第三章3.3.一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知函數f(x)＝2x2的圖象上一點(1,2)及附近一點(1＋Δx,2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2＝2(Δx)2＋4Δx.∴eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.答案：C2．一物體的運動方程是s＝3＋t2，則在一小段時間[2,]內相應的平均速度為()A． B．3C．4 D．解析：eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3＋－3＋22,＝eq\f,＝.答案：D3．設函數f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a等于()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(ax＋Δx＋3－ax＋3,Δx)＝a，∴f′(1)＝a＝3.答案：C4．當自變量從x0變到x1時，函數值的增量與相應自變量的增量之比是函數()A．在區間[x0，x1]上的平均變化率B．在x0處的變化率C．在x1處的導數D．在區間[x0，x1]上的導數解析：根據平均變化率的定義可知，當自變量從x0變到x1時，函數值的增量與相應自變量的增量之比就是函數在區間[x0，x1]上的平均變化率．答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．若函數y＝2x2－1的圖象上一點(1,1)及其鄰近一點(1＋Δx,1＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于________．解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－1－1,Δx)＝4＋2Δx.答案：4＋2Δx6．設f(x)在點x＝x0處可導，且f′(x0)＝－2，則eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)等于________．解析：eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f[x0＋－Δx]－fx0,－Δx)＝f′(x0)＝－2.答案：－2三、解答題(每小題10分，共20分)7．求函數y＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx都為eq\f(1,3)，哪一點附近平均變化率最大？解析：在x＝1附近的平均變化率為k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均變化率為k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均變化率為k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.若Δx＝eq\f(1,3)，則k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1<k2<k3，∴在x＝3附近的平均變化率最大．8．利用導數的定義，求出函數y＝x＋eq\f(1,x)在x＝x0處的導數，并據此求函數在x＝1處的導數．解析：y′＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(x0＋Δx＋\f(1,x0＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,x0))),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δx＋\f(－Δx,x0x0＋Δx),Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x0x0＋Δx)))＝1－eq\f(1,x\o\al(2,0)).從而y′|x＝1＝1－eq\f(1,12)＝0.9．(10分)一質點按規律s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若該質點在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數a的值．解析：Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δ