學(xué)號(hào)：2013202020061姓名：王大獎(jiǎng)細(xì)胞存活曲線的推導(dǎo)

主要內(nèi)容一、電離輻射的細(xì)胞效應(yīng)與細(xì)胞存活二、細(xì)胞存活曲線的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1靶學(xué)說(shuō)2擊中概率和泊松分布二項(xiàng)分布泊松分布三、基于靶學(xué)說(shuō)的幾種細(xì)胞存活曲線模型的推導(dǎo)1單靶單擊模型S=e-D/D02多靶單擊模型S=1–(1–e-D/D0)N

3

二次線性平方（L-Q）模型S=e–(αD+βD2)

四、關(guān)于L-Q模型的思考及其他幾種模型1、l-q模型的局限性分析2、IR模型3、L-Q模型的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程及其向高劑量段擴(kuò)展一、細(xì)胞存活曲線的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1靶學(xué)說(shuō)①生物結(jié)構(gòu)內(nèi)存在對(duì)放射敏感的部分，稱之為“靶”，其損傷將引發(fā)某種生物效應(yīng)；②射線與生物系統(tǒng)的相互作用是一種隨機(jī)過(guò)程，“擊中”是彼此無(wú)關(guān)的獨(dú)立事件，擊中概率服從泊松分布③單次或多次擊中靶區(qū)可產(chǎn)生某種放射生物效應(yīng)，如生物大分子失活或斷裂等。

電離輻射的細(xì)胞效應(yīng)輻射誘導(dǎo)的DNA損傷及修復(fù)研究顯示：DNA是引起一系列生物學(xué)效應(yīng)的關(guān)鍵靶。DNA鏈斷裂的主要形式單鏈斷裂雙鏈斷裂插圖

電離輻射的細(xì)胞效應(yīng)DNA鏈斷裂的修復(fù)DNA單鏈斷裂的修復(fù)以對(duì)側(cè)鏈為模板，是一種可完全修復(fù)的分子損傷DNA雙鏈斷裂的修復(fù)可修復(fù)的雙鏈斷裂（彼此分開(kāi)間隔一段距離）不可修復(fù)的雙鏈斷裂（發(fā)生在對(duì)側(cè)互補(bǔ)堿基或僅間隔幾個(gè)堿基對(duì)--染色體折成兩段）

電離輻射的細(xì)胞效應(yīng)輻射所致的細(xì)胞死亡.兩種主要形式分裂間期死亡（細(xì)胞在進(jìn)行下一次分裂前死亡）有絲分裂死亡

(增殖性死亡）指由于染色體的損傷，細(xì)胞在試圖分裂時(shí)發(fā)生死亡。死亡可發(fā)生在照射后的第一次或以后的幾次分裂。是電離輻射引起細(xì)胞死亡的最常見(jiàn)形式，

電離輻射的細(xì)胞效應(yīng)放射生物對(duì)細(xì)胞死亡的基本認(rèn)識(shí)：一般意義的細(xì)胞死亡（celldeath)，細(xì)胞再繁殖完整性的丟失(lossofreproductiveintegrityoftumorcells)即是永久性克隆功能丟失兩者在概念上存在著根本意義上的不同，放射可治愈性結(jié)局的最主要依據(jù)是后者。放射治療對(duì)受照射后的存活細(xì)胞更加關(guān)注，因這對(duì)放射可治愈性非常重要細(xì)胞存活曲線描述放射線照射劑量和細(xì)胞存活比之間的關(guān)系，關(guān)注的是：一定劑量照射以后對(duì)克隆源細(xì)胞而不是細(xì)胞群任意細(xì)胞的殺滅電離輻射的細(xì)胞效應(yīng)電離輻射的細(xì)胞效應(yīng)細(xì)胞存活曲線放射生物學(xué)規(guī)定：鑒別“細(xì)胞存活”的唯一標(biāo)準(zhǔn)是照射后細(xì)胞是否保持再繁殖的完整性，即所分析的是克隆源細(xì)胞的增殖活性而不是受照射群體中任意細(xì)胞的功能活性MTT法、染料除外等方法均不被認(rèn)可電離輻射的細(xì)胞效應(yīng)細(xì)胞存活曲線克隆源細(xì)胞（clonogeniccell)指具有生成“克隆”能力的原始存活細(xì)胞。在離體培養(yǎng)細(xì)胞：這種無(wú)限增殖能力體現(xiàn)為形成一個(gè)完整的50個(gè)細(xì)胞的克隆在體內(nèi)：體現(xiàn)為腫瘤體積的不斷增大、復(fù)發(fā)、轉(zhuǎn)移在這個(gè)“細(xì)胞存活”的嚴(yán)格定義下，提示臨床必須重視這種存活細(xì)胞，這種具有無(wú)限增殖能力的細(xì)胞是在治療中必須根除的細(xì)胞電離輻射的細(xì)胞效應(yīng)細(xì)胞存活曲線細(xì)胞形成克隆的能力被稱為“細(xì)胞存活”輻射所致的細(xì)胞殺滅是指數(shù)性的，指數(shù)關(guān)系的特點(diǎn)：增加一定劑量就有一定比例的細(xì)胞而不是數(shù)量的細(xì)胞被殺死2擊中概率及泊松分布細(xì)胞存活曲線的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1）二項(xiàng)分布研究n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次（k=0，1，…n）的概率由于n次試驗(yàn)有k次A出現(xiàn)，共有種不同的事件，可得：此式為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)，又因?yàn)闉槎?xiàng)展開(kāi)式（p+（1-p））n的一般項(xiàng)，故稱為二項(xiàng)分布上式的分布就為參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記為B（n，p）二項(xiàng)分布的平均數(shù)：E(X)=np細(xì)胞存活曲線的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二項(xiàng)分布的公式在n→∞，p→0時(shí)就可進(jìn)行如下推導(dǎo)：引入?yún)?shù)λ，λ=np（2）泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量所有可能取的值為0、1、2……,而取各個(gè)值的概率為

則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為式中：P{X=k}為出現(xiàn)某事件例數(shù)為k的理論概率。表示單位時(shí)間或空間內(nèi)某事件平均發(fā)生的次數(shù)，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以用樣本均數(shù)作為總體均數(shù)λ的估計(jì)值。

泊松分布刻畫(huà)了稀有事件在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生次數(shù)這一隨機(jī)變量的分布，如電話交換臺(tái)單位時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)，某公共汽車站在單位時(shí)間內(nèi)來(lái)站乘車的乘客數(shù)，宇宙中單位體積內(nèi)星球的個(gè)數(shù)，根底上單位面積內(nèi)雜草的樹(shù)木等。泊松分布引入?yún)?shù)，=np二項(xiàng)分布的公式在n很大，p很小時(shí)就可進(jìn)行如下推導(dǎo)：泊松分布

參數(shù)較小時(shí)，泊松分布是偏態(tài)的；參數(shù)增大，分布逐漸對(duì)稱。當(dāng)參數(shù)無(wú)限大時(shí)，泊松分布趨于正態(tài)分布。伯努利實(shí)驗(yàn)二項(xiàng)分布泊松分布（只有兩個(gè)可能結(jié)果A和非A）

正態(tài)分布

≧20n較大，p和q都不太小n很大p很小二項(xiàng)分布、泊松分布及正態(tài)分布的關(guān)系n重實(shí)驗(yàn)各種模型細(xì)胞存活曲線的推導(dǎo)每次射擊擊中概率為p,射擊次數(shù)為n，平均每靶被擊中一次的劑量為，總劑量為D，則np=D/D0根據(jù)Poisson分布，λ=np=D/D0靶子遭受k次擊中的概率為:單靶單擊模型從生物學(xué)上考慮，若靶的失活只需1次擊中就可發(fā)生，則靶存活的概率即個(gè)體的存活概率S就是靶擊中數(shù)為0(k＝0)的概率:這就是靶學(xué)說(shuō)最基本的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它表示生物大分子或病毒的未失活部分隨輻射劑量的升高呈指數(shù)下降,稱為指數(shù)存活方程或單靶一次擊中存活方程。上式兩邊取對(duì)數(shù)，得到是個(gè)一次方程，反映到圖像上是條直線單靶單擊模型細(xì)胞存活曲線單靶單擊模型存活曲線中僅有一個(gè)參數(shù)D0，D0表示圖中直線部分的斜率K的倒數(shù)(D0＝1/k)，它代表這一細(xì)胞群的放射敏感性、即照射后余37％細(xì)胞所需的放射線劑量。D0值越小，即殺滅63％細(xì)胞所需的劑量就越小，曲線下降迅速(斜率大)。D0為每靶平均受到一次打擊時(shí)的劑量，單靶單擊模型中也稱為平均致死劑量,不同的細(xì)胞，值不一樣，但人類腫瘤大概都為100-160cGy。D/D0則表示每靶的平均擊中數(shù)，與np的意義相當(dāng)。當(dāng)劑量D=D0時(shí)，細(xì)胞存活分?jǐn)?shù)S=exp（-1）=37%D。值2簡(jiǎn)單的多靶單擊模型假設(shè)：?每個(gè)細(xì)胞包含N個(gè)相同的靶?每個(gè)靶在單次帶電粒子穿越(單擊)時(shí)，會(huì)失活。?靶的失活是一次亞致死事件。?必須所有N個(gè)靶都失活才能殺死細(xì)胞。?對(duì)于劑量D0，平均每個(gè)特定靶被擊中一次。

e-D/D0則n個(gè)靶中任一靶被擊中的概率是1-e-D/D0,即P(某特定靶點(diǎn)失活)=1-e-D/D0N個(gè)靶子全部被擊中的概率為

(1-e-D/D0)N

即P(所有N個(gè)靶點(diǎn)失活)=未被全部擊中的概率即存活概率：S=P(存活)=1-

上式稱為多靶單擊方程將多靶單擊方程展開(kāi)，如下：在高劑量時(shí)，以后的項(xiàng)可以忽略，得到是一條對(duì)D的直線多靶單擊模型細(xì)胞存活曲線細(xì)胞存活曲線的參數(shù)D0值：細(xì)胞的平均致死劑量（meanlethaldose）為直線范圍內(nèi)使存活率下降63％(即降至原存活率的37％)所需劑量。由縱坐標(biāo)0.1和0.037各作與橫坐標(biāo)相平行的線與存活曲線直線部分相交，兩個(gè)相交點(diǎn)在橫坐標(biāo)上投影的兩個(gè)劑量點(diǎn)之差即為D0值，此圖中為1.0Gy。D0愈小，斜率愈大D0值大小代表細(xì)胞放射敏感性的高低N值代表細(xì)胞內(nèi)靶的個(gè)數(shù)或所需擊中靶的次數(shù)將直線部分外推與縱坐標(biāo)相交點(diǎn)的數(shù)值即為外推n值（extrapolationnumber)多為1～3Dq值準(zhǔn)閾劑量（quasithreshoulddose）由縱坐標(biāo)1.0處作一條與橫坐標(biāo)的平行線，與外推線的交點(diǎn)在橫坐標(biāo)上投影點(diǎn)的數(shù)值即為Dq。一個(gè)閾值劑量意味著小于這一劑量將沒(méi)有效應(yīng)，但在射線的作用中沒(méi)有無(wú)效應(yīng)的劑量，因此，稱之為準(zhǔn)閾劑量。它表明細(xì)胞亞致死損傷修復(fù)能力的大小。Dq值小，表明細(xì)胞亞致死損傷修復(fù)能力小，很小劑量便使細(xì)胞進(jìn)入致死損傷的指數(shù)存活曲線部分。多在0.5～2.5Gy分子模型提出者認(rèn)為，DNA分子的雙鏈性質(zhì)意味著在理論上這種分子可以有兩種方式被輻射作用完全打斷：可以由于一個(gè)電離粒子的通過(guò)，在靠近DNA雙鏈處造成兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的能量沉積事件而斷裂，這種作用方式生成的DNA雙鏈斷裂（DSBs）數(shù)直接與吸收劑量D成正比:N=αD；可以由兩個(gè)電離粒子獨(dú)立地在DNA雙鏈上產(chǎn)生兩個(gè)位置很靠近的能量沉積事件而形成，這時(shí)雙鏈斷裂數(shù)與劑量的平方成正比：N=βD2。兩個(gè)SSBs

于是一個(gè)細(xì)胞發(fā)生DNA雙鏈斷裂的平均數(shù)為:N=αD+βD2

線性二次L-Q模型前面的論述表明:輻射后細(xì)胞的存活分?jǐn)?shù)（S）與平均DNA雙鏈斷裂數(shù)（N）成指數(shù)性反比關(guān)系：Se-N輻射劑量與存活分?jǐn)?shù)的關(guān)系為：S=e-(αD+βD2)式中α和β的單位分別是1／Gy和1／Gy2，D為輻射劑量。N分次照射中，方程可寫為S=e-N(αD+βD2)公式兩邊取對(duì)數(shù)-lnＳ＝N(α

D+βD2)；-lnS代表放射線的生物效應(yīng)，為簡(jiǎn)便用Ｅ表示，則：Ｅ＝N(αD+βD２)；Ｅ/α＝ND(１+D/(α/β))Ｅ/α被稱為生物效應(yīng)劑量(BED)，可以用來(lái)權(quán)衡不同時(shí)間－劑量分次模型的效應(yīng)顯然系數(shù)因子的單位為，的單位為，上式子成立的前提是各分次造成的生物效應(yīng)相同，即E1=E2....=En,那么S總=[e-(αD+βD2)]NL-Q模型細(xì)胞存活曲線只考慮雙鏈斷裂，即細(xì)胞死亡，不考慮單鏈斷裂介于兩種極端情況之間E1=αD和E2=βD2初始斜率不為0沒(méi)有量化參數(shù)D0DqN等，僅為α，β所描述,此參數(shù)α/β表示引起細(xì)胞殺傷中單擊和多擊成分相等時(shí)的劑量（非比值）。該值與早反應(yīng)組織和晚反應(yīng)組織有關(guān)，對(duì)不同的組織該值是不同的.L–Q曲線特征x=0:.1:30;s=ones;s=exp(-.1.*x-0.01.*x.^2);s1=exp(-.1.*x);s2=exp(-.01.*x.^2)semilogy(x,s,'.-r')holdonsemilogy(x,s1,'-g')holdonsemilogy(x,s2,'-b')holdoff生物學(xué)涵義：當(dāng)D=α/β時(shí)

E1=αD=α(α/β)=α2/βE2=βD2=β(α/β)2=α2/βE1=E2

當(dāng)D<α/β或低LET

生物效應(yīng)主導(dǎo)為E=αD

當(dāng)D>α/β或高LET生物效應(yīng)主導(dǎo)為E=βD2

晚反應(yīng)組織損傷更多為βD2，顯然α/β值較小α/β的含義數(shù)學(xué)涵義：n次照射d分割量的L-Q表達(dá)式

S=e–n(αd+βd2)

E=αnd+βnd2D=nd代入E=αD+βDd

同除以ED1/D=(α/E)+(β/E)d

總劑量的倒數(shù)為分次量d的一次線性函數(shù)

早反應(yīng)組織指機(jī)體內(nèi)那些分裂增殖活躍并對(duì)放射線早期反應(yīng)比較強(qiáng)烈的組織。如上皮、粘膜、骨髓等，腫瘤屬于早反應(yīng)組織，早反應(yīng)組織的α／β值比較大，在10GY左右。如皮膚9.4；小腸7.1；脾8.9；結(jié)腸8.4；

晚反應(yīng)組織指機(jī)體內(nèi)那些無(wú)再增殖能力，損傷后僅以修復(fù)代償其正常功能的組織。如脊髓、腎、肺、肝等。其α／β值比較小，在3GY以下。如脊髓2.5；腎（小白鼠）1.8；肺3.6；眼1.2；根據(jù)多次的實(shí)驗(yàn)總結(jié)，可以得到α/β值。在照射后數(shù)天至數(shù)周內(nèi)出現(xiàn)損傷的早期反應(yīng)組織，其α/β至一般在7~20Gy;而在照射后數(shù)月至數(shù)年出現(xiàn)放射性損傷的晚期反應(yīng)組織中，其α/β值一般在0.5~6Gy。重要的是，得認(rèn)識(shí)到α/β值不是常數(shù)，特定的組織有特定的α/β值，一定要認(rèn)真選擇。早反應(yīng)組織晚反應(yīng)組織人體正常組織和腫瘤的α/β值組織或器官損傷α/β值（Gy)

早期反應(yīng)組織皮膚紅斑8.8~12.3皮膚剝脫11.2口腔粘膜粘膜炎8~15

晚期反應(yīng)組織皮膚/血管毛細(xì)血管擴(kuò)張2.6~2.8皮下組織纖維化1.7肌肉/血管/軟骨肩部運(yùn)動(dòng)障礙3.5人體正常組織和腫瘤的α/β值組織或器官損傷α/β值（Gy)

神經(jīng)臂叢神經(jīng)損傷<3.5臂叢神經(jīng)損傷~2視神經(jīng)損傷1.6脊髓脊髓損傷<3.3眼角膜損傷2.9腸狹窄，穿孔3.9肺肺炎3.3纖維化(放射性）3.1頭頸各種晚期反應(yīng)3.5~3.8口腔,口咽各種晚期反應(yīng)0.8人體正常組織和腫瘤的α/β值組織或器官損傷α/β值（Gy)腫瘤

頭頸部喉14.5聲帶~13口咽~16頰粘膜6.6扁桃體7.2鼻咽16

皮膚

8.5黑色素瘤0.6脂肪肉瘤0.4α/β值的測(cè)定方法直接法:編寫軟件處理原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到精確度很高的α/β值等效公式法：可以兩個(gè)生物等效方案中推算出α/β值：

式中，d為分次劑量，D為總劑量，N為分次數(shù)，D=NdE=-ln(S)α/β的應(yīng)用

--放射治療方案之間時(shí)間劑量因子的變換公式n1(αd1+βd12)=n2(αd2+βd22)即n1[（α/β）d1+d12]=n2[（α/β）d2+d22]d確定求n的變換值

n2=n1(d1/d2)[(α/β+d1)/(α/β+d2)]n確定求d的變換值d2=d1(n1/n2)[(α/β+d1)/(α/β+d2)]亦可D1/D2=(α/β+d2)/(α/β+d1)方案變換選擇的一般性原則

1.d<1.8~2Gy有利于晚反應(yīng)組織防護(hù)2.日分次照射總量<4.8~5Gy3.分割劑量時(shí)間間隔>6hr4.兩周照射劑量<55Gy5.延長(zhǎng)OTT（總治療時(shí)間）以減輕急性反應(yīng)時(shí)可能導(dǎo)致腫瘤局部控制率下降；6.D不變，延長(zhǎng)OTT對(duì)減輕晚期損傷無(wú)收益；7.進(jìn)退維谷時(shí)，寧可急性反應(yīng)稍重，而應(yīng)避免嚴(yán)重晚期損傷L-Q模型的局限性現(xiàn)有的α／β多數(shù)是離體細(xì)胞或動(dòng)物實(shí)驗(yàn)（集落生成實(shí)驗(yàn)）中所得出的數(shù)據(jù)，與臨床有一定的差距。

建模時(shí)沒(méi)有考慮修復(fù)，但實(shí)際上組織是有修復(fù)的。臨床的腫瘤治療中，腫瘤和早反應(yīng)組織至少能產(chǎn)生一次再增殖(一般在放療后2周后開(kāi)始)，故應(yīng)充分考慮因組織再增殖而額外增加的劑量，但L-Q模型沒(méi)有予以考慮。總之,α∕β值及其數(shù)學(xué)模式是為了更實(shí)際地反映放射過(guò)程中發(fā)生在腫瘤及正常組織內(nèi)的變化，以數(shù)字模式定量化，但要注意，根據(jù)公式獲得的各種數(shù)據(jù)不是實(shí)際照射劑量，故在實(shí)際工作中僅作為參考，而不能作為吸收劑量照搬套用。IR模型提出背景

建模時(shí)沒(méi)有考慮修復(fù)，但實(shí)際上組織是有修復(fù)的。這個(gè)模型中的參數(shù)只與細(xì)胞本身的特性有關(guān)，反映不出照射條件(照射次數(shù)，劑量率)、細(xì)胞修復(fù)能力的影響。當(dāng)治療的時(shí)間間隔變小，劑量率較低，此時(shí)產(chǎn)生相同生物效應(yīng)的總劑量會(huì)減小很多，這一現(xiàn)象就叫做不完全修復(fù)。IR模型L-Q模型S=exp[一(αD十βD2)中的α項(xiàng)反映單個(gè)粒子徑跡引起的損傷，而β項(xiàng)(即平方項(xiàng))反映了兩個(gè)獨(dú)立的徑跡引起的兩個(gè)亞損傷相互作用產(chǎn)生的損傷，兩個(gè)亞損傷之間的時(shí)間間隔(取決于劑量率)和第二個(gè)亞損傷出現(xiàn)之前對(duì)第一個(gè)亞損傷的修復(fù)(取決于修復(fù)能力)均會(huì)影響細(xì)胞的最終的存活率。因此β項(xiàng)實(shí)際上將受到細(xì)胞修復(fù)能力和劑量率的影響，但是這個(gè)模型中的參數(shù)α、β只與細(xì)胞本身的特性有關(guān)，反映不出照射條件(照射次數(shù)，劑量率)、細(xì)胞修復(fù)能力的影響。IR模型可解決上述問(wèn)題。IR模型IR模型的表達(dá)式為：

S(D,t)=exp{-αD+βg(μt)D2}其中函數(shù) g(μ,t)=2[μt-1+exp(-μt)]/(μt)2式中D為照射總劑量，t為照射時(shí)間，t=D/P,P為劑量率，μ稱為修復(fù)速率常數(shù)。這樣，就將細(xì)胞存活率S與照射總劑量D和劑量率P兩個(gè)變量聯(lián)系起來(lái)，不僅可獲得修復(fù)速率常數(shù)μ，而且還可得到半值修復(fù)時(shí)間T1/2:T1/2=ln2/μ在低劑量率照射時(shí)，T1/2就是完全修復(fù)時(shí)間的一半。t→0,S(D,t)=exp[-αD+βD2]表動(dòng)物實(shí)驗(yàn)中正常組織放射性損傷修復(fù)的半修復(fù)期L-Q模型的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程及其向高劑量段擴(kuò)展圖體外培養(yǎng)的細(xì)胞受照射后典型的細(xì)胞存活曲線注：（a）繪制在普通的繪圖紙上；(b)繪制在對(duì)數(shù)繪圖紙上L-Q模型的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程及其向高劑量段擴(kuò)展由于細(xì)胞存活曲線符合指數(shù)形式，因此設(shè)：ln(s)=f(d)（1）式中：s為細(xì)胞存活率，d為照射劑量。f(d)為關(guān)于d的多項(xiàng)式。將f(d)根據(jù)Taylor在d0=0處展開(kāi)

（2）

（3）

（4）取前三項(xiàng)，忽略余項(xiàng)，當(dāng)d=0時(shí)：式中：α=f'(0)，β=-f''(0)/2!。由于d=0時(shí)，s=1,ln(s)=0，故f(0)=0,所以：或L-Q模型的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程及其向高劑量段擴(kuò)展顯然，如果余項(xiàng)不為0，這是個(gè)近似公式。L-Q公式的計(jì)算結(jié)果隨著劑量d的加大會(huì)逐漸偏離實(shí)驗(yàn)結(jié)果。LQ模型在描述劑量<5~6Gy時(shí)的細(xì)胞反應(yīng)較好，很適合在這個(gè)范圍內(nèi)使用。但是在高劑量段將會(huì)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生偏離上式是由f(d)在d0=0處展開(kāi)，并且保留前三項(xiàng)。由此，可以從一下兩種方式將L-Q公式推向高劑量段：