廣東省揭陽市盛遵中學2023年高二數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數列{an}是等差數列，a2=2，a5=8，則公差d的值為（

）

A． B． C．2 D．-2參考答案：C略2.能化為普通方程的參數方程為(

)

參考答案：B略3.如圖，在一個邊長為2的正方形中隨機撒入200粒豆子，恰有120粒落在陰影區域內，則該陰影部分的面積約為（） A． B． C． D．參考答案：B【考點】概率的應用． 【專題】計算題． 【分析】先求出正方形的面積為22，設陰影部分的面積為x，由概率的幾何概型知，由此能求出該陰影部分的面積． 【解答】解：設陰影部分的面積為x， 則， 解得x=． 故選B． 【點評】本題考查概率的性質和應用，每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型．解題時要認真審題，合理地運用幾何概型解決實際問題． 4.若等比數列{an}滿足a4?a6+2a5?a7+a6?a8=36，則a5+a7等于（）A．6 B．±6 C．5 D．±5參考答案：B【考點】等比數列的通項公式．【分析】由等比數列性質得a52+2a5?a7+a72=（a5+a7）2=36，由此能求出a5+a7的值．【解答】解：∵等比數列{an}滿足a4?a6+2a5?a7+a6?a8=36，∴a52+2a5?a7+a72=（a5+a7）2=36，∴a5+a7=±6．故選：B．5.某初級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現要利用抽樣方法抽取10人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣三種方案.使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統一編號為1,2，…，270；使用系統抽樣時，將學生統一隨機編號為1,2，…，270，并將整個編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270,關于上述樣本下列的結論中，正確的是（

）（A）①,③都可能為分層抽樣

（B）②,③都不能為系統抽樣源:Z.x（C）①,④都可能為系統抽樣[來（D）②,④都不能為分層抽樣[參考答案：A6.橢圓上一點P到一個焦點的距離等于3，則它到另一個焦點的距離為（

）A.5

B.7

C.8

D.10參考答案：B7.下列函數中，導函數是奇函數的是（）A．y=cosx B．y=ex C．y=lnx D．y=ax參考答案：A【考點】函數奇偶性的判斷．【分析】運用常見函數導數的公式和奇偶性的定義，即可判斷A正確．【解答】解：A，y=cosx的導數為y′=﹣sinx，顯然為奇函數；B，y=ex的導數為y′=ex為非奇非偶函數；C，y=lnx的導數為y′=（x＞0）為非奇非偶函數；D，y=ax的導數為y′=axlna為非奇非偶函數．故選：A．【點評】本題考查函數的奇偶性的判斷和函數的導數公式的運用，考查判斷能力，屬于基礎題．8.已知雙曲線－=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,點P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為（

）A. B.

C.2

D.參考答案：A9.已知兩組數據x1，x2，…，xn與y1，y2，…，yn，它們的平均數分別是和，則新的一組數據2x1﹣3y1+1，2x2﹣3y2+1，…，2xn﹣3yn+1的平均數是（）A． B． C． D．參考答案：B考點： 眾數、中位數、平均數．

專題： 計算題．分析： 平均數的計算方法是求出所有數據的和，然后除以數據的總個數．解答： 解：由已知，（x1+x2+…+xn）=n，（y1+y2+…+yn）=n，新的一組數據2x1﹣3y1+1，2x2﹣3y2+1，…，2xn﹣3yn+1的平均數為（2x1﹣3y1+1+2x2﹣3y2+1+…+2xn﹣3yn+1）÷n=[2（x1+x2+…+xn）﹣3（y1+y2+…+yn）+n]÷n=故選B點評： 本題考查平均數的計算，屬于基礎題．10.兩圓和的位置關系是（

）A．相離

B．相交

C．內切

D．外切參考答案：B

解析：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的最大值為：

.參考答案：略12.函數在時有極值，那么的值分別為________。參考答案：13.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分線方程為y＝x＋1，則AC所在的直線方程為_

▲

．參考答案：x－2y－1＝014.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是

。參考答案：試題分析：由三視圖判斷幾何體為半個圓錐，且圓錐的高為2，底面圓的半徑為1，∴幾何體的體積V=.考點：由三視圖求面積、體積．

15.雙曲線的漸近線方程為____________________.參考答案：16.為了了解家庭月收入x（單位：千元）與月儲蓄y（單位：千元）的關系，從某居民區隨機抽取10個家庭，根據測量數據的散點圖可以看出x與y之間具有線性相關關系，其回歸直線方程為，若該居民區某家庭月收入為7千元，據此估計該家庭的月儲蓄為__________千元.參考答案：1.7【分析】直接代入即得答案.【詳解】由于，代入，于是得到，故答案為1.7.【點睛】本題主要考查線性回歸方程理解，難度很小.17.已知橢圓（）上一點A關于原點的對稱點為點B，F為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率e的取值范圍為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分別是CC1，AB的中點．（1）求證：CE∥平面A1BD；（2）若H為A1B上的動點，當CH與平面A1AB所成最大角的正切值為時，求平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）通過補形，延長延長A1D交AC的延長線于點F，連接BF，從而可證明CE∥BF，然后由線面平行的判定定理得證；（2）由已知找出C點在平面A1AB上的射影CE，CE為定值，要使直線CH與平面A1AB所成最大角的正切值為，則點H到E點的距離應最小，由此得到H的位置，進一步求出EH的長度，則在直角三角EHB中可得到BH的長度，利用已知條件證出BF⊥平面A1AB，從而得到∠EBH為平面A1BD與平面ABC所成的二面角，在直角三角形EHB中求其余弦值．本題也可以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量解決．【解答】法一、（1）證明：如圖，延長A1D交AC的延長線于點F，連接BF．∵CD∥AA1，且CD=AA1，∴C為AF的中點．∵E為AB的中點，∴CE∥BF．∵BF?平面A1BD，CE?平面A1BD，∴CE∥平面A1BD．（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE?平面ABC，∴AA1⊥CE．∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AB的中點，∴CE⊥AB，．∵AB?平面A1AB，AA1?平面A1AB，AB∩AA1=A，∴CE⊥平面A1AB．∴∠EHC為CH與平面A1AB所成的角．∵，在Rt△CEH中，tan，∴當EH最短時，tan∠EHC的值最大，則∠EHC最大．∴當EH⊥A1B時，∠EHC最大．此時，tan=．∴．∵CE∥BF，CE⊥平面A1AB，∴BF⊥平面A1AB．∵AB?平面A1AB，A1B?平面A1AB，∴BF⊥AB，BF⊥A1B．∴∠ABA1為平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）．在Rt△EHB中，=，cos∠ABA1=．∴平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值為．法二、（1）證明：如圖，取A1B的中點F，連接DF、EF．∵E為AB的中點，∴EF∥AA1，且．∵CD∥AA1，且CD=AA1，∴EF∥CD，EF=CD．∴四邊形EFDC是平行四邊形．∴CE∥DF．∵DF?平面A1BD，CE?平面A1BD，∴CE∥平面A1BD．（2）解：∵AA1⊥平面ABC，CE?平面ABC，∴AA1⊥CE．∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AB的中點，∴CE⊥AB，．∵AB?平面A1AB，AA1?平面A1AB，AB∩AA1=A，∴CE⊥平面A1AB．∴∠EHC為CH與平面A1AB所成的角．∵，在Rt△CEH中，tan，∴當EH最短時，tan∠EHC的值最大，則∠EHC最大．∴當EH⊥A1B時，∠EHC最大．此時，tan=．∴．在Rt△EHB中，．∵Rt△EHB～Rt△A1AB，∴，即．∴AA1=4．以A為原點，與AC垂直的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，AA1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz．則A（0，0，0），A1（0，0，4），B，D（0，2，2）．∴=（0，0，4），=，=（0，2，﹣2）．設平面A1BD的法向量為n=（x，y，z），由，，得，令y=1，則．∴平面A1BD的一個法向量為n=．∵AA1⊥平面ABC，∴=（0，0，4）是平面ABC的一個法向量．∴cos=．∴平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值為．【點評】本小題主要考查空間線面位置關系、直線與平面所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象、推理論證、抽象概括和運算求解能力，以及化歸與轉化的數學思想方法．是中檔題．19.在直角坐標系xOy中，傾斜角為的直線l經過坐標原點O，曲線C1的參數方程為（為參數）.以點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為.（1）求l與C1的極坐標方程；（2）設l與C1的交點為O、A，l與的交點為O、B，且，求值.參考答案：（1）的極坐標方程為.C1的極坐標方程為.（2）【分析】（1）傾斜角為的直線經過坐標原點，可以直接寫出；利用，把曲線的參數方程化為普通方程，然后再利用，把普通方程化成極坐標方程；（2）設，，則，，已知，所以有，運用二角差的正弦公式，可以得到，根據傾斜角的范圍，可以求出值.【詳解】解：（1）因為經過坐標原點，傾斜角為，故的極坐標方程為.的普通方程為，可得的極坐標方程為.（2）設，，則，.所以.由題設，因為，所以.【點睛】本題考查了已知曲線的參數方程化成極坐標方程.重點考查了極坐標下求兩點的距離.20.已知復數z滿足：|z|=1+3i﹣z，（1）求z并求其在復平面上對應的點的坐標；（2）求的共軛復數．參考答案：【考點】A4：復數的代數表示法及其幾何意義；A2：復數的基本概念．【分析】（1）設z=x+yi（x，y∈R），則|z|=．代入已知，化簡計算，根據復數相等的概念列出關于x，y的方程組，并解出x，y，可得z．（2）將（1）求得的z代入，化簡計算后，根據共軛復數的概念求解．【解答】解：（1）設z=x+yi（x，y∈R），則由已知，=1+3i﹣（x+yi）=（1﹣x）+（3﹣y）i．∴，∴z=﹣4+3i．其在復平面上對應的點的坐標為（﹣4，3）．（2）由（1）z=﹣4+3i，∴=====3+4i共軛復數為3﹣4i．21.已知命題p：“關于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圓”，命題q：“?x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命題p為真命題，求實數a的取值范圍；（2）若命題p∧q為真命題，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】命題的真假判斷與應用；函數恒成立問題．【分析】（1）若命題p為真，則