“皖東縣中聯盟”2022-2023學年第一學期高三聯考數學試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚。3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4．本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設復數滿足（i為虛數單位），則（）A．1B．2C．D．32．設集合，則（）A．B．C．D．3．設動直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．在數列中，，且數列是等差數列，則（）A．16B．C．19D．5．設，則（）A．B．C．D．6．已知函數若，則實數a的值為（）A．0B．1C．2D．47．2022年9月底，在長江臺州段，工作人員發現大面積盛開的野大豆，野大豆的發現，對我國大豆的育種等有很大的幫助，通過上一代野大豆的培育，出現某新品種，有“抗倒伏”和“抗蟲害”兩種遺傳性狀，該新品種出現“抗倒伏”性狀的概率為，出現“抗蟲害”性狀的概率為，“抗倒伏”和“抗蟲害”性狀都不出現的概率為，則該品種在“抗倒伏”性狀的條件下，出現“抗蟲害”性狀的概率為（）A．B．C．D．8．已知雙曲線的左、右焦點恰為橢圓的兩個頂點，設橢圓E的上焦點為P，過點的直線l交雙曲線C右支于點A、B，若點A在第一象限，的外心Q恰好落在y軸上，則直線l的方程為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列函數中，最小值是4的函數有（）A．B．C．D．10．已知等邊的邊長為2，點D，E滿足，BD與CE交于點O，則（）A．B．C．D．在方向上的投影向量為11．一種糖果的包裝紙由一個邊長為6的正方形和2個等腰直角三角形組成（如圖1），沿AD，BC將2個三角形折起到與平面ABCD垂直（如圖2），連接EF，AE，CF，若G為FC上的動點，則下列說法正確的是（）A．若G為線段FC的中點，則平面AEFB．多面體ABCDFE的體積為144C．的最小值為108D．12．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結論正確的是（）A．B．若，則該三角形周長的最大值為6C．若的面積為2，a，b，c邊上的高分別為，且，則的最大值為D．設，且，則的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，那么___________．14．已知正三棱柱的各個棱長均為2，其外接球的球心為O，以O為球心，以為半徑的球面與側面的交線的長度為___________．15．已知函數則函數的值域為___________；若函數有2個零點，則k的取值范圍是___________．16．設拋物線的焦點為F，點A，B，C在拋物線上，F為的重心，且，直線l過點與拋物線交于M，N兩點，O為坐標原點，則___________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）設向量，函數的最大值為1，且圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為．（1）求函數的解析式；（2）若將函數圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的，再向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若在區間上的最小值為，求實數t的最大值．18．（本小題滿分12分）在①，且，為數列的前n項和；②，且這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知正項數列滿足___________，．（1）求數列和的通項公式：（2）設數列滿足，且的前n項和為，求證：．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分．19．（本小題滿分12分）某課題組開展“皖東地區中學體育現狀教學調查與發展對策研究”，以皖東地區2市2區4縣285所中學為研究對象，其中縣城高中22所，縣城初中9所，農村高中29所，農村初中225所．旨在增強“全民健身”理念、增強中學生身體素質與優化中學體育教學管理．課題組從“體育管理、體育師資、體育科研、《體育與健康》課程教學、課外體育、體育場地設施”這六個方面進行賦分，并制作了調查問卷（滿分共100分），分發問卷并整理相關數據，從問卷中隨機抽取200份，按成績分為五組：，得到如下頻率分布直方圖，且第五組中縣城高中占．（1）估計抽取的200份問卷的數據平均值（同一組數據用該組區間的中點值代替）；（2）若在第五組中，按照縣城高中和非縣城高中兩類隨機抽取7份問卷，再從中選取3份問卷作進一步調研，設這3份問卷中包含縣城高中問卷數為X，求X的分布列和數學期望；（3）根據教育部發布《<體育與鍵康>教學改革指導綱要》精神，指導全國中小學體育教師科學、規范、高質量地上好體育課，更好地幫助學生在體育鍛煉中“享受樂趣、增強體質、健全人格、錘煉意志”，促進青少年學生身心健康全面發展具有積極指導作用．根據相關數據，體育教學綜合質量指標服從正態分布（用樣本平均數和方差作為，的近似值且取整數），若某市有65所中學學校，試估計該市中學學校體有教學綜合質量指標在內的學校數量．（結果保留整數）參考數據：若隨機變量，則，，可能用到的數據：．20．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點．（1）求CE的長；（2）設二面角平面角的補角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．21．（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設橢圓C的左、右焦點分別為，直線與橢圓C相切，點到直線l的距離分別為，求的最小值．22．（本小題滿分12分）已知函數的圖象在點處的切線與直線平行．（1）求實數m的值，并求函數的單調區間；（2）若不等式對任意恒成立，求實數a的取值范圍．“皖東縣中聯盟”2022-2023學年第一學期高三聯考·數學試題參考答案、提示及評分細則1．B2．C3．C4．B5．A6．D7．B8．D9．ACD10．BC11．ABD12．BCD13．1014．15．（2分）16．017．解：（1），2分所以的最大值為，所以，3分又因為該函數圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為，所以該函數的最小正周期為，所以，4分所以．5分（2）由題意得，7分因為，8分所以，又0，所以，則實數t的最大值為．10分18．（1）解：選①：因為，所以，所以數列是首項為，公比為2的等比數列，2分所以，3分當時，；4分當時，，也符合上式，所以．5分所以．6分選②：根據已知得，兩邊同時除以，得，所以或（舍），又，所以是以，公比的等比數列，4分故，所以．6分（2）證明：因為當時，，所以，7分所以，8分當，9分當時，因為，10分所以，所以對于任意的．綜上，對于任意的．12分19．解：（1）依題意，得，估計抽取的200份問卷的數據平均值．3分（2）由于第五組總抽取7份問卷，縣城高中占，所以抽到的縣城高中問卷有份，非縣城高中問卷共4份，4分再從中抽3份問卷中包含縣城高中問卷數為X，則X的可能取值為0，1，2，3，5分，7分故其分布列為：X0123P所以得到隨機變量X的數學期望．8分（3）因為，所以，．10分則，所以估計該市中學學校體育教學綜合質量指標在內的學校數量約為53所，12分20．解：（1）取PA的中點G，連接DG，EG，如圖所示：則，且．，所以四邊形CDGE為平行四邊形．2分在中，，所以CE的長為.4wv（2）在平面ABCD內過點A作BC的平行線，交CD的延長線于點M，如圖所示，以點M為坐標原點，分別以MA，MC為x軸和y軸，以與平面MABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，取AD的中點為N，連接PN，MN，在平面PMN中過點P作，垂足為F，則，則．設．5分因為，所以，所以所以，所以．6分設平面PAD的法向量，則令，則．7分設平面PBC的法向量，因為，則令．可得．8分設平面PAD和平面PBC的夾角為，則．10分令，所以，所以，所以當時，有最小值，所以平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值為．12分21．解：（1）設橢圓C的半焦距為c，則解得，2分故橢圓C的標準方程為．3分（2）將直線l的方程與橢圓方程聯立消去y并整理得，4分所以，5分因為直線l與橢圓C相切，即，所以，6分因為到直線l的距離為到直線l的距離為,7分所以，9分結合基本不等式得，當且僅當時取等號，所以的最小值為．12分22．解：（1），而，根據導數的幾何意義得，解得，2分所以，所以．當時，，又，則，故，單調遞減．設，則，當時，，，是增函數，即是增函數，所以，因此單調遞增，所以的增區間是，減區間是．4分（2）因為，設，即在上恒成立，滿足題意．，令，5分則，令，則，所以即在上是增函數，6分，當時，，函數即在上單調遞