2023學年河南省鄭州市七校聯考高二（上）期中數學試卷（理科）一、選擇題（本題共12小題，每題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知a＞b，c＞d，且c，d不為0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d2．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集為（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜1或x＞2}3．在數列{an}中，若a1=﹣2，且對任意的n∈N*有2an+1=1+2an，則數列{an}前10項的和為（）A．2 B．10 C． D．4．已知等比數列{an}滿足a1=3，a1+a3+a5=21，則a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．845．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有兩解，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x＜2 C． D．6．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面積為，則BC的長為（）A． B． C．2 D．27．若關于x的不等式x+≥a2﹣3a對任意實數x＞0恒成立，則實數a的取值范圍為（）A．[﹣1，4] B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） D．[﹣2，5]8．若變量x，y滿足約束條件，且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．89．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于（）A．m B．m C．m D．m10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A，B，C成等差數列，2a，2b，2c成等比數列，則cosAcosB=（）A． B． C． D．11．已知數列{an}：，+，++，…，+++…+，…，若bn=，那么數列{bn}的前n項和Sn為（）A． B． C． D．12．已知各項均為正數的等比數列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項am，an使得=4a1，則+的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題（本題共4個小題，每題5分，共20分）13．已知數列{an}中，a1=1且=+（n∈N*），則a10=．14．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosC+bsinC﹣a﹣c=0，則角B=．15．設實數x，y滿足約束條件，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為10，則a2+b2的最小值為．16．意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列{an}稱為“斐波那契數列”，該數列是一個非常美麗、和諧的數列，有很多奇妙的屬性，比如：隨著項數的增加，前一項與后一項的比值越逼近黃金分割.06180339887．若把該數列{an}的每一項除以4所得的余數按相對應的順序組成新數列{bn}，在數列{bn}中第2023項的值是．三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．已知關于x的不等式kx2﹣2x+3k＜0．（1）若不等式的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，求k的值；（2）若不等式的解集為?，求實數k的取值范圍．18．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周長為5，求b的長．19．己知數列{an}的前n項和Sn=，n∈N*．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=2an+（﹣1）nan，求數列{bn}的前2n項和．20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面積最大時a，b的值．21．某企業準備投入適當的廣告費對產品進行促銷，在一年內預計銷售Q（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數關系為Q=（x≥0）．已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬元此產品仍需再投入32萬元，若每件銷售價為“平均每件生產成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和．（1）試將年利潤W（萬元）表示為年廣告費x（萬元）的函數；（2）當年廣告費投入多少萬元時，企業年利潤最大？最大利潤為多少？22．已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）?f（y），且f（1）=．（1）當n∈N*時，求f（n）的表達式；（2）設an=n?f（n），n∈N*，求證a1+a2+a3+…+an＜2；（3）設bn=（9﹣n），n∈N*，Sn為bn的前n項和，當Sn最大時，求n的值．

2023學年河南省鄭州市七校聯考高二（上）期中數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本題共12小題，每題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知a＞b，c＞d，且c，d不為0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d【考點】不等關系與不等式．【分析】a＞b，c＞d，根據不等式的性質即可得到答案．【解答】解：令a=2，b=﹣2，c=3，d=﹣6，則2×3＜（﹣5）（﹣6）=30，可排除A2×（﹣6）＜（﹣2）×3可排除B；2﹣3＜（﹣2）﹣（﹣6）=4可排除C，∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d（不等式的加法性質）正確．故選D．2．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集為（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜1或x＞2}【考點】一元二次不等式的解法．【分析】此題是x的系數不為正的二次不等式，可轉化為x的系數為正的整式不等式然后再利用二次不等式的解法即可求解．【解答】解：∵（x﹣1）（2﹣x）≥0，∴（x﹣2）（x﹣1）≤0∴結合二次函數的性質可得解集為1≤x≤2．故選A．3．在數列{an}中，若a1=﹣2，且對任意的n∈N*有2an+1=1+2an，則數列{an}前10項的和為（）A．2 B．10 C． D．【考點】數列遞推式；數列的求和．【分析】由已知數列遞推式可得數列{an}是公差為的等差數列，代入等差數列的前n項和公式得答案．【解答】解：由2an+1=1+2an，得2an+1﹣2an=1，則，∴數列{an}是公差為的等差數列，又a1=﹣2，∴．故選：C．4．已知等比數列{an}滿足a1=3，a1+a3+a5=21，則a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84【考點】等比數列的通項公式．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比數列的通項公式可求q，然后在代入等比數列通項公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故選：B5．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有兩解，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x＜2 C． D．【考點】正弦定理的應用．【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的關系，利用B求得A+C；要使三角形兩個這兩個值互補先看若A≤45°，則和A互補的角大于135°進而推斷出A+B＞180°與三角形內角和矛盾；進而可推斷出45°＜A＜135°若A=90，這樣補角也是90°，一解不符合題意進而可推斷出sinA的范圍，利用sinA和a的關系求得a的范圍．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有兩個值，則這兩個值互補若A≤45°，則C≥90°，這樣A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，這樣補角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故選C6．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面積為，則BC的長為（）A． B． C．2 D．2【考點】余弦定理．【分析】利用三角形面積公式列出關系式，把AB，sinA，已知面積代入求出AC的長，再利用余弦定理即可求出BC的長．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面積為，∴AB?AC?sinA=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA=1+4﹣2=3，則BC=．故選：B．7．若關于x的不等式x+≥a2﹣3a對任意實數x＞0恒成立，則實數a的取值范圍為（）A．[﹣1，4] B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） D．[﹣2，5]【考點】函數恒成立問題．【分析】利用基本不等式求出不等式x+的最小值為4，轉化4≥a2﹣3a，由此解得實數a的取值范圍．【解答】解：∵x＞0，∴不等式x+=4，當且僅當x=2時，表達式取得最小值為4，由關于x的不等式x+≥a2﹣3a對任意實數x＞0恒成立，可得4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，故選：A．8．若變量x，y滿足約束條件，且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義，進行平移即可得到結論．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經過點A，直線y=﹣2x+z的截距最小，此時z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此時z=﹣2﹣1=﹣3，此時n=﹣3，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經過點B，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此時z=2×2﹣1=3，即m=3，則m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故選：B．9．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【考點】解三角形的實際應用．【分析】由題意畫出圖形，由兩角差的正切求出15°的正切值，然后通過求解兩個直角三角形得到DC和DB的長度，作差后可得答案．【解答】解：如圖，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的寬度BC等于120（﹣1）m．故選：B．10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A，B，C成等差數列，2a，2b，2c成等比數列，則cosAcosB=（）A． B． C． D．【考點】等差數列與等比數列的綜合．【分析】先根據A，B，C成等差數列和三角形內角和定理求出B的值，根據等比中項的性質可知b2=ac代入余弦定理求得a2+c2﹣ac=ac，整理求得a=c，即得A=C，最后利用三角形內角和定理求出A和C，最后求出式子的值．【解答】解：由A，B，C成等差數列，有2B=A+C（1）∵A，B，C為△ABC的內角，∴A+B+C=π（2）．由（1）（2）得B=．由2a，2b，2c成等比數列，得b2=ac，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB把B=、b2=ac代入得，a2+c2﹣ac=ac，即（a﹣c）2=0，則a=c，從而A=C=B=，∴cosAcosB==，故選A．11．已知數列{an}：，+，++，…，+++…+，…，若bn=，那么數列{bn}的前n項和Sn為（）A． B． C． D．【考點】數列的求和．【分析】先確定數列{an}的通項，再確定數列{bn}的通項，利用裂項法可求數列的和．【解答】解：由題意，數列{an}的通項為an==，∴bn==4（﹣）∴Sn=4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=故選B．12．已知各項均為正數的等比數列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項am，an使得=4a1，則+的最小值為（）A． B． C． D．【考點】基本不等式；等比數列的通項公式．【分析】由a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：由各項均為正數的等比數列{an}滿足a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴qm+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，當且僅當=時，等號成立．故的最小值等于，故選A．二、填空題（本題共4個小題，每題5分，共20分）13．已知數列{an}中，a1=1且=+（n∈N*），則a10=．【考點】等差數列的通項公式．【分析】由數列遞推式可知數列{}是以為首項，以為公差的等差數列，由此求得數列{an}的通項公式，則答案可求．【解答】解：由=+，得﹣=，∴數列{}是以為首項，以為公差的等差數列，則，∴．則．故答案為：．14．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosC+bsinC﹣a﹣c=0，則角B=．【考點】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化簡，整理后得到cosB=，結合B的范圍即可得解B的值．【解答】證明：在△ABC中，∵bcosC+bsinC﹣a﹣c=0，∴利用正弦定理化簡得：sinBcosC+sinBsinC﹣sinA﹣sinC=0，即sinBcosC+sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC（cosB+1），∴sinB=cosB+1，即sin（B﹣）=，∵0＜B＜π，∴﹣＜B﹣＜，∴B﹣=，即B=．故答案為：．15．設實數x，y滿足約束條件，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為10，則a2+b2的最小值為．【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識先求出a，b的關系，然后利用基本不等式求的最小值．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如圖：∵a＞0，b＞0，∴直線y=的斜率為負，且截距最大時，z也最大．平移直線y=，由圖象可知當y=經過點A時，直線的截距最大，此時z也最大．由，解得，即A（4，6）．此時z=4a+6b=10，即2a+3b﹣5=0，即（a，b）在直線2x+3y﹣5=0上，a2+b2的幾何意義為直線上點到圓的距離的平方，則圓心到直線的距離d=，則a2+b2的最小值為d2=，故答案為：．16．意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，8，13，…，其中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列{an}稱為“斐波那契數列”，該數列是一個非常美麗、和諧的數列，有很多奇妙的屬性，比如：隨著項數的增加，前一項與后一項的比值越逼近黃金分割.06180339887．若把該數列{an}的每一項除以4所得的余數按相對應的順序組成新數列{bn}，在數列{bn}中第2023項的值是0．【考點】數列的應用．【分析】根據數列，得到余數構成是數列是周期數列，即可得到結論．【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余數分別為1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新數列{bn}是周期為6的周期數列，∴b2023=b236×6=b6=0，故答案為：0．三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．已知關于x的不等式kx2﹣2x+3k＜0．（1）若不等式的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，求k的值；（2）若不等式的解集為?，求實數k的取值范圍．【考點】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根據不等式與對應一元二次方程的關系，利用根與系數的關系求出k的值；（2）根據不等式kx2﹣2x+3k＜0的解集為?，討論k的取值，求出結果即可．【解答】解：（1）由不等式的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣1}，可知k＜0，﹣3和﹣1是一元二次方程kx2﹣2x+3k=0的兩根，所以，解得k=﹣；（2）因不等式kx2﹣2x+3k＜0的解集為?，若k=0，則不等式﹣2x＜0，此時x＞0，不合題意；若k≠0，則，解得；綜上，實數k的取值范圍是（0，]．18．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周長為5，求b的長．【考點】正弦定理的應用；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化簡等式的右邊，然后整理，利用兩角和的正弦函數求出的值．（2）利用（1）可知c=2a，結合余弦定理，三角形的周長，即可求出b的值．【解答】解：（1）因為所以即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣cosBsinA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2a…①a+b+c=5…②b2=a2+c2﹣2accosB…③cosB=…④解①②③④可得a=1，b=c=2；所以b=219．己知數列{an}的前n項和Sn=，n∈N*．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=2an+（﹣1）nan，求數列{bn}的前2n項和．【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】（1）求得首項，再由n換為n﹣1，相減可得數列的通項公式；（2）求得bn=2n+（﹣1）n?n，n為奇數時，bn=n；n為偶數時，bn=3n．運用等差數列的求和公式計算即可得到所求．【解答】解：（1）Sn=，n∈N*，可得a1=S1=1，當n＞1時，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n，綜上可得，an=n，n∈N*；（2）bn=2n+（﹣1）n?n，n為奇數時，bn=n；n為偶數時，bn=3n．即有數列{bn}的前2n項和為（1+3+5+…+2n﹣1）+（6+12+…+6n）=n（1+2n﹣1）+n（6+6n）=3n2+4n．20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面積最大時a，b的值．【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）已知等式左邊利用正弦定理化簡，右邊利用誘導公式變形，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，根據sinA不為0求出cosC的值，即可確定出C的度數；（2）利用余弦定理列出關系式，將c與cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，進而確定出三角形ABC面積的最大值，以及此時a與b的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化簡已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C為三角形內角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（當且僅當a=b時成立），∵S=absinC=ab≤，∴當a=b時，△ABC面積最大為，此時a=b=，則當a=b=時，△ABC的面積最大為．21．某企業準備投入適當的廣告費對產品進行促銷，在一年內預計銷售Q（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數關系為Q=（x≥0）．已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬元此產品仍需再投入32萬元，若每件銷售價為“平均每件生