廣東省梅州市東紅中學高一數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數中，在區間(0，+∞)上是減函數的是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略2.已知直線l經過A(1,1),B(2,3)兩點，則l的斜率為（）A.2 B. C. D.參考答案：A【分析】直接代入兩點的斜率公式，計算即可得出答案。【詳解】故選A【點睛】本題考查兩點的斜率公式，屬于基礎題。3.在等比數列{an}中，已知，公比，則（

）A.27 B.81 C.243 D.192參考答案：B【分析】首先求出數列中的首項，再利用數列的通項公式即可求解.【詳解】是等比數列，且，，所以，所以，所以，故選：B【點睛】本題考查了等比數列的通項公式，熟記公式是關鍵，屬于基礎題.4.在三棱錐P-ABC中，，，，平面ABC⊥平面PAC，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（）A.4π B.5π C.8π D.10π參考答案：D【分析】結合題意，結合直線與平面垂直的判定和性質，得到兩個直角三角形，取斜邊的一半，即為外接球的半徑，結合球表面積計算公式，計算，即可。【詳解】過P點作，結合平面ABC平面PAC可知，，故，結合可知，，所以，結合所以,所以，故該外接球的半徑等于，所以球的表面積為，故選D。【點睛】考查了平面與平面垂直的性質，考查了直線與平面垂直的判定和性質，難度偏難。5.若函數在區間（－∞，2上是減函數，則實數的取值范圍是（

）A．－，+∞）

B．（－∞，－ C．，+∞）

D．（－∞，參考答案：B6.某中學高一從甲、乙兩個班中各選出7名學生參加2019年第三十屆“希望杯”全國數學邀請賽，他們取得成績的莖葉圖如圖，其中甲班學生成績的平均數是84，乙班學生成績的中位數是83，則的值為（

）A.4 B.5 C.6 D.7參考答案：C【分析】由均值和中位數定義求解．【詳解】由題意，，由莖葉圖知就中位數，∴，∴．故選C．【點睛】本題考查莖葉圖，考查均值與中位數，解題關鍵是讀懂莖葉圖．7.下列各式中成立的是（

）

A．B．C．D．參考答案：B8.全集，集合，，則

(

)A．

B．C．

D．參考答案：D9.已知在區間上是增函數，則的范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：

B

解析：對稱軸10.在邊長為的正三角形ABC中，設=c,=a,=b,則等于（

）

A．0 B．1

C．3

D．－3參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知則___________.參考答案：12略12.設a+b=2,b>0,則當a=______時,取得最小值.參考答案：-213.已知，則________.參考答案：.

14.已知是各項不為零的等差數列且公差，若將此數列刪去某一項得到的數列(按原來的順序)是等比數列，則的值為_____．參考答案：

或115.如圖，圓錐形容器的高為h圓錐內水面的高為，且，若將圓錐形容器倒置，水面高為，則等于__________．（用含有h的代數式表示）參考答案：【分析】根據水的體積不變，列出方程，解出的值，即可得到答案.【詳解】設圓錐形容器的底面面積為，則未倒置前液面的面積為，所以水的體積為，設倒置后液面面積為，則，所以，所以水的體積為，所以，解得.【點睛】本題主要考查了圓錐的結構特征，以及圓錐的體積的計算與應用，其中解答中熟練應用圓錐的結構特征，利用體積公式準確運算是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.16.已知等比數列中，公比，且，則

▲

參考答案：417.如圖，一輛汽車在一條水平公路上向西行駛，到A處測得公路北側有一山頂D在西偏北30°方向上，行駛300m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m．參考答案：由題意可得，AB=300，∠BAC=30°，∠ABC=180°-75°=105°，∴∠ACB=45°，在△ABC中,由正弦定理可得：，即，.在Rt△BCD中,∠CBD=30°，∴tan30°=，∴DC=.即此山的高度CD＝m.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數的最小正周期為，最小值為－2，圖象過（，0），求該函數的解析式。參考答案：，

又，

所以函數解析式可寫為又因為函數圖像過點（，0），所以有：

解得

所以，函數解析式為：19.(12分)已知數列和滿足

(1)當時，求證：對于任意的實數,一定不是等差數列；

(2)當時，試判斷是否為等比數列；參考答案：①當m=1時，,假設是等差數列，由得即方程無實根。故對于任意實數一定不是等差數列。②當，，

略20.已知等比數列{an}的公比，前n項和為Sn，且滿足.，，分別是一個等差數列的第1項，第2項，第5項.（1）求數列{an}的通項公式；（2）設，求數列{bn}的前n項和Mn；（3）若，{cn}的前n項和為Tn，且對任意的滿足，求實數的取值范圍.參考答案：(1).(2)；(3)【分析】（1）利用等比數列通項公式以及求和公式化簡，得到，由，，分別是一個等差數列的第1項，第2項，第5項，利用等差數列的定義可得，化簡即可求出，從而得到數列的通項公式。（2）由（1）可得，利用錯位相減，求出數列的前項和即可；（3）結合（1）可得，利用裂項相消法，即可得到的前項和，求出的最大值，即可解得實數的取值范圍【詳解】（1）由得，所以，由，，分別是一個等差數列的第1項，第2項，第5項，得，即，即，即，因為，所以，所以.（2）由于，所以，所以，，兩式相減得，，所以（3）由知，∴，∴，解得或.即實數的取值范圍是【點睛】本題考查等比數列通項公式與前項和，等差數列的定義，以及利用錯位相減法和裂項相消法求數列的前項和，考查學生的計算能力，有一定綜合性。21.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，S5=35，a5和a7的等差中項為13． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令（n∈N﹡），求數列{bn}的前n項和Tn． 參考答案：【考點】等差數列的通項公式；等差數列的前n項和；數列的求和． 【分析】（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，由已知S5=5a3=35，a5+a7=26，結合等差數列的通項公式及求和公式可求a1，d，進而可求an，Sn， （Ⅱ）由（Ⅰ）可求bn===，利用裂項即可求和 【解答】解：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d， 因為S5=5a3=35，a5+a7=26， 所以，… 解得a1=3，d=2，… 所以an=3+2（n﹣1）=2n+1； Sn=3n+×2=n2+2n．… （Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n+1， 所以bn==… =，… 所以Tn=．… 【點評】本題主要考查了的等差數列的通項公式及求和公式的應用，數列的裂項相消求和方法的應用，屬于數列知識的簡單綜合 22.（14分）設，函數f（x）的定義域為[0，1]且f（0）=0，f（1）=1當x≥y時有f（）=f（x）sinα+（1﹣sinα）f（y）．（1）求f（），f（）；（2）求α的值；（3）求函數g（x）=sin（α﹣2x）的單調區間．參考答案：考點：復合三角函數的單調性；抽象函數及其應用．專題：計算題．分析：（1）根據f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（0），運算求得結果，再根據f（）=f（）=f（）sinα+（1﹣sinα）f（0），運算求得結果．（2）求出f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（）=2sinα﹣sin2α．同理求得f（）=3sin2α﹣2sin3α，再由sinα=3sin2α﹣2sin3α，解得sinα的值，從而求得α的值．（3）化簡函數g（x）=sin（α﹣2x）=﹣sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到g（x）的減區間．令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到g（x）的增區間．解答：解：（1）f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（0）=sinα．f（）=f（）=f（）sinα+（1﹣sinα）f（0）=sin2α．（2）∵f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（）=sinα+（1﹣sinα）sinα=2sinα﹣sin2α．f（）=f（）=f（）sinα+（1﹣sinα）f（）=（2sinα﹣sin2α）sinα+（1﹣sinα）sin2α=3sin2α﹣2sin3α，∴sinα=3sin2α﹣2sin3α，解得sinα=0，或sinα=1，或s