廣東省廣州市赤崗中學2022年高二數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從集合中隨機取出一個數，設事件為“取出的數為偶數”，事件為“取出的數為奇數”，則事件與(

)A．是互斥且對立事件

B．是互斥且不對立事件C．不是互斥事件

D．不是對立事件

參考答案：A2.圓（x﹣1）2+y2=1和圓x2+y2+2x+4y﹣4=0的位置關系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上都有可能參考答案：A【考點】圓與圓的位置關系及其判定．【分析】求出兩圓的圓心和半徑，根據圓與圓的位置關系進行判斷即可．【解答】解：圓x2+y2+2x+4y﹣4=0的標準方程為（x+1）2+（y+2）2=9，則圓心為A（﹣1，﹣2）．半徑r=3，則圓（x﹣1）2+y2=1的圓心坐標為B（1，0），半徑R=1，則AB==，則3﹣1＜AB＜3+1，即兩圓相交，故選：A3.下列命題中，一定正確的是（）A．若，則a＞0，b＜0 B．若a＞b，b≠0，則C．若a＞b，a+c＞b+d，則c＞d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd參考答案：A【考點】不等式的基本性質．【分析】A．由a＞b，=＞0，可得ab＜0，因此a＞0＞b，即可判斷出正誤．B．b＜0時不成立．C．取a=6，b=1，c=1，d=2，即可判斷出正誤．D．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，即可判斷出正誤．【解答】解：A．∵a＞b，=＞0，∴ab＜0，因此a＞0＞b，正確．B．b＜0時不成立．C．取a=6，b=1，c=1，d=2，滿足a＞b，a+c＞b+d，而c＜d，因此不正確．D．取a=5，b=﹣3，c=1，d=﹣6，滿足a＞b，c＞d，則ac＜bd，不正確．故選：A．4.四棱錐P-ABCD的底面是單位正方形，側棱PB垂直于底面，且PB=，記θ=∠APD，則sinθ=

（）

A、

B、

C、D、參考答案：C5.已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數列，若a1=1，Sn為數列{an}的前n項和，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．2參考答案：A【考點】85：等差數列的前n項和．【分析】a1，a3，a13成等比數列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分離常數法化簡后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比數列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴===n+1+﹣2≥2﹣2=4，當且僅當n+1=時取等號，此時n=2，且取到最小值4，故選：A．6.將兩枚質地均勻透明且各面分別標有1，2，3，4的正四面體玩具各擲一次，設事件A＝{兩個玩具底面點數不相同}，B＝{兩個玩具底面點數至少出現一個2點}，則P（B｜A）＝A、B、C、D、參考答案：C7.在中，角，，的對邊分別為，，，且，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A8.用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，假設正確的是（）A．假設三內角都不大于60度B．假設三內角都大于60度C．假設三內角至多有一個大于60度D．假設三內角至多有兩個大于60度參考答案：B【考點】R9：反證法與放縮法．【分析】一些正面詞語的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一個”的否定：“至少有兩個”；“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；“是至多有n個”的否定：“至少有n+1個”；“任意的”的否定：“某個”；“任意兩個”的否定：“某兩個”；“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根據反證法的步驟，假設是對原命題結論的否定，“至少有一個”的否定：“一個也沒有”；即“三內角都大于60度”．故選B9.已知拋物線的焦點F恰好是雙曲線的右焦點，且兩條曲線的交點的連線過F，則該雙曲線的離心率是（

）A. B. C. D.參考答案：C略10.已知D、C、B三點在地面同一直線上，DC=a，從C、D兩點測得A的點仰角分別為α、β（α＞β）則A點離地面的高AB等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某射擊運動員在四次射擊中打出了10，x，9,8環的成績，已知這組數據的平均數為9，則這則數據的方差是

.參考答案：12.若橢圓長軸、短軸、焦距的長度之和等于8，則長半軸的取值范圍是

，當長半軸取得最小值時，橢圓的離心率等于

。參考答案：[4(–1)，2)，；13.在同一平面直角坐標系中，直線在變換作用下得到的直線方程是

。參考答案：14.不等式組所確定的平面區域記為.若點是區域上的點，則的最大值是

;若圓上的所有點都在區域上,則圓的面積的最大值是

.參考答案：14，15.一個水平放置的平面圖形，其斜二測直觀圖是一個等腰梯形，其下底在軸上，在軸上，底角為，腰和上底均為1，則此平面圖形的實際面積是_____.參考答案：16.命題“?x∈R，x2＋2ax＋a≤0”是假命題，則實數a的取值范圍為

．參考答案：17.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，，，設是底面內一點，定義，其中分別是三棱錐、三棱錐、三棱錐的體積，若，且恒成立，則正實數的最小值為

.參考答案：解析：依題意可知，，，又恒成立，，解得，或.故的最小值為1.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求證：平面PBC⊥平面PBD；（2）設Q為棱PC上一點，=λ，試確定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P為60°．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，過點作B作BH⊥CD于H，通過面面垂直的判定定理即得結論；（2）過點Q作QM∥BC交PB于點M，過點M作MN⊥BD于點N，連QN．則∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=計算即可．【解答】（1）證明：∵AD⊥平面PDC，PD?平面PCD，DC?平面PDC，圖1所示．∴AD⊥PD，AD⊥DC，在梯形ABCD中，過點作B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．AD?平面ABCD，DC?平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，∵BD∩PD=D，BD?平面PBD，PD?平面PBD．∴BC⊥平面PBD，∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：過點Q作QM∥BC交PB于點M，過點M作MN⊥BD于點N，連QN．由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，圖2所示．∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．19.已知曲線（為參數），曲線（t為參數）（1）若求曲線C2的普通方程，并說明它表示什么曲線；（2）曲線C1和曲線C2的交點記為M、N，求的最小值參考答案：(1)曲線C2的普通方程是它表示過，傾斜角為的直線.(2)【分析】(1)將參數t消去得到一般方程，由參數方程可得到定點和斜率；（2）聯立直線的參數方程和圓的一般方程，再由弦長公式得到結果.【詳解】（1）（為參數）曲線的普通方程是它表示過，傾斜角為的直線.（2）曲線的普通方程為將代入中，得當時，最小【點睛】這個題目考查了直線的參數方程和一般方程的互化，以及弦長公式，題目比較基礎.20.（本小題滿分14分）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．（1）求證：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由；（3）若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長．參考答案：21.（12分）(理科題)在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1、2、3、4的四個球，現從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個小球被取出的可能性相等．（1）求取出的兩個球上標號為相鄰整數的概率；（2）求取出的兩個球上標號之和能被3整除的概率．參考答案：解：利用樹狀圖可以列出從甲、乙兩個盒子中各取出1個球的所有可能結果：可以看出，試驗的所有可能結果數為16種。（1）所取兩個小球上的標號為相鄰整數的結果有1—2,2—1,2—3,3—2,3—4,4—3，共6種。故所求概率（2）所取兩個球上的數字和能被3整除的結果有1—2,2—1,2—4,3—3,4—2,共5種。故所求概率為略22.（本小題滿分13分）已知橢圓:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點.(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)若直線交橢圓于兩點，在直線上存在點,使得為等邊三角形,求的值.

參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)或(Ⅰ)因為橢圓:的四個頂點恰好是一邊長為2，