a"鉛垂線正垂線側垂線②在另外兩個投影上，反映線段實長且垂直于相應的投影軸。①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)（2）物體上垂直線的投影分析一般位置直線baababABYOXZVWHa′b′aba〞b〞投影特性：

三個投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。例1：判別下列直線的空間位置鉛垂線正平線一般位置線例1：判斷形體中直線的空間位置AB是

線AC是

線CD是

線側垂線鉛垂線水平線例2：試分析立體表面上各線段的空間位置。例題：判斷下列直線的位置直線上點的投影（1）若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上（即不滿足從屬性）。判別方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa等比性從屬性（2）直線上的點分割直線之比與其投影分割直線投影之比相等。即：點C不在直線AB上例1：判斷點C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點C在直線AB上例2：判斷點K是否在線段AB上。ab●k因k不在ab上所以點K不在A上。abkabk●●方法1：利用從屬性方法2：利用等比性兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：⒈兩直線平行平行、相交、交叉等三種情況。VHabcdABCDcdba投影特性：空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CDbdcacbaddbac結論:對于投影面平行線，只有這兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行。若要用兩個投影判斷，其中應包括反映實長的投影。求出側面投影后可知：AB與CD不平行。例1：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側面投影如何判斷？HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必交，且交點的投影必符合空間一點的投影規律（三等）。交點是兩直線的共有點●●cabbacdkkd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影[例題8]給出平面四邊形ABCD的V投影及其兩條邊的H投影，試完成四邊形的H投影。bcc'd'ab'a'kk'ddbaabcdc1(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：（1）同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。（2）“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。●●Ⅲ、Ⅳ在H面是重影點。為什么？12●●3

4●●兩直線相交嗎？Ⅰ、Ⅱ在Ｖ面是重影點。

例、判定兩直線是否相交XYWZYHd`c〞cc`a`b`abOda〞b〞●●d〞k`kk〞交點不符合投影規律

OXa`b`c`d`abcd1(2)1`2`4`(3`)34例：判斷兩直線的位置關系交叉

判斷兩重影點其積聚性投影的可見性時，需要看兩重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。判斷三棱錐可見性1(2)1'2'3'(4')34相互垂直的二直線的投影（a）立體圖(b)二直相交線垂直(c)二直相交線垂直(d)二直相交線垂直定理一垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。1.2.3平面的投影一、平面的表示方法平面通常用確定該平面的點、直線或平面圖形等幾何元素的投影表示，如圖所示。圖1用幾何元素表示平面平面的投影特性平行投影面垂直投影面傾斜于投影面投影特性a、平面平行投影面——投影反映實形b、平面垂直投影面——投影積聚成直線c、平面傾斜投影面——投影類似原平面實形性類似性積聚性（1）平面對一個投影面的投影特性與三個投影面都傾斜平行于某一投影面垂直于另兩個投影面垂直于某一投影面傾斜于另兩個投影面（2）各種位置平面的投影平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面正垂面側垂面鉛垂面正平面側平面水平面投影面垂直面HWVa′b′c′ABCacbbaCYHYWYHYWHαβ(1)投影面垂直面的投影特性γβγαabcacbcba積聚性鉛垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影有類似性。為什么？γβ是什么位置的平面？主、左視圖類似性投影面平行面HWVacbabCABCa′b′c′投影面平行面的投影特性abcabcabc實形性投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。積聚性積聚性這是什么位置平面？水平面！一般位置平面HWVACBabcabcabcabcacbabcc、一般位置平面三個投影都是類似形。投影特性：1.2.4點、直線、平面的從屬關系判斷直線在平面內的方法

定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。定理二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內。（1）平面上取任意直線abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線