2023學年青海師大二附中高一（上）第一次月考數學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共計60分）1．下列命題正確的是（）A．很小的實數可以構成集合B．集合{y|y=x2﹣1}與集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一個集合C．自然數集N中最小的數是1D．空集是任何集合的子集2．函數f（x）=﹣的定義域是（）A． B． C． D．3．已知M={x|y=x2﹣1}，N={y|y=x2﹣1}，M∩N等于（）A．N B．M C．R D．?4．下列給出函數f（x）與g（x）的各組中，是同一個關于x的函數的是（）A．f（x）=x﹣1，g（x）= B．f（x）=2x﹣1，g（x）=2x+1C．f（x）=x2，g（x）= D．f（x）=1，g（x）=x05．已知函數f（x）=ax5﹣bx3+cx﹣3，f（﹣3）=7，則f（3）的值為（）A．13 B．﹣13 C．7 D．﹣76．若函數y=x2+（2a﹣1）x+1在區間（﹣∞，2]上是減函數，則實數a的取值范圍是（）A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞） D．（﹣∞，]7．在函數y=中，若f（x）=1，則x的值是（）A．1 B．1或 C．±1 D．8．設I是全集，集合M，N，P都是其子集，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A．M∩（P∩?IN） B．M∩（N∩?IP） C．M∩（?IN∩?IM） D．（M∩N）∪（M∩P）9．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，則f（x+1）=（）A．x2+8x+7 B．x2+6x C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣1010．已知函數f（x）=的定義域是一切實數，則m的取值范圍是（）A．0＜m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤411．已知函數f（x）是R上的增函數，A（0，﹣2），B（3，2）是其圖象上的兩點，那么|f（x+1）|＜2的解集是（）A．（1，4） B．（﹣1，2） C．（﹣∞，1）∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）12．若函數f（x），g（x）分別是R上的奇函數、偶函數，且滿足f（x）﹣g（x）=2x，則有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0） B．g（0）＜f（3）＜f（2） C．f（2）＜g（0）＜f（3） D．g（0）＜f（2）＜f（3）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分）13．若集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={x|ax﹣1=0}，且N?M，則實數a的值為．14．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x，則當x＜0時，f（x）=．15．含有三個實數的集合既可表示成，又可表示成{a2，a+b，0}，則a2023+b2023=．16．設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）?f（x+2）=13，若f（1）=2，則f求A∪B；（?RA）∩B；（2）若A∩C≠?，求a的取值范圍．18．已知定義在（﹣1，1）上的函數f（x）是減函數，且f（a﹣1）＞f（2a），求a的取值范圍．19．已知函數f（x）=x2+ax+b，且對任意的實數x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立．（Ⅰ）求實數a的值；（Ⅱ）利用單調性的定義證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．20．已知奇函數，（1）求實數m的值（2）做y=f（x）的圖象（不必寫過程）（3）若函數f（x）在區間[﹣1，a﹣2]上單調遞增，求a的取值范圍．21．是否存在實數a，使函數f（x）=x2﹣2ax+a的定義域為[﹣1，1]時，值域為[﹣2，2]？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．22．已知：函數f（x）對一切實數x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知a∈R，設P：當時，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：當x∈[﹣2，2]時，g（x）=f（x）﹣ax是單調函數．如果滿足P成立的a的集合記為A，滿足Q成立的a的集合記為B，求A∩?RB（R為全集）．

2023學年青海師大二附中高一（上）第一次月考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共計60分）1．下列命題正確的是（）A．很小的實數可以構成集合B．集合{y|y=x2﹣1}與集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一個集合C．自然數集N中最小的數是1D．空集是任何集合的子集【考點】集合的含義；子集與真子集．【分析】根據集合的確定性可知判定選項A，根據點集與數集的區別進行判定選項B，根據自然數的概念進行判定選項C，根據空集是任何集合的子集進行判定選項D即可．【解答】解：選項A，很小的實數可以構成集合中很小不確定，故不正確選項B，集合{y|y=x2﹣1}是數集，集合{（x，y）|y=x2﹣1}是點集，不是同一個集合，故不正確選項C，自然數集N中最小的數是0，故不正確，選項D，空集是任何集合的子集，故正確，故選D．2．函數f（x）=﹣的定義域是（）A． B． C． D．【考點】函數的定義域及其求法．【分析】函數式由兩部分構成，且每一部分都是分式，分母又含有根式，求解時既保證分式有意義，還要保證根式有意義．【解答】解：要使原函數有意義，需解得，所以函數的定義域為．故選C．3．已知M={x|y=x2﹣1}，N={y|y=x2﹣1}，M∩N等于（）A．N B．M C．R D．?【考點】交集及其運算．【分析】首先化簡集合M和N，然后根據交集的定義得出答案．【解答】解：∵M={x|y=x2﹣1}={x|x∈R}，N={y|y=x2﹣1}={y|y≥﹣1}，∴M∩N={y|y≥﹣1}=N故選：A．4．下列給出函數f（x）與g（x）的各組中，是同一個關于x的函數的是（）A．f（x）=x﹣1，g（x）= B．f（x）=2x﹣1，g（x）=2x+1C．f（x）=x2，g（x）= D．f（x）=1，g（x）=x0【考點】判斷兩個函數是否為同一函數．【分析】分別判斷兩個函數的定義域和對應法則是否完全相同即可．【解答】解：A．函數g（x）的定義域為{x|x≠0}，兩個函數的定義域不相同，不是同一函數．B．函數f（x）和g（x）的定義域為R，兩個函數的定義域相同，但對應法則不相同，不是同一函數．C．函數g（x）=x2，兩個函數的定義域相同，對應法則相同，是同一函數．D．函數g（x）的定義域為{x|x≠0}，兩個函數的定義域不相同，不是同一函數．故選C．5．已知函數f（x）=ax5﹣bx3+cx﹣3，f（﹣3）=7，則f（3）的值為（）A．13 B．﹣13 C．7 D．﹣7【考點】函數的值；奇函數．【分析】令g（x）=ax5﹣bx3+cx，則g（﹣3）=10，又g（x）為奇函數，故有g（3）=﹣10，故f（3）=g（3）﹣3．【解答】解：∵函數f（x）=ax5﹣bx3+cx﹣3，f（﹣3）=7，令g（x）=ax5﹣bx3+cx，則g（﹣3）=10，又g（x）為奇函數，∴g（3）=﹣10，故f（3）=g（3）﹣3=﹣13，故選B．6．若函數y=x2+（2a﹣1）x+1在區間（﹣∞，2]上是減函數，則實數a的取值范圍是（）A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞） D．（﹣∞，]【考點】函數單調性的性質．【分析】由已知中函數的解析式，結合二次函數的圖象和性質，可以判斷出函數y=x2+（2a﹣1）x+1圖象的形狀，分析區間端點與函數圖象對稱軸的關鍵，即可得到答案．【解答】解：∵函數y=x2+（2a﹣1）x+1的圖象是方向朝上，以直線x=為對稱軸的拋物線又∵函數在區間（﹣∞，2]上是減函數，故2≤解得a≤﹣故選B．7．在函數y=中，若f（x）=1，則x的值是（）A．1 B．1或 C．±1 D．【考點】函數的值．【分析】利用函數的性質求解．【解答】解：∵函數y=中，f（x）=1，∴當x≤﹣1時，x+2=1，解得x=﹣1；當﹣1＜x＜2時，x2=1，解得x=1或x=﹣1（舍）；當x≥2時，2x=1，解得x=（舍）．綜上得x=±1故選：C．8．設I是全集，集合M，N，P都是其子集，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A．M∩（P∩?IN） B．M∩（N∩?IP） C．M∩（?IN∩?IM） D．（M∩N）∪（M∩P）【考點】Venn圖表達集合的關系及運算．【分析】觀察Venn圖，得出圖中的陰影部分表示的集合即可．【解答】解：觀察圖形得：圖中的陰影部分表示的集合為M∩（N∩?IP），故選：B．9．已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，則f（x+1）=（）A．x2+8x+7 B．x2+6x C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣10【考點】函數解析式的求解及常用方法．【分析】由已知中f（x﹣1）=x2+4x﹣5，我們利用換元法（或湊配法）可以求出f（x）的解析式，進而再由代入法可以求出f（x+1）的解析式．【解答】解：∵f（x﹣1）=x2+4x﹣5，∴f（x）=x2+6x，∴f（x+1）=x2+8x+7故選A10．已知函數f（x）=的定義域是一切實數，則m的取值范圍是（）A．0＜m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤4【考點】函數恒成立問題；函數的定義域及其求法．【分析】根據函數的定義域是全體實數，得到mx2+mx+1≥0恒成立，即可得到結論．【解答】解：若函數f（x）=的定義域是一切實數，則等價為mx2+mx+1≥0恒成立，若m=0，則不等式等價為1≥0，滿足條件，若m≠0，則滿足，即，解得0＜m≤4，綜上0≤m≤4，故選：D11．已知函數f（x）是R上的增函數，A（0，﹣2），B（3，2）是其圖象上的兩點，那么|f（x+1）|＜2的解集是（）A．（1，4） B．（﹣1，2） C．（﹣∞，1）∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）【考點】函數單調性的性質．【分析】因為A（0，﹣2），B（3，2）是函數f（x）圖象上的兩點，可知f（0）=﹣2，f（3）=2，所以不等式|f（x+1）|＜2可以變形為﹣2＜f（x+1）＜2，即f（0）＜f（x+1）＜f（3），再根據函數f（x）是R上的增函數，去函數符號，解出x的范圍就得不等式|f（x+1）|＜2的解集．【解答】解：不等式|f（x+1）|＜2可變形為﹣2＜f（x+1）＜2，∵A（0，﹣2），B（3，2）是函數f（x）圖象上的兩點，∴f（0）=﹣2，f（3）=2，∴﹣2＜f（x+1）＜2等價于不等式f（0）＜f（x+1）＜f（3），又∵函數f（x）是R上的增函數，∴f（0）＜f（x+1）＜f（3）等價于0＜x+1＜3，解得﹣1＜x＜2，∴不等式|f（x+1）|＜2的解集為（﹣1，2）．故選B．12．若函數f（x），g（x）分別是R上的奇函數、偶函數，且滿足f（x）﹣g（x）=2x，則有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0） B．g（0）＜f（3）＜f（2） C．f（2）＜g（0）＜f（3） D．g（0）＜f（2）＜f（3）【考點】函數解析式的求解及常用方法；函數的值；不等關系與不等式．【分析】因為函數f（x），g（x）分別是R上的奇函數、偶函數，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），用﹣x代換x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=2﹣x，又由f（x）﹣g（x）=2x聯立方程組，可求出f（x），g（x）的解析式進而得到答案．【解答】解：用﹣x代換x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=2﹣x，即f（x）+g（x）=﹣2﹣x，又∵f（x）﹣g（x）=2x∴解得：f（x）=，g（x）=﹣，故f（x）單調遞增，又f（0）=0，g（0）=﹣1，有g（0）＜f（2）＜f（3）故選D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分）13．若集合M={x|x2+x﹣6=0}，N={x|ax﹣1=0}，且N?M，則實數a的值為或或0．【考點】集合的包含關系判斷及應用．【分析】先求出集合M的元素，然后根據N?M，討論集合N的可能性，最后分別求出每一種情形下a的取值即可．【解答】解：∵M={x|x2+x﹣6=0}，N={x|ax﹣1=0}且N?M∴M={﹣3，2}N=?或{﹣3}或{2}N=?時，a=0，N={﹣3}時，a=﹣，N={2}時，a=，故答案為：．14．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x，則當x＜0時，f（x）=﹣x2﹣2x．【考點】函數奇偶性的性質；函數解析式的求解及常用方法．【分析】要求x＜0時的函數解析式，先設x＜0，則﹣x＞0，﹣x就滿足函數解析式f（x）=x2﹣2x，用﹣x代替x，可得，x＜0時，f（﹣x）的表達式，再根據函數的奇偶性，求出此時的f（x）即可．【解答】解：設x＜0，則﹣x＞0，∵當x≥0時，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x，∴當x＜0時，f（x）=﹣x2﹣2x故答案為﹣x2﹣2x15．含有三個實數的集合既可表示成，又可表示成{a2，a+b，0}，則a2023+b2023=﹣1．【考點】元素與集合關系的判斷．【分析】根據兩個集合相等的關系，求得a，b的值，再求a2023+b2023的值．【解答】解：由題意，0∈{a，，1}及a≠0，可得=0，即b=0，從而{a，0，1}={a，a2，0}，進而有a2=1，即a=﹣1或1（舍去）（集合元素的互異性），故a2023+b2023=﹣1．故答案為：﹣1．16．設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）?f（x+2）=13，若f（1）=2，則f?f（x+2）=13變形得出f（x+2）=，繼而得出f（x+4）=f（x），利用周期性解決．【解答】解：由已知，f（x）≠0．∵f（x）?f（x+2）=13，∴f（x+2）=，f（x+4）=f[（x+2）+2]==f（x）∴f（x）是周期函數，f=f（1）=2故答案為：2三、解答題：解答題應寫出文字說明．證明過程或演算步驟．17．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（?RA）∩B；（2）若A∩C≠?，求a的取值范圍．【考點】交、并、補集的混合運算；集合關系中的參數取值問題．【分析】（1）先通過解二次不等式化簡集合B，利用并集的定義求出A∪B，利用補集的定義求出CRA，進一步利用交集的定義求出（CRA）∩B；（2）根據交集的定義要使A∩C≠?，得到a＞3．【解答】解：（1）B═{x|x2﹣12x+20＜0}={x|2＜x＜10}；因為A={x|3≤x＜7}，所以A∪B={x|2＜x＜10}；因為A={x|3≤x＜7}，所以CRA={x|x＜3或x≥7}；（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（2）因為A={x|3≤x＜7}，C={x|x＜a}．A∩C≠?，所以a＞3．18．已知定義在（﹣1，1）上的函數f（x）是減函數，且f（a﹣1）＞f（2a），求a的取值范圍．【考點】函數單調性的性質．【分析】用單調性定義求解，由“在（﹣1，1）上的函數f（x）是減函數”則有自變量在區間內，且自變量變化與函數值變化異向．【解答】解：依題意得：，解得：．19．已知函數f（x）=x2+ax+b，且對任意的實數x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立．（Ⅰ）求實數a的值；（Ⅱ）利用單調性的定義證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．【考點】函數單調性的判斷與證明．【分析】（Ⅰ）由f（1+x）=f（1﹣x）可得函數關于x=1對稱，然后求實數a的值；（Ⅱ）利用單調性的定義進行證明即可．【解答】解：（Ⅰ）方法1：由f（1+x）=f（1﹣x）得，（1+x）2+a（1+x）+b=（1﹣x）2+a（1﹣x）+b，整理得：（a+2）x=0，由于對任意的x都成立，∴a=﹣2．方法2：由f（1+x）=f（1﹣x）得，函數關于x=1對稱，則對稱軸為，解得a=﹣2．（Ⅱ）根據（Ⅰ）可知f（x）=x2﹣2x+b，下面證明函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．設x1＞x2≥1，則f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（）﹣2（x1﹣x2）=（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）∵x1＞x2≥1，則x1﹣x2＞0，且x1+x2﹣2＞2﹣2=0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數．20．已知奇函數，（1）求實數m的值（2）做y=f（x）的圖象（不必寫過程）（3）若函數f（x）在區間[﹣1，a﹣2]上單調遞增，求a的取值范圍．【考點】分段函數的應用；函數單調性的性質．【分析】（1）求出x＜0時，函數的解析式，即可求得m的值；（2）分段作出函數的圖象，即可得到y=f（x）的圖象；（3）根據圖象，利用函數f（x）在區間[﹣1，a﹣2]上單調遞增，建立不等式，即可求a的取值范圍．【解答】解：（1）設x＜0，則﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣x2﹣2x∵函數是奇函數，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+2x（x＜0）∴m=2；（2）函數圖象如圖所示：（3）由圖象可知，﹣1＜a﹣2≤1，∴1＜a≤3．21．是否存在實數a，使函數f（x）=x2﹣2ax+a的定義域為[﹣1，1]時，值域為[﹣2，2]？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．【考點】二次函數在閉區間上的最值．【分析】由于函數f（x）=x2﹣2ax+a的對稱軸為x=a，分a＜﹣1、0＞a≥﹣1、1＞a≥0、a≥1四種情況利用函數的單調性以及定義域、值域求出a的值．【解答】解：由于函數f（x）=x2﹣2ax+a的對稱軸為x=a，當a＜﹣1時，函數f（x）=x2﹣2ax+a在定義域[﹣1，1]上是增函數，故有，解得a=﹣1（舍去）．當0＞a≥﹣1時，函數f（x）