廣東省揭陽市華僑中學2023年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數，若關于的方程恰有兩個不等實根，且，則的最小值為（

）A．2

B．4－4ln2

C.

4+2ln2

D．1－3ln2參考答案：B2.已知四棱錐的三視圖如下圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，則該幾何體的體積為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略3.在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中，若2a2+an﹣5=0，則自然數n的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：B【考點】二項式定理的應用．【分析】由二項展開式的通項公式Tr+1=?（﹣1）rxr可得ar=（﹣1）r?，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然數n的值．【解答】解：由題意得，該二項展開式的通項公式Tr+1=?（﹣1）rxr，∴該項的系數ar=（﹣1）r?，∵2a2+an﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即2+（﹣1）n﹣5?=0，∴n﹣5為奇數，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案為：8．4.在△ABC中角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若（2b﹣c）cosA=acosC，則∠A為（）A．B．C．D．參考答案：C考點：余弦定理．專題：計算題；解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，求出cosA的值，即可求出A的度數．解答：解：利用正弦定理化簡已知等式得：（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，整理得：2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∵A為三角形的內角，∴∠A=．故選C點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及誘導公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．5.定義集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，則A∩?RB=（）A．（1，+∞） B．[0，1] C．[0，1） D．[0，2）參考答案：B【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】求出A中x的范圍確定出A，求出B中y的范圍確定出B，找出A與B補集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集為R，∴?RB=（﹣∞，1]，則A∩?RB=[0，1]．故選：B．6.設，，，則（）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，則B的子集個數為（）A．8 B．2 C．4 D．7參考答案：A【考點】16：子集與真子集．【分析】根據B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，求出集合B中的元素個數，含有n個元素的集合，其子集個數為2n個．【解答】解：集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，當x=0，y=0時，z=0，當x=0，y=1或x=1，y=0時，z=1，當x=1，y=1時，z=2，∴集合B含有3個元素，其子集個數為23=8個．故選A．【點評】本題主要考查利用集合子集個數判斷集合元素個數的應用，含有n個元素的集合，其子集個數為2n個．8.對于函數f（x），若存在常數a≠0，使得x取定義域內的每一個值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），則稱f（x）為準奇函數，下列函數中是準奇函數的是（把所有滿足條件的序號都填上）①f（x）=②f（x）=x2③f（x）=tanx④f（x）=cos（x+1）參考答案：③④考點： 函數奇偶性的判斷．專題： 函數的性質及應用．分析： 判斷對于函數f（x）為準奇函數的主要標準是：若存在常數a≠0，使得x取定義域內的每一個值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），則稱f（x）為準奇函數．解答： 解：對于函數f（x），若存在常數a≠0，使得x取定義域內的每一個值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），則稱f（x）為準奇函數①使得x取定義域內的每一個值，不存在f（x）=﹣f（2a﹣x）所以f（x）不是準奇函數②當a=0時，f（x）=﹣f（2a﹣x），而題中的要求是a≠0，所以f（x）不是準奇函數③當a=時使得x取定義域內的每一個值，都有f（x）=﹣f（π﹣x），則稱f（x）為準奇函數．④當a=π時使得x取定義域內的每一個值，都有f（x）=﹣f（2π﹣x），則稱f（x）為準奇函數故選：③④點評： 本題考查的知識點：新定義的理解和應用．9.命題p：“若x2－3x+2≠0，則x≠2”，若p為原命題，則p的逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個數是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B10.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為2的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題．【分析】由三視圖知原幾何體是一個棱長為2的正方體挖去一四棱錐得到的，根據所提供的數據可求出正方體、錐體的體積，從而得到答案．【解答】解：由三視圖知原幾何體是一個棱長為2的正方體挖去一四棱錐得到的，該四棱錐的底為正方體的上底，高為1，如圖所示：所以該幾何體的體積為23﹣×22×1=．故選A．【點評】本題考查三視圖，考查柱體、錐體的體積計算，解決該類問題的關鍵是由三視圖還原得到原幾何體，畫三視圖的要求為：“長對正，高平齊，寬相等”．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

數列，，，則的通項公式為________.參考答案：12.如圖，正方形的邊長為2，為的中點，射線從出發，繞著點順時針方向旋轉至，在旋轉的過程中，記為，所經過的在正方形內的區域（陰影部分）的面積，那么對于函數有以下三個結論：①；②任意，都有；③任意，，且，都有其中所有正確結論的序號是．參考答案：①②.考點：函數性質的運用.13.已知函數f（x）=﹣x，且對任意的x∈（0，1），都有f（x）?f（1﹣x）≥1恒成立，則實數a的取值范圍是．參考答案：a≥1或a【考點】3R：函數恒成立問題．【分析】化簡所求f（x）?f（1﹣x）≥1為+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），討論對稱軸和區間的關系，列出不等式，解出它們，求并集即可．【解答】解：由于函數f（x）=﹣x，f（x）?f（1﹣x）≥1即為（﹣x）（﹣1+x）≥1，則+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），則上式即為+t﹣a﹣1≥0，即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），對稱軸t=﹣a，若a，則區間（0，]為增，則f（0）≥0，即有a2﹣a≥0，解得a≥1；若﹣a即a，則區間（0，]為減，則f（）≥0，即16a2﹣8a﹣3≥0，解得a或a則有a；若0＜﹣a≤，則有f（﹣a）≥0，即有≥0，解得，a∈?．綜上可得，a≥1或a．故答案為：a≥1或a．14.△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c.D是BC邊的中點，且，，，則△ABC面積為

．參考答案：因為，因為，由正弦定理及，得，即，即，在△ABC中，由余弦定理，得，分別在中，由余弦定理，得：，，兩式相加化簡，得c=2，b=3，則．

15.(理科)已知點是的重心，內角所對的邊長分別為，且

,則角的大小是

.參考答案：(理)；16.已知12cosθ﹣5sinθ=Acos（θ+φ）（A＞0），則tanφ=．參考答案：【考點】三角函數的化簡求值．【分析】利用輔助角和兩角和與差的余弦函數對已知函數式進行變形，求得sinφ、cosφ的值．然后根據同角三角函數關系進行解答．【解答】解：∵12cosθ﹣5sinθ=13（cosθ﹣sinθ）=13（cosφcosθ﹣sinφsinθ）=Acos（θ+φ）（A＞0），∴cosφ=，sinφ=，∴tanφ===．故答案是：．17.下面是關于復數的四個命題：其中的真命題為

;

的共軛復數為

的虛部為。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知的頂點A為（3，－1），AB邊上的中線所在直線方程為，的平分線所在直線方程為，求BC邊所在直線的方程．參考答案：設，由AB中點在上，可得：，y1=5，所以．設A點關于的對稱點為，則有.故

略19.（12分）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點C到平面C1DE的距離．參考答案：解：（1）連結.因為M，E分別為的中點，所以，且.又因為N為的中點，所以.由題設知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.（2）過C作C1E的垂線，垂足為H.由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.從而CH⊥平面，故CH的長即為C到平面的距離，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.從而點C到平面的距離為.

20.（12分）某校舉行“慶元旦”教工羽毛球單循環比賽（任意兩個參賽隊只比賽一場），共有高一、高二、高三三個隊參賽，高一勝高二的概率為，高一勝高三的概率為，高二勝高三的概率為P，每場勝負獨立，勝者記1分，負者記0分，規定：積分相同者高年級獲勝。（I）

若高三獲得冠軍概率為，求P。(II)記高三的得分為X，求X的分布列和期望。參考答案：(Ⅰ)高三獲得冠軍有兩種情況，高三勝兩場，三個隊各勝一場.高三勝兩場的概率為，…………………2分三個隊各勝一場的概率為…………4分所以+＝解得.…………………6分(Ⅱ)高三的得分X的所有可能取值有０、１、２

P(X=0)=

P(X=1)=P(X=２)=……9分所以X的分布列為

…11分故X的期望＝…………12分21.已知數列，，，，，為數列的前項和，為數列的前項和.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）求數列的前項和；（Ⅲ）求證：.參考答案：解：（Ⅰ）法一：…3分

………………5分法二：

………………3分

……4分

………………5分（Ⅱ）…7分

9分

…………10分（Ⅲ）證明：

……12分

；……14