三角函數的圖象和性質教學內容及其解析（一）教學內容正弦、余弦、正切函數的圖象及其主要性質（包括周期性、奇偶性、單調性、最值或值域）．余弦函數圖像正弦函數圖像正、與弦函數性質余弦函數圖像正弦函數圖像正、與弦函數性質單位圓問位嗯嗯嗯圓單位圓問位嗯嗯嗯圓應用應用正切函數的性質與圖像三角函數定義正切函數的性質與圖像三角函數定義（二）內容解析1.內容本質：根據研究函數的經驗，得到函數的定義之后，接著要研究函數的圖象與性質。正弦、余弦函數圖像是正弦函數定義的幾何意義和誘導公式的應用。正切函數的性質和圖像是對前面已學函數以及三角函數知識的深化應用，是數形結合思想方法的具體體現，拓展了對函數性質的研究思路。對于圖象與性質的研究，一般有兩種思路：一是根據定義畫出函數的圖象，利用圖象直觀研究函數的性質；二是從定義為出發，先研究函數的部分性質，再結合定義和這些性質研究函數的圖象，然后借助圖象進一步獲得函數的其他性質．其中正弦函數采用了第一種研究思路，正切函數采用了第二種研究思路，對于余弦函數，則是根據正弦函數與余弦函數的關系，由正弦函數的圖象通過平移就得到了余弦函數的圖象，然后再研究其性質．了解這些思路可以更有效地研究函數的圖象與性質，全面深入地理解數形結合的思想．三角函數不以“代數運算”為媒介，是幾何量（角與有向線段）之間的直接對應，并且通過研究可以發現：在正弦函數的圖象上，除了原點之外，很少再能找到橫、縱坐標均為有理數的點，因此，要想精確作出正弦函數的圖象，就必須回歸正弦函數定義．利用單位圓作正弦函數圖象時，關鍵是理解如何作出圖象上任意一點．明確作圖的原理，理解函數圖象整體的構成原理．掌握了任意一點的作法原理后，通過選擇具體的、足夠多的點進行描點，是從感性認識的累積飛躍到理性認識不可缺少的步驟．對于正切函數的圖象，仍然延用正弦曲線的作圖方法，但由于一個角的正切值是這個角的終邊與單位圓交點的坐標比值，難以直接利用正切值來作圖，不過可以通過三角形相似，將這種坐標比值轉化為一條線段，這樣又可以類比正弦曲線得到正切曲線了，因此，這里運用了轉化思想．學生對函數性質的研究已有比較豐富的經驗，借助對圖象特征的觀察獲取函數的性質是一個基本方法．在三角函數的性質中，周期性是最特別和重要的，只要認識一個周期上函數的性質，那么整個定義域上函數的性質就完全清楚了，因此，將周期性的研究應該放在首位．奇偶性也可起到簡化研究函數性質的作用，同時周期性和奇偶性的綜合可以加深對正弦曲線和余弦曲線的對稱性的認識，因此可以首先研究這兩個性質．單調性是函數的重要性質，利用三角函數的周期性，可以先從一個周期入手研究它的單調性．函數的最值是利用單調性推出的一個自然結果．當然，上述所有性質也可以借助單位圓進行直觀想象而得到，這種多角度的聯系有助于對知識的理解和掌握．2.蘊含的思想方法：數形結合、轉化與化歸、從特殊到一般的數學思想。函數的圖象與性質的研究中體現了數形結合思想，例如單調性是通過圖象得來的，而奇偶性，周期性是通過誘導公式得來的，在繪制三角函數的圖象時借助了函數的奇偶性，周期性；研究三角函數的圖象時通常是先研究其在一個周期內的圖象與性質，再拓展到整個定義域，體現特殊到一般的思想；余弦函數的圖象通過誘導公式將其轉化為由正弦函數圖象平移得到，體現轉化與化歸的思想。3.知識的上下位關系：函數是三角函數的上位知識，三角函數的研究基本遵從函數圖像與性質的研究思路，類比指數函數、對數函數展開研究，同時為后續學習奠定基礎。4.育人價值：探究三角函數圖象與性質的過程，既需要函數周期性和奇偶性的代數推理，也需要對圖形的直觀想象，其中蘊含了數形結合的思想，有利于學生邏輯推理素養和直觀想象素養的發展，可以幫助學生學會用數學的眼光來觀察、數學的思維來思考，是提升學生的直觀想象、邏輯推理等核心素養很好的載體。5.教學重點：正弦、余弦、正切函數的圖象及其主要性質（包括周期性、奇偶性、單調性、最值或值域）；研究函數圖象與性質的一般思路和方法．二、目標及其解析單元目標1.借助單位圓能畫出三角函數的圖象，了解三角函數的周期性、奇偶性、最大（?。┲?；2.借助圖象理解正弦函數、余弦函數在上、正切函數在上的性質．（二）目標解析達成上述目標的標志是：（1）可以根據正弦的定義，借助于單位圓，在直角坐標系中作出圖象上任意一點，并且能利用這一點的作圖原理畫出整個圖象；能利用正弦函數與余弦函數解析式的關系，得出其圖象之間的關系，通過平移正弦曲線得到余弦曲線；能通過幾何作圖與代數運算兩個角度得出三角函數的周期性與奇偶性；能根據圖象得到正、余弦函數的最值；會畫一些簡單三角函數的圖象并會求其簡單的性質。對于正切函數，能轉換研究思路，先從代數的角度研究其周期性、奇偶性，縮小畫圖的范圍。然后類比正弦函數圖象上任意一點的畫法，畫出正切函數的圖象，并繼續研究其他性質。（2）觀察正弦、余弦、正切曲線的圖象，可以說出它們在相應一個周期上的單調性、最大最小值、對稱性、零點等性質，并能利用這些性質解決相關的問題。三、教學問題診斷分析問題1對于正弦函數，如何根據其定義準確地繪制出函數圖象上任意一個點？破解辦法：給定任意一個橫坐標x0，如何找到對應的縱坐標sinx0？結合圖1，弧AB＝x0·1＝x0．找到了橫坐標與弧長的關系，接下來就是如何操作了．可以利用學生之前在測量中的經驗，即找一根沒有彈性的細線，先將其端點與坐標原點重合，并將細線與x軸貼合，量出到x0的長度，標記上終點．然后再將細線的起點與點A重合，通過逆時針繞讓細線與單位圓貼合，其終點的位置就是點B．點B的縱坐標就是函數圖象上點T（x0，sinx0）的縱坐標，再將之平移至x0處，就得到了點T（x0，sinx0）．問題2周期性這個概念學生之前從來都沒有碰到過，在這一單元，不僅要求學生結合三角函數了解周期性，還要抽象出定義并利用新定義解決新函數的問題。破解的方法：利用數形結合的思想方法突破．在一開始學習任意角時研究了角的關系，得到同角三角函數關系，后來又利用定義得到誘導公式一，已經直觀地感受到了周期性，目前的困難是怎樣將之符號化．為此類比函數單調性、奇偶性的研究進行引導．先將直觀想象微觀化，即“周而復始”這是宏觀的規律，具體到函數圖像上就是橫坐標每增加2π，函數值重復出現．再將之符號化即可．在應用它求函數y=Asin（ωx+φ）周期時，要利用換元的方法將復雜問題轉化為基本問題求解，但對于它的周期的具體意義的理解需要到下一單元學習了函數y=Asin（ωx+φ）之后才能達成。教學難點：正弦函數的作圖；