第三章§2一、選擇題1．一根金屬棒的質量y(單位：kg)是長度x(單位：m)的函數，y＝f(x)＝3eq\r(x)，則從4m到9m這一段金屬棒的平均線密度是\f(2,5)kg/m \f(3,5)kg/m\f(3,4)kg/m \f(1,2)kg/m解析：平均線密度＝eq\f(f9－f4,9－4)＝eq\f(3,5)kg/m.答案：B2．某汽車啟動階段的路程函數為S(t)＝2t3－5t2，則t＝2秒時，汽車的加速度是()A．14 B．4C．10 D．6解析：V(t)＝S′(t)＝6t2－10t，∴a(t)＝V′(t)＝12t－10.當t＝2秒時，a(2)＝14，即t＝2時，汽車的加速度為14.答案：A3．從時間t＝0開始的ts內，通過某導體的電量(單位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，則第5s時的電流強度為()A．27C/s B．20C．25C/s D．解析：某種導體的電量q在5s時的瞬時變化率就是第5s時的電流強度．∵q′＝4t＋3，∴當t＝5時，電流強度為4×5＋3＝23(C/s)．答案：D4．一個球的半徑以0.1cm/s的速率增加，那么當半徑r＝10cmA．2πcm2/s B．4πcm2/sC．8πcm2/s D．16πcm2/s解析：∵r＝，∴Δr＝Δt，又Δs＝4π(10＋Δt)2－4π·102＝8πΔt＋π(Δt)2∴球的表面積增加的平均變化率為eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝8π＋πΔt當Δt→0時，eq\x\to(v)→8π∴此球的表面積增加的速率為8πcm2/s.答案：C二、填空題5．已知成本c與產量q的函數關系式為c(q)＝4q2＋q－6，則當產量q＝10時的邊際成本為_________．解析：c′(q)＝8q＋1，c′(10)＝8×10＋1＝81，故q＝10時的邊際成本為81.答案：816．某商品價格P(單位：元)與時間t(單位：年)有函數關系式P(t)＝(1＋10%)t，那么在第8個年頭此商品價格的變化速度是_______．解析：∵P′(t)＝，∴P′(8)＝(元/年)．答案：元/年三、解答題7．修建面積為xm2的草坪需要成本y元，且y是x的函數：y＝f(x)＝10x2＋x.(1)求當x從50變到60時，成本y關于修建面積x的平均變化率，并解釋它的實際意義；(2)求f′(50)，并解釋它的實際意義．解析：(1)當x從50變到60時，成本關于草坪面積x的平均變化率為eq\f(f60－f50,60－50)＝eq\f(36000＋60－25000＋50,10)＝1101(元/m2)它表示在草坪面積從50m2增加到60m2(2)f′(x)＝20x＋1，∴f′(50)＝1001(元/m2)．f′(50)表示當草坪面積為50m2時，每增加18．設生產某種產品的總成本函數c(萬元)與產量q(萬件)之間的函數關系為c＝c(q)＝100＋4q－＋.求生產水平為q＝10萬件時的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看繼續提高產量是否合算？解析：當q＝10時，總成本c(10)＝100＋4×10－×102＋×103＝100＋40－20＋10＝130(萬元)．平均成本130÷10＝13(元/件)，邊際成本c′(q)＝4－＋，∴c′(10)＝4－×10＋×102＝4－4＋3＝3(元/件)．因此在生產水平為10萬元時每增產一個產品，總成本增加3元，比當前的平均成本13元低，從降低成本角度看，應繼續提高產量．9．當室內的有毒細菌開始增加時，就要使用殺菌劑．剛開始使用的時候，細菌數量還會繼續增加，隨著時間的增加，它的增加幅度逐漸變小，到一定時間，細菌數量開始減少．如果使用殺菌劑t小時后的細菌數量為b(t)＝105＋104t－103t2.(1)求從第5小時到第10小時細菌的平均變化率；(2)求細菌在t＝5與t＝10時的瞬時變化率；(3)細菌在哪段時間增加，在哪段時間減少？為什么？解析：(1)從第5小時到第10小時細菌的平均變化率為eq\f(b10－b5,10－5)＝eq\f(105＋104×10－103×102－105＋104×5－103×52,5)＝eq\f(104×5－103×102－52,5)＝eq\f(104×5－103×75,5)＝－5×103.(2)∵b′(t)＝－2×103t＋104∴細菌在t＝5和t＝10時的瞬時變化率分別為b′(5)＝0，b′(10)＝－104.(3)令b′(t)＞0得0＜t＜5，當b(t)＝0時由b(t)＝105＋104t－103t2