1量子力學波函數及其統計解釋粒子的動量分布不確定度關系——進一步討論21、自由粒子的波函數既然粒子具有波動性，那么就應該用一個反映波動的函數來加以描述。由平面波公式借助德布羅意公式：v=E/h，λ=h/p和得到也可以寫作簡短回顧32、一般粒子的波函數及其物理意義當粒子受到外力的作用時，其能量和動量不再是常量，也就無法用這樣簡單的函數來描述，但總可以用某個波函數來描述這個粒子的特性。問題是，該如何理解波函數所代表的物理意義呢？

任意粒子的波函數可以看作無限多個平面波的疊加4如何理解粒子的波動性？對實物粒子的波動性有兩種誤解：（1）認為粒子是一個物質波包；波包會擴展（2）認為粒子的衍射行為是大量粒子相互作用或疏密分布而產生的行為。單個電子具有波動性波函數的玻恩（MaxBorn,1926年）幾率詮釋幾率波描述粒子波動性的函數稱為波函數該如何理解波函數的物理意義？為此，人們提出了波函數的統計詮釋來作為對波函數物理意義的一種理解。5量子力學的基本假定之一基本假定Ⅰ：波函數假定微觀粒子的狀態可以被一個波函數完全描述，從這個波函數可以得出體系的所有性質。波函數一般滿足連續性、有限性和單值性三個條件。說明：波函數一般是粒子坐標和時間的復函數，波函數的模方代表粒子空間分布的概率密度。6

動量分布概率（1）設，則表示粒子出現在點附近的概率。設為粒子的動量，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數為任意粒子的波函數可以按此平面波做傅立葉展開7

動量分布概率（2）其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應該代表粒子具有動量的概率。8嚴格證明表明，對一般粒子，有物理意義：粒子的坐標和動量不可能同時被準確測量。或者說，微觀粒子的位置（坐標）和動量不能同時具有完全確定的值。不確定度關系9不確定度關系是微觀粒子波粒二象性所帶來的必然結果。這是因為，對波動而言，不能提“空間某一點x的波長”。從而，對微觀粒子，只要承認其具有波粒二象性，“微觀粒子在空間某一點x的動量”，這樣的提法也沒有意義。所以，對一個給定點x，動量只能是不確定的，這就是不確定度關系。六、不確定度關系10量子力學中的力學量力學量的平均值

算符薛定諤方程量子力學的基本假設11不確定度關系與力學量的平均值通過舉例得到，由此得知一般情況下x和p不能同時確定。這樣可以提出一個問題:x和p的平均值可否確定？

由此引申出：力學量的平均值12

二、力學量的平均值——坐標(1)既然表示粒子出現在點附近的概率，那么粒子坐標的平均值，例如的平均值，由概率論，有又如，勢能V是的函數：，其平均值由概率論，可表示為13

動量的平均值與動量分布概率（1）設，則表示粒子出現在點附近的概率。設為粒子的動量，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數為任意粒子的波函數可以按此平面波做傅立葉展開14

動量的平均值與動量分布概率（2）其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應該代表粒子具有動量的概率。15二、力學量的平均值(2)——動量再如，動量的平均值為：對比和提出兩個問題：1、為什么不能寫成2、能否用以坐標為自變量的波函數計算動量的平均值？由此引申出量子力學中特有的概念：力學量的算符16三、力學量用算符表示(1)當算符

作用到平面波波函數上，有算符：對波函數的一種運算17三、力學量用算符表示(2)動量的平均值以坐標和動量為自變量的波函數之間的關系為18三、力學量用算符表示(3)動量的平均值，用以動量為自變量的波函數表示用以坐標為自變量的波函數表示其中，為動量的算符，即：動量算符記住！19三、力學量用算符表示(4)動能，動能算符動能平均值角動量，角動量算符角動量平均值20波函數及其統計解釋坐標以及動量平均值的計算動量算符力學量用算符表示21三、力學量用算符表示(5)力學量的平均值為其中，為力學量的算符。問題：坐標的平均值可否表示為可以，其中平均值與坐標（表象）的選擇無關算符的形式與坐標（表象）的選擇有關22

三、力學量用算符表示(6)描述粒子狀態的波函數，可以由平面波的疊加來表示對這個波函數關于時間做偏微商，有因此，

能量算符利用能量算符，可以從形式上給出量子力學中的基本方程：薛定諤方程23四、薛定諤方程（1）粒子的能量兩邊同乘粒子的波函數薛定諤方程

量子力學的基本假設之一：波函數的時空演化滿足薛定諤方程記住！24四、薛定諤方程(4)E.薛定諤（1887-1961）NobelPrizeinPhysics(1933)

“我確信，通過薛定諤的關于量子條件的公式表述，已作出了決定性的進展。在這些對量子規則作深刻闡明的新嘗試中，我最滿意的是薛定諤的表述方式。”——A.Einstein25

連續性方程－薛定諤方程的推論薛定諤方程（1）由，得令

得到連續性方程

四、薛定諤方程（2）概率密度概率(粒子)流密度26四、薛定諤方程(6)連續性方程的回顧：電磁學中：為電荷密度，為電流密度。由Guass定理：27四、薛定諤方程(7)電磁學：左邊表示在區域內電荷在單位時間內的增量，右邊單位時間內通過的封閉表面流入內的總電流。電荷守恒量子力學：左邊表示在區域內找到粒子概率單位時間內的增量，右邊單位時間內通過的封閉表面流入內的概率。概率守恒粒子數目在全空間中保持不變28四、薛定諤方程（4）

能量本征方程薛定諤方程若不顯含，則可令，有因此，有和因此，滿足的方程稱為能量本征方程，稱為能量本征函數，稱為能量本征值29算符的本征方程數學中，形如的方程，稱為算符A的本征方程。其中對方程算符被稱為哈密頓算符，因為本征值E具有能量的量綱，故此方程被之為能量本征方程，被稱為能量本征函數，E被稱為能量本征值。動量本征方程矩陣的本征方程30五、量子力學的基本假設（1）1、微觀體系的狀態被一個波函數完全描述，從這個波函數可以得出體系的所有性質。2、力學量用厄米算符表示，表示力學量的算符有組成完全系的本征函數。3、體系的狀態波函數滿足薛定諤方程：五條基本假設31五、量子力學的基本假設（2）4、將體系的狀態波函數用算符的本征函數展開，其中：則在體系態中測量力學量得