2022-2023學年山東省濟南市萊蕪第一中學高一上學期第二次核心素養測評數學試題一、單選題1．已知集合滿足，那么這樣的集合的個數為A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據子集關系可知：集合中一定包含元素，可能包含元素，由此可判斷集合的個數即為集合的子集個數.【詳解】由題意可知：且可能包含中的元素，所以集合的個數即為集合的子集個數，即為個，故選D.【點睛】本題考查根據集合的子集關系確定集合的數目，難度較易.2．已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據三角函數定義可求得，再利用誘導公式即可求得結果.【詳解】由已知可得，由誘導公式可知，；故選：C.3．若,則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由換底公式將表示為,再將代入,再用指數的運算法則寫為底數為5的式子,再用對數恒等式計算出結果即可.【詳解】解:由題知,,.故選：A4．已知函數關于直線對稱,且當時,恒成立,則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據關于直線對稱,可得為偶函數,根據,恒成立,可得在時單調遞增,將根據奇偶性化為區間內,再根據單調性解得范圍即可.【詳解】解:由題知關于直線對稱,故為偶函數,,當時,恒成立,則在上單調遞增,,,,即,解得:.故選：C5．函數的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方關系將函數寫成關于的一元二次函數形式，再利用換元法求二次函數的值域即可.【詳解】由可得令，則，易知，二次函數關于對稱，且開口向上，所以函數在為單調遞增，所以，所以，其值域為.故選：D.6．已知函數是偶函數，則的值為（

）A． B．1 C．1或-1 D．【答案】A【分析】根據三角函數奇偶性可確定，再利用誘導公式即可求得的值.【詳解】由函數是偶函數可知，，即；所以，；故選：A.7．設，，為正數，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，用k表示出x，y，z，再借助對數函數的性質即可比較作答.【詳解】因，，為正數，令，則，因此有：，，，又函數在上單調遞增，而，則，于是得，所以.故選：D8．已知是定義在上的偶函數，對任意的，都有，且當時，，若在區間內方程有三個不同的實數根，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數奇偶性和周期性，利用其在上的解析式求得函數的解析式，將方程有三個不同的實數根轉化成函數圖象與的圖象在內有三個交點，利用數形結合即可求得實數的取值范圍.【詳解】根據函數可知，函數的周期，由是定義在上的偶函數，當時，可得當時，，所以，即函數的解析式為；畫出函數部分周期內的圖象如下圖粗實線所示，若在區間內方程有三個不同的實數根，即函數圖象與的圖象在內有三個交點，圖象如上圖中細實線所示，則需滿足，即，解得故選：D.【點睛】方法點睛：在解決函數零點或方程根的個數問題時，往往將此類問題轉化成函數圖象交點的問題，在同一坐標系下畫出兩個函數圖象利用數形結合根據題意進行求解即可.二、多選題9．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據對數的運算法則及對數恒等式,換底公式即可選出選項.【詳解】解:由題,關于選項A:,故選項A正確;根據對數恒等式可知,選項B正確;關于選項C:,故選項C錯誤;根據換底公式可得:,故選項D正確.故選:ABD10．已知，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】將式子兩邊同時平方，可得，即可判斷的取值范圍，進而確定余弦值和正切值的符號，可判斷選項ABC錯誤，再利用同角三角函數的基本關系可求得選項D中表達式的值，即可做出判斷.【詳解】將兩邊同時平方，可得；所以，即符號相同，又因為，所以應在第一象限，所以，故A錯誤；當時，，故BC均錯誤；由可知，；即D正確；故選：ABC.11．已知函數,下列結論中正確的是（

）A．函數的周期是B．函數的圖象關于直線對稱C．函數的最小值是D．函數的圖象關于點對稱【答案】AC【分析】根據的解析式,由可求其周期,令即可求對稱軸,根據,即可求最值,根據對稱中心是令,即可判斷選項D正誤.【詳解】解:由題知,,故選項A正確;令,解得:,令,令,故選項B錯誤;因為,所以,故選項C正確;因為對稱中心縱坐標為1,故選項D錯誤.故選:AC12．已知，若存在，使得，則下列結論錯誤的有（

）A．實數的取值范圍為B．C．D．的最大值為1【答案】AD【分析】根據分段函數解析式畫出函數圖象，再利用方程的根的個數即為函數圖象的交點個數，即可求得實數的取值范圍，再利用圖象判斷出根的分布情況即可做出判斷.【詳解】由函數可知其圖象如下圖所示，又因為存在，使得，所以函數與有三個不同的交點，根據圖象可知，故A錯誤；根據函數圖像可知，所以得，即，故B正確；顯然，且關于對稱，所以，故C正確；因為，且，所以，，當且僅當時，等號成立；又因為，所以，故D錯誤；故選：AD.三、填空題13．計算__________.【答案】【分析】根據指數冪運算和對數運算法則即可求得結果.【詳解】原式故答案為：14．已知冪函數的圖象關于軸對稱，則滿足成立的實數的取值范圍為__________.【答案】【分析】根據冪函數定義以及函數對稱軸可求得的值，代入解不等式即可求得實數的取值范圍.【詳解】由冪函數定義可知，，解得或又因為其圖象關于軸對稱，顯然不合題意；所以.則不等式即為，解得，所以，實數的取值范圍.故答案為：15．函數的定義域為__________.【答案】【分析】由對數函數和三角函數定義域，可確定正弦函數和余弦函數的取值范圍，再根據三角函數單調性即可求得其定義域.【詳解】由題意可知，要使函數各部分有意義，則須滿足即由正弦函數和余弦函數單調性得；即得，所以函數的定義域為.故答案為：16．函數的部分圖象如圖所示，則的值等于__________.【答案】##【分析】根據圖象可求得三角函數解析式，計算出一個周期內的函數值即可求得結果.【詳解】由圖象可知，，周期，可得將代入可得，所以經計算可知，，所以，易得所以.故答案為：四、解答題17．已知集合.(1)求；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據集合的并集運算即可求得；（2）由可知，對集合是否為空集進行分類討論，即可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）∵集合，，∴；（2）因為，所以，當時，則，即；當時，則，解得；綜上，實數m的取值范圍為.18．關于x的不等式的解集為，(1)求a，b的值；(2)當，且滿足時，有恒成立，求實數k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意轉化為和2是方程的兩個實數根，根據韋達定理列出方程組，即可求解；（2）由（1）得到，化簡，利用基本不等式求得其最小值，根據題意中轉化為，即可求解．【詳解】（1）解：因為關于x的不等式的解集為，所以和2是方程的兩個實數根，可得，解得，經檢驗滿足條件，所以.（2）解：由（1）知，可得，則，當且僅當時，等號成立，因為恒成立，所以，即，可得，解得，所以的取值范圍為．19．求下列值.(1)已知,若,求的值;(2)已知,其中是第三象限角,若,求.【答案】(1)(2)【分析】(1)先用誘導公式將進行化簡,將代入,求得的值,再將分母看作,分式上下同時除以,代入的值即可求出結果;(2)先根據是第三象限角,判斷的正負,再對進行化簡,將代入,再根據平方關系即可求得的值.【詳解】（1）解:由題知,;（2）由題知是第三象限角,,,,,∴,,則.20．已知函數．(1)求的解析式；(2)若對任意，，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，則，進而根據換元法求解即可；（2）結合函數的單調性得，進而將問題轉化為對任意，不等式恒成立，再求解恒成立問題即可.【詳解】（1）解：令，則，則，故．（2）解：由（1）可得．因為函數和函數均在上單調遞增，所以在上單調遞增．故．對任意，，不等式恒成立，即對任意，不等式恒成立，則解得或．故的取值范圍是．21．已知函數.(1)求函數的單調區間;(2)求函數在上的單調增區間;(3)求函數在區間上的最小值和最大值.【答案】(1)增區間為;減區間為(2)(3)最小值為,最大值為【分析】(1)根據解析式及誘導公式,先將化為正,再將放在的單調區間內,即可求得的單調區間;(2)由(1)得的單調遞增區間,令,,求得遞增區間,再由即可得出結果;(3)先由,求出的范圍,再求出的范圍,進而得到的范圍,即可得最值.【詳解】（1）解:由題知,令,,得,,令,,得,,故的單調遞增區間為;單調遞減區間為;（2）由(1)可得的單調遞增區間為令,在單調遞增,令,在單調遞增,令,在單調遞增,因為,所以在上的單調增區間是;（3）由題知,當時,,根據圖象性質可知:,,故,.22．已知函數.(1)解不等式；(2)若關于x的方程在上有解，求m的取值范圍；(3)若函數，其中為奇函數，為偶函數，若不等式對任意恒成立，求實數a的取值范圍