山西省長治市縣王坊中學2021-2022學年高一數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果集合中只有一個元素，則的值是（

）A.0

B.0或1

C.1

D.不能確定參考答案：B2.函數f(x)的定義域為D，滿足：①f(x)在D內是單調函數；②存在[]D，使得f(x)在[]上的值域為[a，b]，那么就稱函數y=f(x)為“優美函數”，若函數f(x)=logc(cx－t)(c＞0，c≠1)是“優美函數”，則t的取值范圍為(

)

A.(0，1) B.(0，) C.(－∞，)

D.(0，)參考答案：D3.若直角坐標平面內兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數f(x)的圖象上;②P,Q關于原點對稱,則稱點對(P,Q)是函數f(x)的一個“友好點對”(點對(P,Q)與點對(Q,P)為同一個“友好點對”).已知函數f(x)=則f(x)的“友好點對”有（

）個.A．0

B．1

C．2

D．4參考答案：C4.三個數之間的大小關系是

A．.

B．

C．

D．參考答案：D5.已知數列滿足，且前2014項的和為403，則數列的前2014項的和為

（

）參考答案：C6.正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中點為M，DD′的中點為N，則異面直線B′M與CN所成角的大小為（）A．0° B．45° C．60° D．90°參考答案：D【分析】利用異面直線所成的角的定義，取A′A的中點為E，則直線B′M與CN所成角就是直線B′M與BE成的角．【解答】解：取A′A的中點為E，連接BE，則直線B′M與CN所成角就是直線B′M與BE成的角，由題意得B′M⊥BE，故異面直線B′M與CN所成角的大小為90°，故選D．7.給出下列四個命題：①函數的一個對稱中心坐標是；②函數y=a（3﹣x）+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（3，2）；③函數f（x）=ln（2x﹣x2）的單調減區間是[1，+∞）；④若函數f（x）的定義域（﹣1，1），則函數f（x+1）的定義域是（﹣2，0），其中正確的命題個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】綜合題；函數思想；定義法；函數的性質及應用．【分析】①根據輔助角公式將函數進行化簡，結合三角函數對稱性的性質進行判斷即可．②根據指數函數過定點的性質進行判斷．③根據復合函數單調性和定義域之間的關系進行判斷．④根據復合函數定義域之間的關系進行判斷．【解答】解：①函數=2sin（x+）+1，當x=﹣，則f（﹣）=1，即函數的一個對稱中心坐標為（﹣，1），故①錯誤；②當x=3時，y=1+1=2，即函數y=a（3﹣x）+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（3，2）；故②正確，③由2x﹣x2＞0得0＜x＜2，即函數的定義域為（0，2），則函數f（x）=ln（2x﹣x2）的單調減區間是[1，+∞）錯誤；故③錯誤，④若函數f（x）的定義域（﹣1，1），則由﹣1＜x+1＜1得﹣2＜x＜0，則函數f（x+1）的定義域是（﹣2，0），正確，故④正確，故正確的是②④，故選：B【點評】本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數的性質，指數函數，復合函數單調性，綜合性較強，難度不大．8.已知實數、滿足約束條件，則的最大值為（）．A． B． C． D．參考答案：B【考點】7C：簡單線性規劃．【分析】①畫可行域②為目標函數縱截距四倍③畫直線，平移直線過時有最大值【解答】解：畫可行域如圖，為目標函數，可看成是直線的縱截距四倍，畫直線，平移直線過點時有最大值，故選．9.在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8的值等于 ()A．45

B．75

C．180

D．300參考答案：C10.（5分）在同一直角坐標系中，函數f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的圖象可能是（） A． B． C． D． 參考答案：D考點： 函數的圖象．專題： 函數的性質及應用．分析： 結合對數函數和冪函數的圖象和性質，分當0＜a＜1時和當a＞1時兩種情況，討論函數f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的圖象，比照后可得答案．解答： 當0＜a＜1時，函數f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的圖象為：此時答案D滿足要求，當a＞1時，函數f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的圖象為：無滿足要求的答案，綜上：故選D，故選：D．點評： 本題考查的知識點是函數的圖象，熟練掌握對數函數和冪函數的圖象和性質，是解答的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，則三棱錐P－ABC外接球的體積為__.參考答案：如圖所示,取PB的中點O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝PB，OC＝PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O為外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝，PB＝，∴外接球的半徑R＝.∴V球＝πR3＝×()3＝,故填.點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法:(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找幾何中元素間的關系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12.（4分）Sn=1+2+3+…+n，則sn=

．參考答案：考點：數列的求和．專題：等差數列與等比數列．分析：利用分組求和法進行求解即可．解答：Sn=1+2+3+…+n=（1+2+3+…+n）+（++…+）=+=，故答案為：點評：本題主要考查數列求和的計算，利用分組求和法將數列轉化為等比數列和等差數列是解決本題的關鍵．13.命題“若,則”的逆命題是___________參考答案：若，則14.計算：=．參考答案：

【考點】三角函數的化簡求值．【分析】利用倍角公式、誘導公式即可得出．【解答】解：原式====．故答案為：．【點評】本題考查了倍角公式、誘導公式，屬于基礎題．15.設函數，若，則=

。參考答案：-6或19略16.已知點P(0，－1)，點Q在直線x－y＋1＝0上，若直線PQ垂直于直線x＋2y－5＝0，則點Q的坐標是________．參考答案：(2,3)

17.某商人將彩電先按原價提高，然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優惠”，結果是每臺彩電比原價多賺了元，則每臺彩電原價是_____元.參考答案：2250三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，現要在一塊半徑為1，圓心角為的扇形紙板AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在AB弧上，點Q在OB上，點M、N在OA上，設AOP=，平行四邊形MNPQ的面積為S．

(I)求S關于的函數關系式；

(II)求S的最大值及相應的值．參考答案：19.（12分）已知A、B、C為△ABC的三內角，且其對邊分別為a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面積．參考答案：考點： 解三角形；三角函數的恒等變換及化簡求值．專題： 綜合題．分析： （Ⅰ）根據兩角和的余弦函數公式化簡已知的等式，得到cos（B+C）的值，由B+C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B+C的度數，然后由三角形的內角和定理求出A的度數；（Ⅱ）根據余弦定理表示出a的平方，配方變形后，把a，b+c及cosA的值代入即可求出bc的值，然后由bc及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．解答： （Ⅰ）∵，∴又∵0＜B+C＜π，∴，∵A+B+C=π，∴．（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc?cosA得即：，∴bc=4，∴．點評： 此題考查了三角函數的恒等變換及化簡求值，余弦定理及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．20.在用二分法求方程在區間(2,3)內的近似解時，先將方程變形為，構建，然后通過計算以判斷及的正負號，再按步驟取區間中點值，計算中點的函數近似值，如此往復縮小零點所在區間，計算得部分數據列表如下：步驟區間左端點a區間右端點ba、b中點c的值中點c的函數近似值1232.5-0.1022

0.1893

2.6250.04442.52.6252.5625-0.02952.56252.6252.593750.00862.56252.593752.578125-0.01172.5781252.593752.5859375-0.00182.58593752.593752.589843750.00392.58593752.589843752.5878906250.001（1）判斷及的正負號；（2）請完成上述表格，在空白處填上正確的數字；（3）若給定的精確度為0.1，則到第幾步驟即可求出近似值？此時近似值為多少？（4）若給定的精確度為0.01，則需要到第幾步驟才可求出近似值？近似值為多少？參考答案：（1）<，>

………………3分（2）如下表；

………………6分步驟區間左端點區間右端點、中點的值中點的函數近似值1232.5-0.10222.532.750.18932.52.752.6250.04442.52.6252.5625-0.02952.56252.6252.593750.00862.56252.593752.578125-0.01172.5781252.593752.5859375-0.00182.58593752.593752.589843750.00392.58593752.589843752.5878906250.001（3）直到第5步驟時，考慮到，此時可求出零點的近似值為。（可取區間內任意值）

………………9分（4）直到第8步驟時，考慮到，此時可求出零點的近似值為。（可取內任意值）……12分21.已知函數解析式為.（1）求；（2）畫出這個函數的圖象,并寫出函數的值域；（3）若,有兩個不相等的實數根，求的取值范圍.參考答案：（1）；（2）圖見解析，值域為；（3）.【分析】（1）將-1代入求得即可求；（2）做出圖象，進而得值域；（3）轉化為與有兩個交點即可求解【詳解】（1）=-6，故=-1（2）圖象如圖，值域為（3）原題轉化為與有兩個交點，故【點睛】本題考查分段函數及性質，求值域，函數零點問題，考查數形結合思想，中檔題，