12動量矩定理動量定理建立了作用力與動量變化之間的關系，揭示了質點系機械運動規律的一個側面，而不是全貌。例如，圓輪繞質心轉動時，無論它怎樣轉動，圓輪的動量始終是零，動量定理不能說明這種運動的規律。動量矩定理則是從另一個側面，揭示出質點系相對于某一固定點或質心的運動規律。本章將推導動量矩定理并闡明其應用。12.1轉動慣量、平行軸定理

12.1.1

轉動慣量質點系的運動，不僅與作用在質點系上的力有關，還與質點系各質點的質量其及分布情況有關。質心是描述質點系質量分布的一個特征量，轉動慣量(Momentofinertia)則是描述質點系質量分布的另一個特征量。剛體對軸

z

的轉動慣量，是剛體內各質點的質量

mi與它到該軸的垂直距離

rzi

的平方的乘積之和，記作

Jz。（12-1）若剛體的質量是連續分布，則式（12-1）可用積分表示為：（12-2）積分號下標

M

表示積分范圍遍及整個剛體。可見，轉動慣量恒為正值，它的大小不僅和整個剛體的質量大小有關，而且還和剛體各部分的質量相對于轉軸的分布情況有關。它是由剛體的質量，質量分布以及轉軸位置這三個因素共同決定的，與剛體的運動狀態無關。轉動慣量單位是千克·米2(

k

g

·

m2)。剛體對某軸

z

的轉動慣量

J

z與其質量

M

的比值的平方根為一個當量長度，稱為剛體對該軸的回轉半徑(Radiusofgyration)，即：（12-3）注意：回轉半徑是在計算物體轉動慣量時，假想地把物體全部質量集中到距軸為回轉半徑的某一質點上，且其轉動慣量與物體的轉動慣量相等。

12.1.2簡單形狀均質剛體的轉動慣量根據式（12-2），則

O

A桿對

z

軸、y

軸的轉動慣量為：（1）均質細直桿：如圖12-1所示均質細直桿，質量為m，長為l，建立坐標系如圖。在直桿上取長為

d

x

的微段，作為質點看待，其質量：（2）均質矩形薄板：質量為

m

，邊長分別為

b

和

h

的均質矩形薄板，O

為形心，如圖12-2所示。取一平行

x軸之細條，其寬度為

d

y

。該細條對

x

軸的轉動慣量為：均質矩形薄板對

x

軸的轉動慣量為：同理均質矩形薄板對

y

軸的轉動慣量為：圓盤對z軸的轉動慣量為：圓盤質量：（3）均質等厚圓盤：質量為

m

，半徑為

R

均質等厚薄圓盤，如圖12-3所示。將圓盤分為很多同心細圓環

，其中某細圓環的半徑為

r

，寬度為

d

r。令圓盤單位面積的質量為r，則細圓環對過圓心O

且垂直于圓盤平面的

z

軸的轉動慣量為：

12.1.3平行軸定理定理：剛體對于任一軸的轉動慣量，等于剛體對于通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積，即：（12-4）證明：設有一剛體，質量為

M

，z

軸通過質心

C

，軸與z軸平行且相距為

d

，取

x

、y

軸如圖12-4所示。剛體內任一點

Mi的質量

m

i，它到

z

軸和軸的距離分別為

ri和。由轉動慣量的定義知，剛體對于軸的轉動慣量可表示為：

由質心坐標公式：例12-1復擺由一均質細桿及一均質圓球剛連而成，如圖12-5所示。均質細桿質量為

m1，均質圓球質量為

m

2，半徑為

r

。試計算擺對于通過

O

點并垂直于桿的

z

軸的轉動慣量。解：以

Jz1和

J

z2分別表示桿與球對于

z

軸轉動慣量，則擺對于

z

軸的轉動慣量為兩者之和，即：均質細桿對于

z

軸轉動慣量為：均質圓球對于

z

軸轉動慣量為：例12-2計算均質正圓錐體對其底圓直徑的轉動慣量。已知圓錐體質量為

M

，底圓半徑為

R

，高為

h

，如圖12-6所示。解：把圓錐體分成許多厚度為

d

z

的薄圓片，該薄圓片的質量為r為圓錐體的密度，r為薄圓片的半徑。圓錐體的質量為薄圓片對自身直徑的轉動慣量為由幾何關系知：薄圓片對

y

軸轉動慣量

d

Jy為：整個圓錐體對于

y

軸的轉動慣量為：12.2質點和質點系的動量矩如同力矩一樣，質點和質點系的動量也可以取矩，描述質點和質點系的轉動特征。動量矩(Momentofmomentum)和動量一樣，也是度量物體機械運動的一種物理量。

12.2.1質點的動量矩設質點某瞬時的動量

m

v

，對固定點

O

的矢徑為

r

，如圖12-7所示。質點的動量對固定點O的矩為一矢量，定義為質點對固定點O

的動量矩(Momentofmomentumofaparticle)

，記為：即：（12-5）圖12-7定義：動量

m

v

對各直角坐標軸之矩為：（12-6）質點對

O

點的動量矩在通過

O

點的任意軸上的投影，等于質點對該軸的動量矩。即：（12-7）l

為任意軸上的單位矢量。

12.2.2質點系的動量矩質點系內各質點對固定點

O

的動量矩的矢量和，稱為質點系對點

O

的動量矩(Momentofmomentumofsystemofparticles)

，用

L

O表示，則有：（12-8）質點系對各坐標軸動量矩的表達式為：（12-9）質點系對

O

點的動量矩在通過

O

點的任意軸上的投影，等于質點系對該軸的動量矩。即：l

為任意軸上的單位矢量。（12-10）

12.2.3定軸轉動剛體的動量矩動量矩的單位是牛·米·秒(

N

·

m

·

s

)。設剛體繞固定軸

z

轉動，某瞬時剛體的角速度w，如圖12-8所示。對于剛體內任一質點

Mi，其質量為

mi，轉動半徑為

r

i，動量

mi

v

i。于是質點

Mi對軸的動量矩為：

剛體對

z

軸的動量矩為：（12-11）定軸轉動剛體對其轉軸的動量矩，等于剛體對其轉軸的轉動慣量與角速度之乘積。Lz正負號與w正負號相同。例12-3如圖12-9所示一復擺以角速度w繞

O

軸轉動。已知均質桿

OA

長為

l

，質量為

m

1，均質圓盤

C

2的半徑為

r

，質量為

m

2，試求復擺對

O

軸的動量矩。解：

J

O的計算：復擺對

O

軸的動量矩：例12-4如圖12-10所示系統中，物塊

A

、B

的質量分別為m

1、m

2，均質圓輪(視為圓盤)的半徑為r，質量為

m

。繩與輪間無相對滑動，不計繩的質量。圖示瞬時已知

A

塊的速度為

v

，試求系統對轉軸

O

的動量矩。解：物塊

A

、B

與輪組成一質點系，質點系對轉軸O的動量矩等于系內各物體對轉軸動量矩的代數和。運動學分析：

動量矩計算：系統對轉軸

O

的動量矩：12.3動量矩定理

12.3.1質點的動量矩定理動量矩定義：對時間求導數得：（12-12）表明：質點對固定點

O

的動量矩對時間的一階導數等于作用力對同一點的主矩。式

(12-12)

稱為質點的動量矩定理(Theoremsofmomentofmomentumofapartied)。將式

(12-12)

投影到固定直角坐標軸上得：（12-13）即：質點對某一定軸的動量矩對時間的一階導數等于作用力對于同一軸的矩。

12.3.2質點動量矩守恒定理如果質點所受力對某一定點

O

的矩恒為零，則由式(12-12)知，質點對該點的動量矩保持不變。（12-14）如果作用于質點的力對于某一固定軸

l的矩恒為零，則由式

(12-13)

知，質點對該軸的動量矩保持不變。（12-15）以上結論稱為質點動量矩守恒定理（Theoremsofconservationofmomentofmomentumofaparticle）。

12.3.3質點系的動量矩定理對于質點系內各質點，對同一固定點應用動量矩定理，寫出每個質點的動量矩方程，并把作用于質點的力分解成外力F

e和內力F

i，有：全部相加得：（12-16）直角坐標軸投影式：（12-17）結論：質點系對某定點（或某定軸）的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的全部外力對同一點(

或同一軸

)主矩的矢量和(

代數和

)，這就是質點系的動量矩定理(

Theoremsofmomentofmomentumofsystemofparticles

)。

12.3.4質點系動量矩守恒定理當外力對于某定點

(

或某定軸

)

的主矩

(

或力矩的代數和

)

等于零時，質點系對于該點

(

或該軸

)

的動量矩保持不變。這就是質點系動量矩守恒定理

(

Theoremsofconservationofmomentofmomentumofsystemofparticles

)。由質點系動量矩定理可知：質點系的內力不改變質點系的動量矩，只有作用于質點系的外力才能使質點系的動量矩發生變化。例12-5高爐運送礦石用的卷場機如圖12-11所示，已知鼓輪的半徑為

R

，質量為m

1，輪繞

O

軸轉動。小車和礦石總質量為m

2，作用在鼓輪上的力偶矩為

M

，鼓輪對轉軸的轉動慣量為

J

O，軌道的傾角為q。設繩的質量和各處摩擦均忽略不計，求小車的加速度

a

。解：視小車為質點，取小車與鼓輪組成質點系。以順時針為正，質點系對

O

軸的動量矩為：作用于質點系的外力除M

，G

1和

G

2外，尚有軸承

O

的反力

Fox和

Foy，軌道對車的約束力FN。其中G

1，

FOx，Foy對

O

軸力矩為零。將

G

2分解為

Gτ和

G

n，G

n與FN相抵消，且：則系統外力對

O

軸的矩為：由質點系對

O

軸的動量矩定理有：小車的加速度沿斜坡向上。例12-6在圖

12-12(a)中，小球

A

，B

以細繩相連，質量均為

m

，其余構件質量不計，忽略摩擦。系統繞

z

軸自由轉動，初始時系統的角速度為w0，當細繩拉斷后，求各桿與鉛垂線成q角時系統的角速度w。見圖12-12（b）。解：此系統所受的重力和軸承的支反力對于轉軸的矩都等于零，因此系統對于轉軸的動量矩守恒。當q=0時，動量矩為：當θ≠

0時，動量矩為：因為

Lz1=

Lz2，最后得：12.4剛體繞定軸的轉動微分方程設剛體在主動力

F1，F2，…，Fn作用下繞定軸

AB

轉動

，軸承

A，B的反力為

FAx，FAy和FBx，FBy，FBz，如圖12-13所示。由動量矩定理得：設任一瞬時剛體的角速度為w，由式(

12-11

)知，剛體對轉軸

z

的動量矩剛體的定軸轉動微分方程(

Differentialequations

ofrotationofrigidbodywithafixedaxis

)，即剛體對定軸的轉動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體的主動力對該軸的矩的代數和。（12-18）由上可知：（1）作用于剛體的主動力對轉軸的矩使剛體的轉動狀態發生變化。（2）如果作用于剛體的主動力對轉軸的矩的代數和等于零，則剛體作勻速轉動；如果主動力對轉軸的矩的代數和為恒量，則剛體作勻變速轉動。（3）在一定的時間間隔內，當主動力對轉軸的矩相同時，剛體的轉動慣量越大，轉動狀態變化越小；轉動慣量越小，轉動狀態變化越大。這就是說，剛體轉動慣量的大小表現了剛體轉動狀態改變的難易程度。因此說，轉動慣量是剛體轉動時慣性的度量。剛體的轉動微分方程與質點的運動微分方程形式相似，求解問題的方法與步驟也相似。應用剛體轉動微分方程可以求解有關轉動剛體的動力學兩類問題。例12-7如圖12-14所示，已知滑輪半徑為

R

，轉動慣量為

J

，帶動滑輪的皮帶拉力為

F1和

F2。求滑輪的角加速度

a

。解：由剛體繞定軸的轉動微分方程有：例12-8在圖12-15中物理擺的質量為

m

，C

為其質心，擺對懸掛點的轉動慣量為

JO，求微小擺動的周期。解：設j角以逆時針方向為正。當小j角為正時，重力對點O之矩為負。由此得擺的轉動微分方程為：此方程的通解為：j

0為角振幅，j為初相位，它們由運動初始條件確定。擺動周期為：12.5相對質心的動量矩定理、剛體平面運動微分方程

12.5.1相對質心的動量矩定理動量矩定理，強調矩心或矩軸是固定點或固定軸。實際上，若取質點系的質心為矩心，則動量矩定理的形式將保持不變。定理：質點系相對于質心的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的外力對質心的主矩，即：（12-19）質點系對質心的動量矩定理(Theoremsofmomentofmomentumwithrespecttoacenterofmass)

。證明略。

12.5.2剛體平面運動微分方程剛體的平面運動可以分解為隨質心

C

的平動和繞質心軸

Cz相對轉動。隨質心C

的平動可由質心運動定理確定。繞質心軸Cz

相對轉動由相對于質心的動量矩定理確定。

（12-20）將前一式投影到

x

，y

軸上，后一式投影到

Cz軸上：（12-21）（12-22）式中

JC為剛體過其質心

Cz軸的轉動慣量。式

(

12-22

)

稱為剛體平面運動微分方程(

Differentialequationofplanarmotionofrigidbody

)

。（12-21）或寫成例12-9一均質圓柱體重量為

G

，半徑為

r

。無初速地放在傾角為q的斜面上。試確定當圓柱體在斜面上作純滾時的摩擦因數的范圍，并求出作純滾動時質心

C

的加速度。解：（1）取圓柱體為研究對象，并進行受力分析。受重力

G

，斜面的反力

FN和摩擦力

FS，如圖12-1