5.3.2誘導公式的應用（第2課時）（一）教學內容誘導公式五、六（±α的正弦、余弦和正切）．（二）教學目標1、從三角函數的定義出發，借助單位圓的對稱性，能推導±α的正弦、余弦和正切，發展直觀想象、邏輯推理素養．2、通過分析公式五、公式六之間的關系，以及公式一~公式六之間的聯系，形成誘導公式的整體架構，能利用誘導公式進行三角函數式的化簡、求值與證明，發展數學運算的素養．（三）教學重點及難點：1、重點誘導公式五、六的探究．2、難點終邊關于對稱的兩個角之間的關系．（四）教學過程設計問題1：上一節課，我們研究了公式二~公式四，你能說說我們是如何得到這些公式的嗎？師生活動：學生發言回顧公式二~公式四的研究方法、研究路徑，教師適時補充完善．追問：兩個角的終邊除了關于原點、x軸和y軸對稱外，你認為還有哪些對稱關系值得研究？你打算怎樣研究？師生活動：上節課已經埋下伏筆，學生交流后確定值得研究的問題：兩個角的終邊關于對稱時，這兩個角的三角函數之間的關系，研究方法與前面類似．設計意圖：通過回顧公式二~公式四的研究內容、研究路徑，為研究公式五、六做好思想方法的準備，通過追問，引導學生發現和提出值得研究的問題，培養發現和提出問題的能力．問題2：你能類比公式二~公式四的研究過程，探究終邊關于直線對稱的兩個角的三角函數的關系嗎？師生活動：學生類比公式二~公式四的研究過程畫圖獨立思考嘗試：在直角坐標系內，設任意角α的終邊與單位圓交于點P1，作P1關于直線的對稱點P5（1）以OP5為終邊的角為與角α有什么關系？（2）角與角α的三角函數值之間有什么關系？這里作P1關于直線y=x的對稱點P5，確定以OP5為終邊的角時，學生可能只畫一種情況（如圖一），以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即．因此，只要探究角與的三角函數值之間的關系即可．追問1：提醒學生可以畫終邊在不同象限（或坐標軸上）的角（如圖二），觀察是否仍然成立？圖一圖二圖三師生活動：這里可以采用驗證的方法：先將與x軸非負半軸重合的射線繞原點旋轉，旋轉方向與角的方向相反，大小與相等，得到角的終邊，再將逆時針旋轉到，可以發現與OP1關于直線y=x對稱．因此，與角終邊關于直線y=x對稱的角始終有的關系．追問2：角的關系已經有了，那直角坐標系中關于直線y=x對稱的兩個點P1與P5的坐標之間有什么關系呢？師生活動：學生分小組討論，可以就圖一先猜想點P1（x1，y1）與點P5（x5，y5）關于y=x對稱，那么有x5=y1，y5=x1．引導學生利用全等知識對圖一進行證明：如圖三，作P1關于y軸的垂線，P5關于x軸的垂線，由于P1與P5關于y=x對稱，我們可以證明圖中的兩個三角形全等，因此對應邊相等，將長度轉化為坐標關系，就有x5=y1，y5=x1．對于終邊的其他的不同位置，同學們課后可以去證明它們的坐標依然有這種等量關系.追問3：最后角與角的三角函數值有什么關系？師生活動：學生獨立思考寫出誘導公式五.公式五：.設計意圖：此處與第一課時的公式二的研究方法相同，不同之處在于對稱軸變為直線，增加了推導的難度．將難點細化為問題串，引導學生逐個擊破，經歷推導公式的過程，培養學生轉化與化歸的思想，提升直觀想象與邏輯推理素養．問題3：作關于y軸的對稱點，又能得到什么結論？（1）以為終邊的角與角有什么關系？（2）角的終邊與角的終邊具有怎樣的關系？（3）與的坐標之間有什么關系？與P1的坐標之間又有什么關系呢？（4）角與角的三角函數值之間又有什么關系？師生活動：給出問題后，學生先類比問題2的解決方法獨立思考，然后交流，教師適時補充完善．（1）以為終邊的角都是與角終邊相同的角，即．只要探究角與的三角函數值之間的關系即可．（2）軸對稱角度：角的終邊首先關于直線作對稱，再關于y軸作對稱，就得到的終邊．旋轉角度：角的終邊逆時針旋轉角，就得到角的終邊．（3）通過觀察易得：；．（4），（公式六）．追問：你能不能從代數變換角度，利用已有公式直接推出公式六？師生活動：學生獨立思考得出：；設計意圖：基于公式五的背景增加新的研究條件，提出問題，有利于培養學生發現與提出問題的能力．這里的重點是利用前面的學習經驗，通過適當的幾何變換、坐標變換，得出角與角的關系，以及點與、P1的坐標之間的關系，讓學生進一步熟悉研究的一般方法．通過追問，引導學生用不同的方法推導公式，從不同的角度認識公式，建立公式之間更緊密的聯系，提升對誘導公式整體性的認識，為靈活運用公式解決問題打下基礎．提升直觀想象、邏輯推理素養．問題四：例1證明：（1）；（2）.師生活動：學生類比上一個問題的解決方法自行完成：證明：（1）（2）追問1：觀察題目，發現題目的特征，并總結解決此類問題的思想方法．師生活動：學生思考、總結：題目中的所求角與誘導公式中的角有著特殊的關系，可以將所求角轉化為公式中我們熟悉的角，進而利用誘導公式解決問題．例2化簡師生活動：學生選擇合適的公式自行完成：解：原式．追問2：總結解決此類問題的思想方法．師生活動：學生思考、總結：與第一課時利用誘導公式化簡的方法一致，選擇合適的公式，按照“負化正，大化小，化到銳角為終了”的步驟進行化簡．例3已知，且，求的值．師生活動：學生自行完成可能有困難，教師給予適當的引導：追問3：題目中已知為，所求為，它們中的兩個角有關系嗎？師生活動：學生發現，由此可轉化為，就可以使用誘導公式解決問題了．解：因為，所以由誘導公式五，得因為，所以．由，得．所以，所以．追問4：總結解決此類問題的思想方法．師生活動：學生思考、總結：此類問題的解題關鍵是：發現所求角與已知角之間的特殊關系，將所求角用已知角表示，進而運用誘導公式解決問題．設計意圖：三道例題，分別是證明、化簡、求值．在三道例題的求解過程中，都要注意數學運算素養的培養．例1例2較為簡單，重點放在恰當的選擇公式上．例3的難點在于學生觀察不到已知和所求中兩個角的特殊關系，所以本例的重點是引導學生觀察角之間的特殊關系上，意圖滲透轉化與化歸的數學思想，最終形成解決一類問題的思維方法，滲透算法思想．問題5：回憶本節課的學習內容，回答下面的問題：探索誘導公式，我們經歷了怎樣的過程？用了哪些數學思想方法？公式一~公式六有怎樣的結構？一般可以按怎樣的順序運用這些公式？誘導公式數量很多，你覺得用什么方法可以達到不僅有效記憶，而且能靈活運用的效果？師生活動：學生思考后進行交流，教師教師在學生回答的基礎上進行適當歸納．誘導公式的探究過程可以歸結為：單位圓的對稱性→角與角的關系→對稱點的坐標間的關系→三角函數值之間的關系．探究誘導公式的過程，使用了非常豐富的數學思想方法，如對稱變換（包括中心對稱，軸對稱），坐標變換，數形結合的思想，轉化與化歸的思想，算法思想等．從變換的觀點出發，公式一~公式六的結構可以這樣來看：公式一~公式四是同名三角函數之間的變換，公式五、公式六是正弦函數與余弦函數之間的變換．誘導公式的運用順序：是以將角的范圍變到為目的，具體順序為“負化正，大化小，化到銳角為終了”．公式的記憶建立在理解的基礎上，要強調以單位圓為載體，數形結合地進行記憶．設計意圖：從誘導公式所研究的問題、過程、方法和公式的整體架構以及涉及到的數學思想等角度進行梳理，并注意從不同視角進行分析和總結，從而達成對公式的結構化認識．目標檢測設計1、用誘導公式求下列三角函數值．（1）；（2）；