《余弦定理》教學設計教學內容解析本節內容選自普通高中課程標準實驗教科書人教A版《數學》必修5第一章《解三角形》第一節正弦定理和余弦定理。第一節約4課時，2課時通過探究證明正弦定理，應用正弦定理解三角形；2課時通過探究證明余弦定理，應用余弦定理解三角形。本節課是余弦定理的第一課時，屬于定理教學課。正余弦定理是定量研究三角形邊角關系的基礎，它們為解三角形提供了基本方法，為后續解決測量等實際問題提供了理論基礎和操作工具。余弦定理是繼正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形體系，為解決三角形的邊角關系提供了新的方法；是對任意三角形“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題進行量化分析的結果，將兩種判定三角形全等的定性定理轉化為可計算的公式。縱觀余弦定理的發展史，它的雛形出現公元前3世紀。在歐幾里得《幾何原本》卷二對鈍角三角形和銳角三角形三邊關系的闡述中，利用勾股定理將余弦定理的幾何形式進行了證明。1593年，法國數學家韋達首次將歐幾里得的幾何命題寫成了我們今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世紀，三角形式的余弦定理才一統天下。“余弦定理是作為勾股定理的推廣而誕生的，以幾何定理的身份出現，直到1951年，美國數學家荷爾莫斯在其《三角學》中才真正采用解析幾何的方法證明了余弦定理，至于向量方法的出現，更是晚近的事了。”從新舊教材的內容設計對比來看，無論是問題的提出，定理的證明，簡單應用都呈現出變化。舊教材數學第二冊（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二節解斜三角形中。基于特殊到一般的數學思想，從直角三角形切入，提出問題后，直接用向量的方法推導定理。新教材將余弦定理安排在獨立章節《解三角形》中,首先給出探究：如果已知一個三角形的兩邊及其所夾的角，根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形，從量化的角度研究這個問題，也為余弦定理解三角形的類型做了鋪墊。在定理的推導過程中，同樣用了向量方法，但在推導前提出思考：聯系已經學過的知識，我們從什么途徑來解決這個問題？新教材還結合余弦定理和余弦函數的性質，分別對三種形狀的三角形進行了量化分析，舊教材沒有涉及此內容。從余弦定理的發展史和教材的設置變化來看，歐式幾何依據基本的邏輯原理，建立幾何關系，論證嚴謹，但思維量大，需要分類討論。而作為溝通代數、幾何與三角函數的工具——向量引入后，歐式幾何中的平行、相似、垂直都可以轉化成向量的加減、數乘、數量積的運量，從而把圖形的基本性質轉化成向量的運算體系，由此開創了研究幾何問題的新方法。而且在證明之后還提出問題：用坐標方法怎樣怎樣證明余弦定理？還有其他的方法嗎?教材的編排，就是希望學生了解可以從向量、解析方法和三角方法等多種途徑證明余弦定理，另外對向量工具性作用有所體會和認識。基于以上分析，本節課的教學重點是：通過對三角形邊角關系的探索，發現并證明余弦定理。教學目標設置結合《課程標準》和教材編排，本節課的教學目標確定為：1．發現并掌握余弦定理及其推論，利用余弦定理能夠解決一些與三角形邊角有關的計算問題。2.通過對三角形邊角關系的探索，能證明余弦定理，了解可以從向量、解析方法和三角方法等多種途徑證明余弦定理。3．通過經歷一個完整的探究學習過程，使學生體會數學探究活動的基本規律，培養學生發現問題、探索問題、解決問題的能力。學生學情分析為了讓學生更好的學習本節課，現將學生知識結構和能力水平分析如下：本節課之前學生已學習過全等三角形，三角函數，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本節課緊密聯系的內容，使本課有了較多的處理思路，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。知識結構上，學生會解直角三角形，知道銳角三角函數和勾股定理，這為用幾何法證明余弦定理奠定了基礎；學生知道三角形回路可以轉化為向量的加減法，向量的模與長度有關，向量的夾角與角度有關，這為向量法證明余弦定理奠定了基礎；學生還知道在平面直角坐標系中兩點之間的距離公式和三角函數的定義，這為解析法證明余弦定理奠定了基礎。正弦定理的證明推導過程也為本節課提供了一些探究的思路。能力水平上，高二的學生已有了一定的觀察和類比能力，轉化和分析問題的能力。可是，在證明過程中，如何使學生自然的將原有的知識與現有的推理相聯系，從多個角度聯想去發現和解決問題，自主探究獲得定理的證明，從而提高發現問題、探索問題、解決問題的能力，實現學習方式的轉變，這是這節課需要突破的。基于以上分析，本節課的教學難點是：通過對三角形邊角關系的探索，發現和證明余弦定理。教學策略分析1.課堂活動重探究。采用探究式課堂教學模式。整個過程包括提出探究問題確定探究方案完成探究過程。2．精心設計問題串。以問題驅動，學生主動參與知識建構，形成方法、提升能力。3．形成問題學習鏈。學生獨立思考和小組合作探究相結合，學生匯報交流和老師點撥引導相結合，形成以提出問題與解決問題相互引發、攜手并進的“探究問題”學習鏈。4．重視生成展思維。在探究過程中，重視學生生成，激發學生思維，讓學生真正成為知識的“發現者”和“研究者”，在知識的發成、發展過程中展開思維。教學過程設計復習回顧，提出問題1.復習回顧問題1：前面我們學習了正弦定理，它的形式是什么？問題2：利用正弦定理，我們已經解決解三角形的哪些類型的問題？設置意圖：通過回顧正弦定理的形式和能用其解三角形的類型，讓學生認識到正弦定理是解三角形的工具，是定量研究三角形邊角關系的重要定理。2.提出問題問題3：對于解三角形的問題,我們還有哪些類型的問題沒有解決呢？設置意圖：借此引發學生的認知沖突，引導學生提出問題，完善解三角形體系，確定邊角邊和邊邊邊是兩類可解的解三角形問題，使學生產生進一步探索解決問題的動機。分析問題，確定方案探究一：已知兩邊及其夾角解三角形問題：怎樣確定解決問題的方案？設置意圖：通過學生的獨立思考，暢所欲言，確定思路，讓更多的學生有的放矢，明確解決問題的方向。學生活動：小組合作，相互討論，展示結果。過程說明：通過確定方案，放手讓學生自己探究發現證明余弦定理。必要時加以引導如：第三邊可以放在直角三角形中求解嗎？涉及邊長和夾角，三角形是三條線段首尾相接所組成的封閉圖形，可以用向量的等式來表示嗎？兩點之間的距離，能用坐標法求解嗎？設置意圖：將原有的知識與現有的推理相聯系，從多個角度聯想去發現和解決問題，自主探究獲得定理的證明。使其在探究中對問題本質的思考逐步深入，思維水平不斷提高。發現定理，分析內涵不同方法探索并證明余弦定理之后，通過觀察余弦定理結構特征，層層深入，去分析余弦定理的內涵。思考：觀察的結構特征，談一談你對等式的理解。設置意圖：分析等式的外延和內涵，自然的得到余弦定理及其推論。解決問題，理解定理得到了余弦定理，繼續完成已知邊角邊求解角的過程，和已知三邊解三角形的過程。探究二：已知三邊解三角形設置意圖：通過解三角形的過程，不但發現余弦定理，還能在求解中進一步理解和應用余弦定理。例題展示，鞏固定理例：在中，已知解三角形。設置意圖：鞏固熟悉余弦定理，從例題的思考，展示，交流，點評中使學生對正余弦定理解三角形有進一步的體驗。課堂小結，提煉過程思考：余弦定理及其推論發現和證明的過程是怎樣的？在這個過程中你有什么體會？設置意圖：小結環節設置了兩個問題：談過程，談體會。目的是不但讓學生經歷整個探究學習過程，還能在此基礎上對本節課有整體的認識，說出整個過程的環節，感受以及發現證明定理運用的方法等。布置作業，課后探究課本A組3,4題拓展思考：相等和不等是一對辯證的關系，請根據角的范圍討論余弦定理中所蘊含的相等和不等關系.設置意圖：作業一是鞏固熟悉利用余弦定理解三角形，作業二的目的是進