數列1．了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)．(難點)2．理解數列的通項公式及簡單應用．(重點)3．數列與集合、函數等概念的區別與聯系．(易混點)[基礎·初探]教材整理1數列的概念與分類閱讀教材P31，完成下列問題．1．數列的概念按照一定次序排列的一列數稱為數列，數列中的每個數都叫做這個數列的項．項數有限的數列叫做有窮數列，項數無限的數列叫做無窮數列．2．數列的表示方法數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}，其中a1稱為數列{an}的第1項(或稱為首項)，a2稱為第2項，…，an稱為第n項．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)數列1,2,3,5,7可表示為{1,2,3,5,7}．()(2)數列1,0，－1，－2與數列－2，－1,0,1是相同的數列．()(3)數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))的第5項為eq\f(1,5).()(4)數列0,2,4,6，…是無窮數列．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√教材整理2數列的通項公式閱讀教材P32～P33的有關內容，完成下列問題．1．數列與函數的關系數列可以看成以正整數集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})為定義域的函數an＝f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值．2．數列的通項公式如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．數列可以用通項公式來描述，也可以通過列表或圖象來表示．1．數列1,3,5,7,9，…的一個通項公式可以是．【解析】1,3,5,7,9，…的一個通項公式可以是an＝2n－1，n∈N*.【答案】an＝2n－1，n∈N*2．若數列{an}的通項公式為an＝3n－2，則a5＝.【解析】∵an＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.【答案】13[小組合作型]根據數列的前n項寫出通項公式寫出下列數列的一個通項公式．(1)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(2)9,99,999,9999，…；(3)eq\f(22－1,1)，eq\f(32－2,3)，eq\f(42－3,5)，eq\f(52－4,7)，…；(4)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，….【精彩點撥】eq\x(觀察)→eq\x(歸納an與n的關系)→eq\x(驗證結論)→eq\x(得出答案)【自主解答】(1)數列的項，有的是分數，有的是整數，可將各項都統一成分數再觀察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，所以它的一個通項公式為an＝eq\f(n2,2)(n∈N*)．(2)各項加1后，變為10,100,1000,10000，….此數列的通項公式為10n，可得原數列的通項公式為an＝10n－1(n∈N*)．(3)數列中每一項由三部分組成，分母是從1開始的奇數列，可用2n－1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是減去一個自然數，可用n表示，綜上，原數列的通項公式為an＝eq\f(n＋12－n,2n－1)(n∈N*)．(4)這個數列的前4項的絕對值都等于項數與項數加1的積的倒數，且奇數項為負，偶數項為正，所以它的一個通項公式是an＝(－1)neq\f(1,nn＋1)(n∈N*)．用觀察法求數列的通項公式的一般規律1．一般數列通項公式的求法2．對于符號交替出現的情況，可先觀察其絕對值，再用(－1)k處理符號問題．3．對于周期出現的數列，可考慮拆成幾個簡單數列和的形式，或者利用周期函數，如三角函數等．[再練一題]1．寫出下列數列的一個通項公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…；(3)eq\f(2,3)，－1，eq\f(10,7)，－eq\f(17,9)，eq\f(26,11)，－eq\f(37,13)，….【導學號：92862029】【解】(1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以an＝2n＋1.(2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數列為21,22,23,24，…，所以an＝eq\f(2n－1,2n).(3)偶數項為負而奇數項為正，故通項公式必含因式(－1)n＋1，觀察各項絕對值組成的數列，從第3項到第6項可見，分母分別由奇數7,9,11,13組成，而分子則是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照這樣的規律第1,2兩項可分別改寫為eq\f(12＋1,2＋1)，－eq\f(22＋1,2×2＋1)，所以an＝(－1)n＋1eq\f(n2＋1,2n＋1).通項公式的簡單應用已知數列{an}的通項公式是an＝2n2－n.(1)寫出數列的前3項；(2)判斷45是否為{an}中的項？3是否為{an}中的項？【精彩點撥】(1)令n＝1,2,3求解即可；(2)令an＝45或an＝3解n便可．【自主解答】(1)在通項公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3項分別為：1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq\f(9,2)(舍去)，故45是數列{an}中的第5項．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq\f(3,2)，即方程沒有正整數解，故3不是數列中的項．1．如果已知數列的通項公式，只要將相應項數代入通項公式，就可以寫出數列中的指定項．2．判斷某數是否為數列中的一項，步驟如下：(1)將所給的數代入通項公式中；(2)解關于n的方程；(3)若n為正整數，說明所給的數是該數列的項；若n不是正整數，則不是該數列的項．[再練一題]2．已知數列{an}的通項公式為an＝eq\f(n2－21n,2)(n∈N*)．(1)0和1是不是數列{an}中的項？如果是，那么是第幾項？(2)數列{an}中是否存在連續且相等的兩項？若存在，分別是第幾項？【解】(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是數列{an}中的第21項．令an＝1，得eq\f(n2－21n,2)＝1，而該方程無正整數解，∴1不是數列{an}中的項．(2)假設存在連續且相等的兩項為an，an＋1，則有an＝an＋1，即eq\f(n2－21n,2)＝eq\f(n＋12－21n＋1,2)，解得n＝10，所以存在連續且相等的兩項，它們分別是第10項和第11項．[探究共研型]數列的性質探究1數列是特殊的函數，能否利用函數求最值的方法求數列的最大(小)項？【提示】可以借助函數的性質求數列的最大(小)項，但要注意函數與數列的差異，數列{an}中，n∈N*.探究2如何定義數列{an}的單調性？【提示】對于數列的單調性的判斷一般要通過比較an＋1與an的大小來判斷，若an＋1>an，則數列為遞增數列，若an＋1<an，則數列為遞減數列．設數列{an}的通項公式為an＝n2＋kn(n∈N*)．數列{an}是單調遞增的，求實數k的取值范圍．【精彩點撥】利用二次函數的單調性，求得k的取值范圍．【自主解答】∵an＝n2＋kn，其圖象的對稱軸為n＝－eq\f(k,2)，∴當－eq\f(k,2)≤1，即k≥－2時，{an}是單調遞增數列．另外，當1<－eq\f(k,2)<2且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))－1<2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))，即－3<k<－2時，{an}也是單調遞增數列(如圖所示)．∴k的取值范圍是(－3，＋∞)．1．函數的單調性與數列的單調性既有聯系又有區別，即數列所對應的函數若單調則數列一定單調，反之若數列單調，其所對應的函數不一定單調．2．求數列的最大(小)項，還可以通過研究數列的單調性求解，一般地，若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an＋1≤an，))則an為最大項；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an＋1≥an，))則an為最小項．[再練一題]3．已知數列{an}的通項公式是an＝－2n2＋9n＋3(n∈N*)，求它的最大項.【導學號：92862030】【解】由題意知，－2n2＋9n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,4)))eq\s\up20(2)＋eq\f(105,8).由于函數f(x)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,4)))eq\s\up20(2)＋eq\f(105,8)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,4)))上是增函數，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，＋∞))上是減函數，故當n＝2時，f(n)＝－2n2＋9n＋3取得最大值13，所以數列{an}的最大項為a2＝13.1．已知下列數列：(1)2010,2012,2014,2016,2018；(2)0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；(3)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；(4)1，－eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，eq\f(－1n－1·n,2n－1)，…；(5)1,0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有窮數列是，無窮數列是，遞增數列是，遞減數列是，常數列是，擺動數列是．(將合理的序號填在橫線上)【解析】(1)是有窮遞增數列；(2)是無窮遞增數列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(因為\f(n－1,n)＝1－\f(1,n)))；(3)是無窮遞減數列；(4)是擺動數列，也是無窮數列；(5)是擺動數列，也是無窮數列；(6)是常數列，也是有窮數列．【答案】(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(6)(4)(5)2．數列2,3,4,5，…的一個通項公式為．【解析】這個數列的前4項都比序號大1，所以它的一個通項公式為an＝n＋1.【答案】an＝n＋13．下列有關數列的表述：①數列的通項公式是唯一的；②數列0,1,0，－1與數列－1,0,1,0是相同的數列；③數列若用圖象表示，它是一群孤立的點；④數列中的數是按一定次序排列的．其中說法正確的是．【解析】如果數列{an}的第n項an與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式，但一個數列可以沒有通項公式，也可以有幾個通項公式，如：數列1，－1,1，－1，1，－1，…的通項公式可以是an＝(－1)n＋1，也可以是an＝cos(n－1)π，故①錯；由數列的概念知數列0,1,0，－1與數列－1,0,1,0是不同的數列，故②錯；易知③④是正確的．【答案】③④4．用火柴棒按圖2-1-1的方法搭三角形：圖2-1-1按圖示的規律搭下去，則所用火柴棒數an與所搭三角形的個數n之間的關系式是.【導學號：92862031】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.【答案】an＝2n＋15．已知數列{an}的通項公式為an＝eq\f(4,n2＋3n)(n∈N*)，(1)寫出此數列的前3項；(2)試問eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是它的項？如果是，是第幾項？【解】(1)a1＝eq\