廣東省廣州市太和中學高二數學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面積，則邊BC的長為(

)A． B．3 C． D．7參考答案：A【考點】三角形中的幾何計算．【專題】計算題．【分析】由△ABC的面積，求出AC=1，由余弦定理可得BC=，計算可得答案．【解答】解：∵=sin60°=，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故選A．【點評】本題考查三角形的面積公式，余弦定理的應用，求出AC=1，是解題的關鍵．2.曲線上的點到直線的最短距離是

（

）

0參考答案：A3.一組數據的平均數是2.8，方差是3.6，若將這組數據中的每一個數據都加上60，得到一組新數據，則所得新數據的平均數和方差分別是（）A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6參考答案：D【考點】極差、方差與標準差．【分析】首先寫出原來數據的平均數表示式和方差的表示式，把數據都加上60以后，再表示出新數據的平均數和方差的表示式，兩部分進行比較，得到結果．【解答】解：設這組數據分別為x1，x2，xn，則=（x1+x2+…+xn），方差為s2=[（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]，每一組數據都加60后，′=（x1+x2+…+xn+60n）=+60=2.8+60=62.8，方差s′2=+…+（xn+60﹣62.8）2]=s2=3.6．故選D【點評】本題考查平均數和方差的變換特點，若在原來數據前乘以同一個數，平均數也乘以同一個數，而方差要乘以這個數的平方，在數據上同加或減同一個數，方差不變．4.已知雙曲線（，）的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（

）A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)參考答案：C已知雙曲線雙曲線（，）的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，，離心率，故選C【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件．5.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，則b=（）A． B． C．2 D．3參考答案：D【考點】HR：余弦定理．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，從而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故選：D．【點評】本題主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．6.已知集合,給出下列四個對應關系，其中不能構成從到的映射的是（）A．

B.

C.D.參考答案：D略7.已知△ABC中，，試判斷△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰三角形或直角三角形參考答案：A8.曲線f(x)＝x3＋x－2的一條切線平行于直線y＝4x－1，則切點P0的坐標為()

A．(0，－1)或(1,0)

B．(1,0)或(－1，－4)C．(－1，－4)或(0，－2)

D．(1,0)或(2,8)參考答案：B9.已知A(1,－2,11)，B(4,2,3)，C(6,－1,4)，則△ABC是

（

）A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．等腰三角形參考答案：A略10.l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是A.l1⊥l2，l2⊥l3l1∥l3

B.l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3C.l1∥l2∥l3l1，l2，l3共面

D.l1，l2，l3共點l1，l2，l3共面參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在推導等差數列前n項和的過程中，我們使用了倒序相加的方法，類比可以求得

．參考答案：

12.已知數列滿足，則的通項公式為

參考答案：13.某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300米和500米，測得燈塔A在觀察站C北偏東30°，燈塔B在觀察站C南偏東30°處，則兩燈塔A、B間的距離為．參考答案：700米【考點】解三角形的實際應用．【分析】根據題意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可求得AB的長【解答】解：由題意，如圖，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°，∴AB=700米，故答案為：700米．14.

如圖所示的流程圖的輸出結果為sum＝132，則判斷框中？處應填________．參考答案：1115.設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．參考答案：(x-1)2+y2=4.【分析】由拋物線方程可得焦點坐標，即圓心，焦點到準線距離即半徑，進而求得結果.【詳解】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點F（1,0），準線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.【點睛】本題主要考查拋物線的焦點坐標，拋物線的準線方程，直線與圓相切的充分必要條件等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.16.與雙曲線有共同的漸近線，且經過點M(-3，2)的雙曲線的方程為

.參考答案：17.平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率

▲

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知一條拋物線和一個橢圓都經過點M（1，2），它們在x軸上具有相同的焦點F1，且兩者的對稱軸都是坐標軸，拋物線的頂點在坐標原點。⑴

拋物線的方程和橢圓方程；⑵

設橢圓的另一個焦點是F2，經過F2的直線與拋物線交于P，Q兩點，且滿足，求m的取值范圍。參考答案：解：（1）由題意可設拋物線方程為，把M點代入方程得：拋物線方程為……..2分所以F1（1，0），且經過點M，故設橢圓方程為，聯立方程得

解得，故橢圓方程為……………………..6分（2）易知F2（-1，0），設直線的方程為y=k(x+1)，聯立方程得，消去y得，因為直線與拋物線相交于P、Q兩點，所以，解得-1<k<1且…………9分設P（）Q（），則，由得，所以，∵P、Q為不同的兩點，∴，即，∴解得，∴………………..10分即，∵，∴，即所以m>0且………….12分19.已知拋物線E：的焦點為F，過點F的直線l與E交于A，C兩點（1）分別過A，C兩點作拋物線E的切線，求證：拋物線E在A、C兩點處的切線互相垂直；（2）過點F作直線l的垂線與拋物線E交于B，D兩點，求四邊形ABCD的面積的最小值.參考答案：（1）設過點的直線方程為，，由

得，即.恒成立，則

-------2分設拋物線E在A、C兩點處的切線的斜率分別為，由得令得，同理得

--------4分則.故拋物線E在A、C兩點處的切線互相垂直.

---------------6分（2）由（1）知，同理得，

------------------8分=32

-----10分當且僅當即時取等號∴四邊形ABCD的面積的最小值為32.

---------------------12分20.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位.已知直線的參數方程為（為參數，），曲線的極坐標方程為.（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設點的直角坐標為，直線與曲線相交于、兩點，并且，求的值.參考答案：（Ⅰ）當時，可化為，由，得.經檢驗，極點的直角坐標（0,0）也滿足此式.所以曲線的直角坐標方程為.（Ⅱ）將代入，得，所以，所以，或，即或.21.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分別為PC、BD的中點． （1）求證：EF∥平面PAD； （2）求證：面PAB⊥平面PDC． 參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定． 【專題】證明題；空間位置關系與距離． 【分析】（1）連接AC，則F是AC的中點，E為PC的中點，證明EF∥PA，利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面PAD； （2）先證明CD⊥PA，然后證明PA⊥PD．利用直線與平面垂直的判定定理證明PA⊥平面PCD，最后根據面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC． 【解答】證明：（1）連接AC，由正方形性質可知，AC與BD相交于BD的中點F，F也為AC中點，E為PC中點． 所以在△CPA中，EF∥PA， 又PA?平面PAD，EF?平面PAD， 所以EF∥平面PAD； （2）平面PAD⊥平面ABCD 平面PAD∩面ABCD=AD?CD⊥平面PAD?CD⊥PA 正方形ABCD中CD⊥ADPA?平面PADCD?平面ABCD 又，所以PA2+PD2=AD2 所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD． 因為CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC 所以PA⊥面PDC 又PA?面PAB， 所以面PAB⊥面PDC． 【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定的應用，考查邏輯推理能力． 22.在（1+x+x2）n=Dn0+Dn1x+Dn2x2+…+Dnrxr+…+Dn2n﹣1x2n﹣1+Dn2nx2n的展開式中，把Dn0，Dn1，Dn2，…，Dn2n叫做三項式系數．（1）當n=2時，寫出三項式系數D20，D21，D22，D23，D24的值；（2）類比二項式系數性質Cn+1m=Cnm﹣1+Cnm（1≤m≤n，m∈N，n∈N），給出一個關于三項式系數Dn+1m+1（1≤m≤2n﹣1，m∈N，n∈N）的相似性質，并予以證明．參考答案：【考點】DB：二項式系數的性質；F3：類比推理．【分析】（1）由（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1，即可得出．（2）類比二項式系數性質Cn+1m=Cnm﹣1+Cnm（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三項式系數有如下性質：=++．（1≤m≤2n﹣1）．由于（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）n?（1+x+x2），即（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）?（Dn0+Dn1x+Dn2x2+…+Dnrxr+…+Dn2n﹣1x2n﹣1+Dn2nx2n）．比較上式左邊與右邊xm+1的系數即可得出．【解答】解：（1）因為（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1，三項式系數D20