極小值原理的應用：時間，燃料最優控制問題目錄一.Bang-Bang控制原理二.線性定常系統的時間最優控制三.燃料最優控制四.時間-燃料最優控制五.習題六.總結

時間最優控制

時間最優控制問題，是可以運用極小值求解的一個常見的工程實際問題。如果把系統由初始狀態轉移到目標集的時間作為性能指標，則使轉移時間為最短的控制稱為最短時間控制，亦稱最速控制。一、Bang-Bang控制原理1.移動目標集的時間最優控制問題已知受控系統的狀態方程為：尋找滿足不等式約束的r維容許控制向量u(t),使系統從初始狀態出發，在末態時刻，首次達到目標集其中g是p維向量函數,且使最小值的最優控制u(t).

上述問題用極小值原理求解，構造哈密頓函數為：

規范方程、邊界及橫截條件分別為:極值條件為：可得式中sgn(*)為符號函數，令則最優控制分量應取在最優軌線末端，哈密頓函數應滿足由以上條件知：若,則可以運用極小值原理確定，此時稱為正常情況。若不確定，可取滿足約束條件的任意值，此時稱為奇異情況。2.正常和奇異控制問題設在區間內，存在時間可數集合，使有在時間最優控制是正常的在區間，至少存在一個子區間，使得對所有，至少有一個函數則時間最優控制是奇異的，稱為奇異區間。3.Bang-Bang控制原理設u*(t)是上述問題的時間最優控制，x*(t)和是相應的狀態向量和協態向量。若問題正常，則最優控制為：定理表明，每個控制分量恰好在自己的兩個邊界值之間來回切換，滿足的各個點正好是切換點。這是一種繼電型控制或開關控制，故有邦-邦控制之稱。線性定常系統的時間最優控制設線性定常系統是完全可控的，求滿足下列約束的容許控制向量u(t)：使系統從已知狀態x(0)=x0轉移到狀態空間原點x(tf)=0的時間最短，性能指標為在解決上述問題之前，應該先判斷它是否正常。定理1令式中，當且僅當m個矩陣中，至少有一個是奇異矩陣時，它則是奇異的。定理2當且僅當式中，上述問題是正常的。定理3若上述系統是正常的，且時間最優控制存在，則最優控制必定唯一。定理4有限切換（開關次數）定理設線性定常系統是正常的，nxn系統矩陣A的全部特征值均為實數，時間最優控制存在，其分量為。令表示的切換時刻，則在兩個邊界值之間的切換次數N≦n-1.(n為系統的維數）定理5當系統正常是，存在最優解的必要條件為：正則方程

式中哈密頓函數為邊界條件

極小值條件若A有全部實特征值，則的切換次數為N≦n-1.H函數變化率燃料最優控制

在工程實際中，常常需要考慮是控制過程中所消耗的能量最小。此時控制作用表現為推力或力矩的大小和方向。若以非負量表示燃料的瞬時消耗率，則控制過程中所消耗的的燃料總量為,僅考慮如下形式的關系：式中是m維控制向量u(t)的第j個分量，CJ為比例系數，稱為比耗。為了保證控制過程中最省燃料，選擇燃料消耗總量作為性能指標二次積分模型的狀態方程：求滿足約束條件的最優控制，是系統有任意初態，轉移到狀態空間原點（0.0）且使性能指標為最小。設末端時刻tf自由。正則方程，哈密頓函數則有邊界條件極小值條件函數變化律H函數的最優控制取極小值時，等價于函數對最優控制取極小值。引入死區函數記號dez,其意義為a=dez{b},表示為以及由以上關系能否完全確定，取決于函數的性質。與時間最優控制問題類似，也可以分為正常與奇異兩種情況：若在時間區間[0,tf]內，值在有限點成立，則屬正常情況，最優控制可取-1、0、+1三個值，隨時間的增長，在這三個值上轉換，稱為三位控制或開關控制。若至少存在一段時間間隔，在其上有則問題屬于奇異情況。對協態方程積分可得：式中為協態初始條件。根據的數值情況，為奇異控制或為正常控制.（1）奇異情況若為滿足,應有。此時，只能決定的符號，而無法確定其數值。（2）正常情況若，則是時間t的線性函數。這是，至多在兩個孤立的時刻成立，因而燃料最優控制函數是正常的，為三位控制，且最多有兩次切換。對系統進行相平面分析，當u=+1和u=-1時，系統由初態轉移到坐標原點的兩條軌線為,如下圖所示，點集表達式為：

A.初始點在上,為唯一最優控制。B.初始點在上,為唯一最優控制。C.初始點在R4區,u(t)有無窮多組解,但u=[01]所用時間最短.初始點在R2區,u(t)有無窮多組解,但u=[0-1]所用時間最短.D.初始點在R1，R3區,u(t)無解,但存在一個燃料最優問題.綜上所述，燃料最優控制律：時間-燃料最優問題

單純以節省燃料為目標的燃料最優控制問題，往往使得系統的響應太慢，不滿足實際的使用要求。若將縮短時間與節省燃料加以綜合考慮，設計的控制系統既能節約燃料又不至于響應緩慢，因而產生了時間-燃料最優控制問題。一種好的處理方法是在燃料最優控制性能指標中增加時間的加權項，得到式中，為時間加權系數，表示設計者對響應時間的重視程度。若取，表示不計時間長短，只考慮節省燃料。若取，表示不計燃料消耗，只求時間最短。已知系統的狀態方程求滿足下列約束條件：的最優控制u*(t)，使系統由任意初態轉移到空間原點（0,0），且使性能指標為最小。設末端時刻tf自由。令哈密頓函數與上節類似，由極小值條件可得根據協態方程假定初始協態為，解得

最優軌線應滿足通過分析，如下六種控制序列為候選最優控制序列{+1}，{-1}，{+1}，{0，+1}，{0，-1}，{+1,0,-1}，{-1,0,+1}，通過相平面法討論得相軌跡圖如下：除為開關曲線外,也為開關曲線.是u由-1切到0的開關曲線,且有整個相平面分成4個區域,且起于各區初始狀態的相應控制為：可得時間-燃料最優控制律為：例題

設人造衛星姿態控制系統方程為：控制約束要求確定，使性能指標極小，并求出切換時間ts和最短時間構造哈密頓函數：最優控制由協態方程解得因為協態向量為非零向量，故不能同時為零。根據的不同組合，的可能形狀如下圖所示。因而候選控制序列為：{+1}，{-1}，{+1，-1}，{-1，+1}，令，由狀態方程有消去t得軌跡方程為：滿足末態相軌跡為：曲線和組合成曲線，表達式為曲線將相平面分割為兩個區域。作為狀態集合，可表示為：相軌跡圖為：相平面上的開關曲線對于一般的二次積分模型的時間最優控制問題，其最優控制律為：本例，故最優控制律為了具體求出切換時間ts,需要求解最優軌線方程。

總結

最短時間控制系統，是依據所謂砰-砰原理構成的，它只有+1和-1兩種工作狀態。最少燃料控制問題，其哈密爾頓函數對控制u(t)及其是一次的。它包含+1,0，-1三種工作狀態。和最短時間控制系統相比，最少燃料控制系統的最大特點，是多了一個u=0的控制方式，這意味著在工作過程的某些階段，可以借助于系統中積存的能量來維持工作，不用消耗燃料