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文檔簡介
廣東省云浮市素龍第一中學2023年高一數學理測試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.下列不等關系中正確的是()
參考答案:D2.已知正項數列滿足:
,設數列的前項的和,則的取值范圍為
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B略3.已知e是自然對數的底數,函數f(x)=ex+x﹣2的零點為a,函數g(x)=lnx+x﹣2的零點為b,則下列不等式中成立的是()A.a<1<b B.a<b<1 C.1<a<b D.b<1<a參考答案:A【考點】函數零點的判定定理.【分析】根據函數與方程之間的關系轉化為函數y=ex與y=2﹣x,y=lnx與y=2﹣x交點的橫坐標的大小問題,利用數形結合進行比較即可.【解答】解:由f(x)=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x,由g(x)=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x,作出計算y=ex,y=lnx,y=2﹣x的圖象如圖:∵函數f(x)=ex+x﹣2的零點為a,函數g(x)=lnx+x﹣2的零點為b,∴y=ex與y=2﹣x的交點的橫坐標為a,y=lnx與y=2﹣x交點的橫坐標為b,由圖象知a<1<b,故選:A.4.下列函數中既是偶函數又在(﹣∞,0)上是增函數的是(
)A.y=x B.y=x C.y=x﹣2 D.y=x參考答案:C【考點】函數單調性的判斷與證明;函數奇偶性的判斷.【專題】計算題;函數的性質及應用.【分析】依次對選項中的函數判斷其奇偶性與單調性,注意函數的定義域及基本初等函數變形.【解答】解:y=x=是偶函數,在(﹣∞,0)上單調遞減;故A錯誤;y=x是奇函數,在(﹣∞,0)上單調遞增;故B錯誤;y=x﹣2是偶函數,在(﹣∞,0)上單調遞增;故C正確;y=x的定義域為(0,+∞),故D錯誤.故選C.【點評】本題考查了函數的奇偶性與單調性的判斷,屬于基礎題.5.下列函數中哪個與函數相同(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:A6.cos510°的值為(
)A. B.﹣ C.﹣ D.參考答案:C【考點】運用誘導公式化簡求值.【專題】三角函數的求值.【分析】直接利用誘導公式化簡求值即可.【解答】解:cos510°=cos(360°+150°)=cos150°=﹣cos30°=.故選:C.【點評】本題考查誘導公式的應用,三角函數的化簡求值,基本知識的考查.7.當a>1時,在同一坐標系中,函數y=ax與y=logax的圖象是()A. B. C. D.參考答案:B【考點】對數函數的圖象與性質.【專題】作圖題;函數思想;定義法;函數的性質及應用.【分析】根據底數與指數(對數)函數單調性即可判斷.【解答】解:a>1時,函數y=ax與y=logax的均為增函數,故選:B.【點評】本題考查的知識是對數函數的圖象與性質,指數函數的圖象與性質,熟練掌握底數與指數(對數)函數單調性的關系是解答本題的關鍵.8.
若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},則Cu(MUN)=
(
)
A.{4}
B.{2}
C.{1,3,4}
D.{1,2,3}參考答案:A9.當時,恒成立,則實數的取值范圍是(
).A.
B.
C.
D.參考答案:B略10.已知,則的大小關系為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若數列{an}的前n項和為,則通項公式為__________.參考答案:【分析】利用求解,但要注意驗證n=1時是否成立.【詳解】當n=1時,;又,【點睛】本題考查利用數列前n項和求數列通項公式,屬于基礎題目,解題中需要注意利用公式求解出的通項公式需要驗證n=1時,是否滿足題目條件.
12.直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸所圍成的三角形面積是.參考答案:5【分析】求出直線與坐標軸的交點,即可求解三角形的面積.【解答】解:直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸的交點坐標為(0,﹣2),(5,0),所以直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸所圍成的三角形面積是:=5.故答案為:5.13.已知,則以線段為直徑的圓的方程為
;參考答案:略14.若不等式恒成立,則的范圍__________.參考答案:見解析設.∴是關于遞增數列,∴,∴.15.已知log163=m,則用m表示log916=.參考答案:【考點】對數的運算性質.【分析】利用對數的性質、運算法則、換底公式直接求解.【解答】解:∵log163=m,∴log916===.故答案為:.【點評】本題考查對數式化簡求值,是基礎題,解題時要認真審題,注意對數的性質、運算法則、換底公式的合理運用.16.如圖是一正方體的表面展開圖.B、N、Q都是所在棱的中點.則在原正方體中:①MN與CD異面;②MN∥平面PQC;③平面MPQ⊥平面CQN;④EQ與平面AQB形成的線面角的正弦值是;⑤二面角的余弦值為.其中真命題的序號是______.參考答案:①②④【分析】將正方體的表面展開圖還原成正方體,利用正方體中線線、線面以及面面關系,以及直線與平面所成角的定義和二面角的定義進行判斷.【詳解】根據條件將正方體進行還原如下圖所示:對于命題①,由圖形可知,直線與異面,命題①正確;對于命題②,、分別為所在棱的中點,易證四邊形為平行四邊形,所以,,平面,平面,平面,命題②正確;對于命題③,在正方體中,平面,由于四邊形為平行四邊形,,平面.、平面,,.則二面角所成的角為,顯然不是直角,則平面與平面不垂直,命題③錯誤;對于命題④,設正方體的棱長為2,易知平面,則與平面所成的角為,由勾股定理可得,,在中,,即直線與平面所成線面角的正弦值為,命題④正確;對于命題⑤,在正方體中,平面,且,平面.、平面,,,所以,二面角的平面角為,在中,由勾股定理得,,由余弦定理得,命題⑤錯誤.故答案為:①②④.【點睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面關系的判斷以及線面角、二面角的計算,判斷時要從空間中有關線線、線面、面面關系的平行或垂直的判定或性質定理出發進行推導,在計算空間角時,則應利用空間角的定義來求解,考查推理能力與運算求解能力,屬于中等題.17.已知a+a﹣1=3,則a+a=.參考答案:【考點】有理數指數冪的化簡求值.【分析】利用a+a=,即可得出.【解答】解:∵a>0,∴a+a==.故答案為:.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知函數f(x)=(sinx+cosx)2﹣2.(1)當x∈[0,]時,求函數f(x)的單調遞增區間;(2)若x∈[﹣,],求函數g(x)=f2(x)﹣f(x+)﹣1的值域.參考答案:【考點】三角函數中的恒等變換應用;正弦函數的圖象.【專題】三角函數的圖像與性質.【分析】(1)首先,結合輔助角公式,化簡函數解析式,然后,利用降冪公式進行處理即可,然后,結合正弦函數的單調性和周期進行求解;(2)首先,化簡函數g(x)的解析式,然后,結合所給角度的范圍,換元法進行轉化為二次函數的區間最值問題進行求解即可.【解答】解:(1)函數f(x)=(sinx+cosx)2﹣2.=[2sin(x+)]2﹣2=4sin2(x+)﹣2=2[1﹣cos(2x+)]﹣2=﹣2cos(2x+),∴f(x)=﹣2cos(2x+),可以令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,∴kπ﹣≤x≤+kπ,∵x∈[0,],∴函數f(x)的單調遞增區間[0,].(2)g(x)=f2(x)﹣f(x+)﹣1=×4cos2(2x+)+2cos[2(x+)+]﹣1=2cos2(2x+)+2cos(2x++)﹣1=2cos2(2x+)﹣2sin(2x+)﹣1=2﹣2sin2(2x+)﹣2sin(2x+)﹣1=﹣2sin2(2x+)﹣2sin(2x+)+1∴g(x)=﹣2sin2(2x+)﹣2sin(2x+)+1令sin(2x+)=t,∵x∈[﹣,],∴﹣≤2x≤,∴≤2x+≤,∴sin(2x+)∈[﹣,1],∴t∈[﹣,1],∴y=﹣2t2﹣2t+1,t∈[﹣,1],=﹣2(t+)2+1+=﹣2(t+)2+,∴最大值為,最小值為﹣3.∴值域為[﹣3,].【點評】本題重點考查了三角公式、輔助角公式、降冪公式、兩角和與差的三角公式等知識,屬于中檔題.19.已知函數.(1)求證:f(x)是R上的奇函數;(2)求的值;(3)求證:f(x)在[-1,1]上單調遞增,在[1,+∞)上單調遞減;(4)求f(x)在[-1,+∞)上的最大值和最小值;(5)直接寫出一個正整數n,滿足.參考答案:(1)證明見解析;(2)0;(3)證明見解析;(4)最大值,最小值;(5)答案不唯一,具體見解析.【分析】(1)利用奇偶性的定義證明即可;(2)代值計算即可得出的值;(3)任取,作差,通分、因式分解后分和兩種情況討論的符號,即可證明出結論;(4)利用(3)中的結論可求出函數在區間上的最大值和最小值;(5)可取滿足的任何一個整數,利用函數的單調性和不等式的性質可推導出成立.【詳解】(1)函數的定義域為,定義域關于原點對稱,且,因此,函數是上的奇函數;(2);(3)任取,.當時,,,,則;當時,,,,則.因此,函數在上單調遞增,在上單調遞減;(4)由于函數在上單調遞增,在上單調遞減,當時,函數取最大值,即;當時,,所以,當時,函數取最小值,即.綜上所述,函數在上的最大值為,最小值為;(5)由于函數在上單調遞減,當時,,所以,滿足任何一個整數均滿足不等式.可取,滿足條件.【點睛】本題考查函數的奇偶性、單調性的證明、利用單調性求最值,同時也考查了函數值的計算以及函數不等式問題,考查分析問題和解決問題能力,屬于中等題.20.求值:(1)(2)sin45°cos15°﹣cos45°sin15°.參考答案:【考點】兩角和與差的余弦函數;根式與分數指數冪的互化及其化簡運算.【專題】計算題;函數思想;數學模型法;三角函數的圖像與性質.【分析】(1)化根式為分數指數冪,然后結合對數的運算性質化簡求值;(2)直接利用兩角差的正弦得答案.【解答】解:(1)==9﹣25+9+2=﹣5;(2)sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin(45°﹣15°)=sin30°=.【點評】本題考查根式與分數指數冪的互化及化簡運算,考查了兩角和與差的正弦,是基礎的計算題.21.設函數(且)是定義域為R的奇函數.(1)求k的值;(2)若,不等式對恒成立,求實數t的最小值.參考答案:解:(1)是定義在上的奇函數,對于任意的實數恒成立,即對于任意的實數恒成立,.(2)由(1)知,因為,所以,解得或(舍去),故任取且,則由指數函數的單調性知,故函數是上的減函數,由函數為奇函數且單調遞減,知,即在上恒成立則,即實數的最小值是2.22.已知函數f(x)=loga(1+x)﹣loga(1﹣x)(a>0且a≠1).(Ⅰ)若y=f(x)的圖象經過點(,2),求實數a的值;(Ⅱ)若f(x)>0,求x的取值范圍.參考答案:【考點】指、對數不等式的解法.【分析】(Ⅰ)根據函數f(x)的圖象過點,代入點
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