廣東省廣州市市白云中學2023年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.甲、乙、丙、丁四們同學一起去向老師詢問數學學業水平考試成績等級.老師說:“你們四人中有2人A等,1人B等,1人C等,我現在給甲看乙、丙的成績等級,給乙看丙的成績等級,給丙看丁的成績等級”.看后甲對大家說:“我知道我的成績等級了”.根據以上信息,則（

）A.甲、乙的成績等級相同

B.丁可以知道四人的成績等級C.乙、丙的成績等級相同

D.乙可以知道四人的成績等級參考答案：D2.四面體ABCD的各面都是銳角三角形，且，，。平面分別截棱AB、BC、CD、DA于點P、Q、R、S，則四邊形PQRS的周長的最小值是（

）

A.2a

B.2b

C.2c

D.參考答案：B3.執行右面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：B4.本周日有5所不同的高校來我校作招生宣傳，學校要求每位同學可以從中任選1所或2所去咨詢了解，甲、乙、丙三位同學的選擇沒有一所是相同的，則不同的選法共有（

）A.330種 B.420種 C.510種 D.600種參考答案：A種類有（1）甲1，乙1，丙1，方法數有；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法數有；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法數有.故總的方法數有種.【點睛】解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．5.數列前n項和=(

)A.;

B.;

C.;

D.參考答案：D6.過點(1,2),且在兩坐標軸上的截距相等的直線有

（

）

A.1條

B.

2條

C.

3條

D.

4條參考答案：B略7.直線恒過定點C，則以C為圓心，5為半徑的圓的方程為（

）A．

B．C．

D．參考答案：B直線，化為，時，總有，即直線直線過定點，圓心坐標為，又因為圓的半徑是，所以圓的標準方程是，故選B.

8.已知和是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出

的是（

）A．，且

B.∥，且

C.，且∥

D.，且∥參考答案：B9.如右題圖所示，正方體AC1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為點H，則下列命題正確的是(

)①AH⊥平面CB1D1②AH=AC1③點H是△A1BD的垂心④AH∥平面BDC1A.①②④

B.②③④

C.①②③

D.①③④參考答案：C10.i是虛數單位，復數z滿足，則=（

）A.5

B.

C.13

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從4名男同學、3名女同學中選3名同學組成一個小組，要求其中男、女同學都有，則共有種不同的選法．（用數字作答）參考答案：30【考點】排列、組合及簡單計數問題．【分析】不考慮特殊情況有C73，只選男同學C43，只選女同學C33，由對立事件的選法，可求．【解答】解：不考慮特殊情況有C73，利用對立事件的選法，故有C73﹣C43﹣C33=30，故答案為30．12.已知復數，則__________；參考答案：13.對于函數f（x）=xlnx有如下結論：①該函數為偶函數；②若f′（x0）=2，則x0=e；③其單調遞增區間是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤該函數的圖象與直線y=﹣有且只有一個公共點．（本題中e是自然對數的底數）其中正確的是（請把正確結論的序號填在橫線上）參考答案：②③⑤【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】求出函數的定義域、導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出函數的最值，從而判斷結論即可．【解答】解：f（x）=xlnx的定義域是（0，+∞），故不是偶函數，故①錯誤；f′（x）=lnx+1，令f′（x0）=2，即lnx0+1=2，解得：x0=e，故②正確；令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，解得：x＞，∴f（x）的單調遞增區間是[，+∞），故③正確；由f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，得：f（x）的最小值是f（）=﹣，故f（x）的值域是[﹣，+∞），故④錯誤；故該函數的圖象與直線y=﹣有且只有一個公共點，⑤正確；故答案為：②③⑤．14.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.參考答案：.【分析】先根據正弦定理把邊化為角，結合角的范圍可得.【詳解】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【點睛】本題考查利用正弦定理轉化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數學運算素養．采取定理法，利用轉化與化歸思想解題．忽視三角形內角的范圍致誤，三角形內角均在范圍內，化邊為角，結合三角函數的恒等變化求角．15.設函數，則=

▲

．參考答案：-216.已知x＞0,由不等式……，啟發我們可以得出推廣結論：

.參考答案：略17.若“”是“”的必要不充分條件，則的最大值為

▲

．

參考答案：-1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如下左圖，矩形的周長是24，把沿向折疊，折過去后交于點，得到下右圖，設，（1）設，試用表示出；（2）把的面積表示成的函數，并求出該函數的最大值及相應的值；參考答案：（1），矩形周長為24，，折過去后，，則，在中，解得：……………………4分（2）………………5分所以的面積

…………7分由………………8分由基本不等式，得：，當且僅當取等號…………10分由不等式的性質，得：綜上，當時的最大面積是。

……………12分19.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐S－ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC．（I）求證：AD⊥平面SBC；（II）試在SB上找一點E，使得BC//平面ADE，并證明你的結論．

參考答案：（I）證明：BC⊥平面SAC，平面SAC，∴BC⊥AD，又∵AD⊥SC，，平面SBC，平面SBC，∴AD⊥平面SBC．

…………（5分）（II）過D作DE//BC，交SB于E，E點即為所求．∵BC//DE，BC面ADE，DE平面ADE，∴BC//平面ADE．

…………（10分）

20.從一副撲克牌的紅桃花色中取5張牌，點數分別為1，2，3，4，5．甲、乙兩人玩一種游戲：甲先取一張牌，記下點數，放回后乙再取一張牌，記下點數．如果兩個點數的和為偶數就算甲勝，否則算乙勝．（1）求甲勝且點數的和為6的事件發生的概率；（2）這種游戲規則公平嗎？說明理由．參考答案：【考點】等可能事件的概率．【分析】（1）設“甲勝且點數的和為6”為事件A，甲的點數為x，乙的點數為y，則（x，y）表示一個基本事件，列舉兩人取牌結果，可得A包含的基本事件數目，由古典概型的公式，計算可得答案；（2）根據題意，設“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C；由列舉法分別計算兩人取勝的概率，比較可得答案．【解答】解：（1）設“甲勝且點數的和為6”為事件A，甲的點數為x，乙的點數為y，則（x，y）表示一個基本事件，兩人取牌結果包括（1，1），（1，2），（1，5），（2，1），（2，2），（5，4），（5，5）共25個基本事件；A包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5個，所以P（A）=．所以，編號之和為6且甲勝的概率為．（2）根據題意，設“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C；甲勝即兩個點數的和為偶數，所包含基本事件數為以下13個：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）；所以甲勝的概率為P（B）=；乙勝的概率為P（C）=1﹣，∵P（B）≠P（C），∴這種游戲規則不公平．21.在某校歌詠比賽中，甲班、乙班、丙班、丁班均可從、、、四首不同曲目中任選一首.（1）求甲、乙兩班選擇不同曲目的概率；（2）設這四個班級總共選取了首曲目，求的分布列及數學期望.參考答案：（1）在某校歌詠比賽中，甲班、乙班、丙班、丁班均可從、、、四首不同曲目中任選一首，共有種選法，甲、乙兩班選擇不同的曲目共有種選法，∴甲、乙兩班選擇不同曲目的概率為.（2）依題意可知，的可能取值為1，2，3，4，則，，，∴的分布列為：22.設函數φ（x）=ex﹣1﹣ax，（I）當a=1時，求函數φ（x）的最小值；（Ⅱ）若函數φ（x）在（0，+∞）上有零點，求實數a的范圍；（III）證明不等式ex≥1+x+．參考答案：【考點】6K：導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（I）求出導函數，利用導函數的符號，判斷函數的單調區間求解最小值．（II）φ'（x）=ex﹣a，若a≤0，求解函數的極值，若a＞0，求出函數的最小值，當0＜a≤1時，求解極值，當a＞1時，求出極值點，設g（a）=a﹣1﹣alna，求出導數，然后求解最小值，推出a的取值范圍．（III）設函數通過（1）當x≤0時，判斷函數的單調性，（2）當x＞0時，設，構造設h（x）=ex﹣x，判斷函數的單調性求解函數的最值，推出結果．【解答】（本題滿分14分）解：（I）?（x）=ex﹣1﹣x，?'（x）=ex﹣1x＜0時，?'（x）＜0．?（x）遞減；x＞0時，?'（x）＞0，?（x）遞增?（x）min=?（0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）φ'（x）=ex﹣a若a≤0，φ'（x）=ex﹣a＞0，φ（x）在R上遞增，且φ（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）上沒有零點﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞0，φ'（x）＜0，x＜lna，φ'（x）＞0，x＞lnaφ（x）在（﹣∞，lna）↓，（lna，+∞）↑，所以φ（x）min=φ（lna）=a﹣1﹣alna﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣當0＜a≤1時，極值點x0=lna≤0，又φ（0）=0，?（x）在（0，+∞）無零點當a＞1時，極值點x0=lna＞0，設g（a）=a﹣1﹣alnag'（a）=﹣lna＜0，g（a）在（1，+∞）上遞減，∴φ（x）min=g（a）＜g（1）=0﹣﹣﹣﹣φ（2a）=e2a﹣1﹣2a2∴φ'（2a）=2e2a﹣4a=2（e2a﹣2a）＞0，φ（2a）在（1，+∞）上遞增所以φ（2a）＞φ（2）=e2﹣5＞0，所以φ（x）在（0，+