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文檔簡介
2023年高考數學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.秦九韶是我國南宋時期的數學家,普州(現四川省安岳縣)人,他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例,若輸入的值為2,則輸出的值為A. B. C. D.2.設,,是非零向量.若,則()A. B. C. D.3.閱讀如圖的程序框圖,運行相應的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.4.元代數學家朱世杰的數學名著《算術啟蒙》是中國古代代數學的通論,其中關于“松竹并生”的問題:松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個程序圖,若,,則輸出的()A.3 B.4 C.5 D.65.設全集,集合,,則()A. B. C. D.6.已知直線:()與拋物線:交于(坐標原點),兩點,直線:與拋物線交于,兩點.若,則實數的值為()A. B. C. D.7.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車,等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發奇想,設計兩種乘車方案.方案一:不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號,就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二:直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1,P2,則()A.P1?P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P28.已知實數、滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C. D.9.某幾何體的三視圖如圖所示,若側視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.10.關于函數,有下述三個結論:①函數的一個周期為;②函數在上單調遞增;③函數的值域為.其中所有正確結論的編號是()A.①② B.② C.②③ D.③11.拋物線的焦點為,準線為,,是拋物線上的兩個動點,且滿足,設線段的中點在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.12.設復數滿足,在復平面內對應的點為,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是九位評委打出的分數的莖葉統計圖,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數據的平均分為_______.14.設數列的前項和為,且對任意正整數,都有,則___15.在回歸分析的問題中,我們可以通過對數變換把非線性回歸方程,()轉化為線性回歸方程,即兩邊取對數,令,得到.受其啟發,可求得函數()的值域是_________.16.已知隨機變量,且,則______三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等比數列,其公比,且滿足,和的等差中項是1.(Ⅰ)求數列的通項公式;(Ⅱ)若,是數列的前項和,求使成立的正整數的值.18.(12分)已知直線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;(2)設點,直線與曲線交于兩點,求的值.19.(12分)在直角坐標系中,已知曲線的參數方程為(為參數),以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,射線的極坐標方程為,射線的極坐標方程為.(Ⅰ)寫出曲線的極坐標方程,并指出是何種曲線;(Ⅱ)若射線與曲線交于兩點,射線與曲線交于兩點,求面積的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)設點,直線與曲線相交于,,求的值.21.(12分)在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),直線的參數方程為,(為參數).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求的極坐標方程和的直角坐標方程;(Ⅱ)設分別交于兩點(與原點不重合),求的最小值.22.(10分)已知函數.(Ⅰ)求在點處的切線方程;(Ⅱ)求證:在上存在唯一的極大值;(Ⅲ)直接寫出函數在上的零點個數.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由題意,模擬程序的運行,依次寫出每次循環得到的,的值,當時,不滿足條件,跳出循環,輸出的值.【詳解】解:初始值,,程序運行過程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循環,輸出的值為其中①②①—②得.故選:.【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的應用,正確依次寫出每次循環得到,的值是解題的關鍵,屬于基礎題.2、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點:平面向量數量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數量積問題是近幾年高考的又一熱點,作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數量積及平面幾何知識,又能考查學生的數形結合能力及轉化與化歸能力的問題,實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結合平面幾何知識及向量數量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運算進行轉化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標運算,此法對解含垂直關系的問題往往有很好效果.3、C【解析】
根據給定的程序框圖,計算前幾次的運算規律,得出運算的周期性,確定跳出循環時的n的值,進而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環,,滿足判斷條件;第2次循環,,滿足判斷條件;第3次循環,,滿足判斷條件;可得的值滿足以3項為周期的計算規律,所以當時,跳出循環,此時和時的值對應的相同,即.故選:C.【點睛】本題主要考查了循環結構的程序框圖的計算與輸出問題,其中解答中認真審題,得出程序運行時的計算規律是解答的關鍵,著重考查了推理與計算能力.4、B【解析】分析:根據流程圖中的可知,每次循環的值應是一個等比數列,公比為;根據流程圖中的可知,每次循環的值應是一個等比數列,公比為,根據每次循環得到的的值的大小決定循環的次數即可.詳解:記執行第次循環時,的值記為有,則有;記執行第次循環時,的值記為有,則有.令,則有,故,故選B.點睛:本題為算法中的循環結構和數列通項的綜合,屬于中檔題,解題時注意流程圖中蘊含的數列關系(比如相鄰項滿足等比數列、等差數列的定義,是否是求數列的前和、前項積等).5、D【解析】
求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補集運算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點睛】本題考查了集合的交集和補集混合運算,考查了學生概念理解,數學運算的能力,屬于中檔題.6、D【解析】
設,,聯立直線與拋物線方程,消去、列出韋達定理,再由直線與拋物線的交點求出點坐標,最后根據,得到方程,即可求出參數的值;【詳解】解:設,,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應用,弦長公式的應用,屬于中檔題.7、C【解析】
將三輛車的出車可能順序一一列出,找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為:123、132、213、231、312、321方案一坐車可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐車可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法,常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數,屬于基礎題.8、A【解析】
畫出不等式組所表示的平面區域,結合圖形確定目標函數的最優解,代入即可求解,得到答案.【詳解】畫出不等式組所表示平面區域,如圖所示,由目標函數,化為直線,當直線過點A時,此時直線在y軸上的截距最大,目標函數取得最大值,又由,解得,所以目標函數的最大值為,故選A.【點睛】本題主要考查簡單線性規劃求解目標函數的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標函數的最優解是解答的關鍵,著重考查了數形結合思想,及推理與計算能力,屬于基礎題.9、C【解析】
由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.10、C【解析】
①用周期函數的定義驗證.②當時,,,再利用單調性判斷.③根據平移變換,函數的值域等價于函數的值域,而,當時,再求值域.【詳解】因為,故①錯誤;當時,,所以,所以在上單調遞增,故②正確;函數的值域等價于函數的值域,易知,故當時,,故③正確.故選:C.【點睛】本題考查三角函數的性質,還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.11、B【解析】
試題分析:設在直線上的投影分別是,則,,又是中點,所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點:拋物線的性質.【名師點晴】在直線與拋物線的位置關系問題中,涉及到拋物線上的點到焦點的距離,焦點弦長,拋物線上的點到準線(或與準線平行的直線)的距離時,常常考慮用拋物線的定義進行問題的轉化.象本題弦的中點到準線的距離首先等于兩點到準線距離之和的一半,然后轉化為兩點到焦點的距離,從而與弦長之間可通過余弦定理建立關系.12、B【解析】
設,根據復數的幾何意義得到、的關系式,即可得解;【詳解】解:設∵,∴,解得.故選:B【點睛】本題考查復數的幾何意義的應用,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
寫出莖葉圖對應的所有的數,去掉最高分,最低分,再求平均分.【詳解】解:所有的數為:77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9個數,去掉最高分,最低分,剩下78,82,84,84,86,88,93,共7個數,平均分為,故答案為1.【點睛】本題考查莖葉圖及平均數的計算,屬于基礎題.14、【解析】
利用行列式定義,得到與的關系,賦值,即可求出結果。【詳解】由,令,得,解得。【點睛】本題主要考查行列式定義的應用。15、【解析】
轉化()為,即得解.【詳解】由題意:().故答案為:【點睛】本題考查類比法求函數的值域,考查了學生邏輯推理,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題.16、0.1【解析】
根據原則,可得,簡單計算,可得結果.【詳解】由題可知:隨機變量,則期望為所以故答案為:【點睛】本題考查正態分布的計算,掌握正態曲線的圖形以及計算,屬基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由等差數列中項性質和等比數列的通項公式,解方程可得首項和公比,可得所求通項公式;(Ⅱ),由數列的錯位相減法求和可得,解方程可得所求值.【詳解】(Ⅰ)等比數列,其公比,且滿足,和的等差中項是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:則相減可得:化簡可得:,即為解得:【點睛】本題考查等比數列的通項公式和求和公式的運用,考查數列的錯位相減法求和,以及方程思想和運算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)直接利用轉換關系的應用,把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.(2)利用(1)的結論,進一步利用一元二次方程根和系數的關系式的應用求出結果.【詳解】解:(1)直線的參數方程為(為參數),轉換為直角坐標方程為.曲線的極坐標方程為.轉換為,轉換為直角坐標方程為.(2)直線的參數方程為(為參數),轉換為標準式為(為參數),代入圓的直角坐標方程整理得,所以,..【點睛】本題屬于基礎本題考查的知識要點:主要考查極坐標,參數方程與普通方程互化,及求三角形面積.需要熟記極坐標系與參數方程的公式,及與解析幾何相關的直線與曲線位置關系的一些解題思路.19、(Ⅰ),曲線是以為圓心,為半徑的圓;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由曲線的參數方程能求出曲線的普通方程,由此能求出曲線的極坐標方程.(Ⅱ)令,,則,利用誘導公式及二倍角公式化簡,再由余弦函數的性質求出面積的取值范圍;【詳解】解:(Ⅰ)由(為參數)化為普通方程為,整理得曲線是以為圓心,為半徑的圓.(Ⅱ)令,,,,面積的取值范圍為【點睛】本題考查曲線的極坐標方程的求法,考查三角形的面積的求法,考查參數方程、直角坐標方程、極坐標方程的互化等基礎知識,考查運算求解能力,屬于中檔題.20、(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由(為參數)直接消去參數,可得直線的普通方程,把兩邊同時乘以,結合,可得曲線的直角坐標方程;(Ⅱ)把代入,化為關于的一元二次方程,利用根與系數的關系及參數的幾何意義求解.【詳解】解:(Ⅰ)由(為參數),消去參數,可得.∵,∴,即.∴曲線的直角坐標方程為;(Ⅱ)把代入,得.設,兩點對應的參數分別為,則,.不妨設,,∴.【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程,考查參數方程化普通方程,明確直線參數方程中參數的幾何意義是解題的關鍵,是中檔題.21、(Ⅰ)直線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為,的直角坐標方程為;(Ⅱ)2.【解析】
(Ⅰ)由定義可直接寫出直線的極坐標方程,對曲線同乘可得:,轉化成直角坐標為;(Ⅱ)分別聯立兩直線和曲線的方程,由得,由得,則,結合三角函數即可求解;【詳解】(Ⅰ)直線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為由曲線的極坐標方程得,所以的直角坐標方程為.(Ⅱ)與的極坐標方程聯立得所以.與的極坐標方程聯立得所以.所以.所以當時,取最小值2.【點睛】本題考查參數方程與極坐標方程的互化,極坐標
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