廣東省中山市南頭高級中學2023年高三數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知i是虛數單位，復數的虛部為（）A、－2B、2C、－2iD、2i參考答案：B

，所以虛部為2。2.已知實數x，y滿足，若z=3x﹣y的最大值為3，則實數k的值為（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，根據z的幾何意義，利用數形結合即可得到a的值．【解答】解：不等式組，對應的平面區域如圖：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直線y=3x﹣z，則由圖象可知當直線y=3x﹣z經過點A時直線y=3x﹣z的截距最小，此時z最大，為3x﹣y=3．，解得，即A（1，0），此時點A在x=k，解得k=1，故選：B．3.拋物線y2=8x的焦點坐標是(

)A．（4，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，4）參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】由拋物線y2=8x可得：p=4．即可得出焦點坐標．【解答】解：由拋物線y2=8x可得：p=4．∴=2，∴拋物線y2=8x的焦點坐標是（2，0）．故選：B．【點評】本題考查了拋物線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．4.已知奇函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調遞增函數，則滿足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，） B．[，） C．（，） D．[，）參考答案：A考點： 奇偶性與單調性的綜合．專題： 計算題；函數的性質及應用．分析： 由奇函數的性質可知，f（x）在區間（﹣∞，+∞）上是單調遞增函數，從而可求得f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范圍．解答： 解：令x1＜x2＜0，則﹣x1＞﹣x2＞0，∵奇函數f（x）在區間[0，+∞）上是單調遞增函數，∴f（﹣x1）＞f（﹣x2）＞f（0）=0，∵f（x）為奇函數，∴﹣f（x1）＞﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＜f（x2）＜0，∴f（x）在區間（﹣∞，+∞）上是單調遞增函數；∵f（2x﹣1）＜f（），∴2x﹣1＜，∴x＜．∴滿足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范圍是（﹣∞，）．故選A．點評： 本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，分析得到f（x）在區間（﹣∞，+∞）上是單調遞增函數是關鍵，屬于中檔題5.已知函數，為了得到函數的圖象，只需要將的圖象(

)A.向右平移個單位長度

B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度

D.向左平移個單位長度參考答案：【知識點】函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．C4D

解析：由于函數=sin2x，函數g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故將y=f（x）的圖象向左平移個單位長度，即可得到g（x）的圖象，故選D．【思路點撥】利用二倍角公式、兩角和差的正弦公式化簡函數f（x）和g（x）的解析式，再根據函數y=Asin（ωx+?）的圖象變換規律，得出結論．6.在一個數列中，如果對任意,都有為常數，那么這個數列叫做等積數列，叫做這個數列的公積.已知數列是等積數列，且，公積為，則A．

B．

C．

D．參考答案：B7.cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數．【分析】由誘導公式，兩角和的正弦函數公式化簡所求，利用特殊角的三角函數值即可計算得解．【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40°=cos70°sin50°+cos20°sin40°=cos70°sin50°+sin70°cos50°=sin（50°+70°）=sin120°=．故選：D．8.已知平面向量滿足，的夾角為60°，則“m=1”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C略9.tan705°＝A.

B.

C.

D.參考答案：B10.已知函數，則的圖象大致為（

）參考答案：B考點：1、函數圖象；2、對數函數的性質.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線過曲線的對稱中心，則的最小值為

參考答案：略12..動點在區域上運動，則的范圍

。參考答案：略13.（2014?嘉定區三模）若實數x，y滿足如果目標函數z=x﹣y的最小值為﹣1，則實數m=．參考答案：考點： 簡單線性規劃．專題： 計算題．分析： 畫出不等式組表示的平面區域，根據目標函數的解析式形式，分析取得最優解的點的坐標，然后根據分析列出一個含參數m的方程組，消參后即可得到m的取值解答： 解：畫出x，y滿足的可行域如下圖：可得直線y=2x﹣1與直線x+y=m的交點使目標函數z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案為：5點評： 如果約束條件中含有參數，先畫出不含參數的幾個不等式對應的平面區域，分析取得最優解是哪兩條直線的交點，然后得到一個含有參數的方程（組），代入另一條直線方程，消去x，y后，即可求出參數的值．14.已知函數的兩個零點分別為m、n（m＜n），則=．參考答案：【考點】定積分；函數零點的判定定理．【分析】先求出m，n，再利用幾何意義求出定積分．【解答】解：∵函數的兩個零點分別為m、n（m＜n），∴m=﹣1，n=1，∴===．故答案為．15.已知點是的重心，若則的最小值_____參考答案：16.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則這它們面積的比為1：4，類似的，在空間中，若兩個正四面體（各棱長均相等的四面體）的棱長的比為1：2，則他們的體積的比為________________參考答案：1:817.如圖所示，某城鎮由6條東西方向的街道和6條南北方向的街道組成，其中有一個池塘，街道在此變成一個菱形的環池大道．現要從城鎮的A處走到B處，使所走的路程最短，最多可以有

種不同的走法．參考答案：答案：35三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分7分）如圖，平面，矩形的邊長，，為的中點．若，求異面直線與所成的角的大小．

參考答案：（1）連，由，得，同理，，由勾股定理逆定理得，．由平面，得.由，，得平面．．取的中點，的中點，連、、、．，，的大小等于異面直線與所成的角或其補角的大小．由，，，得，，，．異面直線與所成的角的大小為．19.在三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1B1B是邊長為2的正方形，點C在平面AA1B1B上的射影H恰好為A1B的中點，且CH=，設D為中點，（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．參考答案：解：（Ⅰ）因為且正方形中，所以，取中點，則且，又為的中點，所以，得平行四邊形HEDC，因此，又，得，，所以平面

………………6分（Ⅱ）取中點，連，作于因為，，所以平面平面，由（Ⅰ）得平面，所以平面，又，所以，又，得

平面，所以與平面所成角為

……………10分在中，，在中，由于，…………14分另解：（向量法）（Ⅰ）如圖，以H為原點，建立空間直角坐標系，則C（0，0，），C1（），A1（），B1（0，，0），所以，，因此平面；………………6分（Ⅱ）設平面的法向量，由于則，得，所以

……10分又，所以……14分略20.已知數列滿足對任意的N*，都有，且.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，不等式對任意的正整數恒成立，求實數的取值范圍．

參考答案：（1）由于————①則有————②，②－①得由于，所以————③同樣有()————④③－④，得，所以由于a2－a1＝1，即當時都有所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，故．（2）由（2）知，則所以∵∴數列單調遞增，所以要使不等式對任意正整數恒成立，只要∵，∴，即所以，實數的取值范圍是．略21.已知不等式的解集為{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式bc<0.參考答案：解:(1)因為不等式的解集為{x|x<1或x>b},所以x=1與x=b是方程3x+2=0的兩個實數根,且b>1.由根與系數的關系,得

解得

所以

(2)原不等式bc<0,可化為2c<0,即(x-2)(x-c)<0.①當c>2時,不等式(x-2)(x-c)<0的解集為{x|2<x<c};②當c<2時,不等式(x-2)(x-c)<0的解集為{x|c<x<2};③當c=2時,不等式(x-2)(x-c)<0的解集為.綜上所述:當c>2時,不等式bc<0的解集為{x|2<x<c};當c<2時,不等式bc<0的解集為{x|c<x<2};當c=2時,不等式bc<0的解集為.22.橢圓+=1（a＞b＞0）在第一象限的部分與過點A（2，0）、B（0，1）的直線相切于點T，且橢圓的離心率e=．（Ⅰ）求橢圓的方程；（2）設F1，F2為橢圓的左，右焦點，M為線段AF2的中點，求證：∠ATM=∠AF1T．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（I）利用橢圓的標準及其性質、直線與橢圓相切?△=0，即可得出；（2）由（I）可得：T，利用斜率計算公式可得：==tan∠AF1T．由M為線段AF2的中點，可得M，又kTM=，利用到角公式可得tan∠ATM==，即可證明．解答： 解：（I）∵橢圓的離心率e=，∴，∴=，∴a2=b2+c2=4b2，橢圓+=1（a＞b＞0）化為x2+4y2=4b2．直線AB的方程為：，化為x+2y=2，聯立，化為x2﹣2x+2﹣2b2=0，∵直線與橢圓相切，∴△=4﹣4（2﹣2b2）=0，解得