第八節一、二元函數的極值二、二元函數的最值三、條件極值拉格朗日乘數法多元函數的極值與最值一、二元函數的極值

定義:設函數z=f(x,y)的定義域為D，極大值、極小值統稱為極值.使函數取得極值的點稱為極值點。則稱函數f(x,y)在點(x0,y0)有極大值(或極小值)f(x0,y0),點(x0,y0)稱為函數f(x,y)的極大值點(或極小值點).P0(x0,y0)為D的內點.若存在P0的某個鄰域使得對于該鄰域內異于P0的任何點(x,y)，都有例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.定理8-13(必要條件)函數偏導數,證:且在該點取得極值,則有具有在該鄰域內取說明:

使偏導數都為0的點稱為駐點.例如,

駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取得極值.時,具有極值定理8-14(充分條件)的某鄰域內連續且有一階和二階連續偏導數,令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數又具有二階連續偏導數的函數z=f(x,y)的極值的求法：例1.求函數解:第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;解例2.函數在P有極值.有所以為極大值.二、二元函數的最值函數f

在有界閉域上連續函數f

在閉域上可達到最值

最值可疑點

駐點邊界上的最值點特別,當區域內部最值存在,且只有一個極值點P時,

為極小值為最小值(大)(大)依據解例4.解:設水箱長,寬分別為x,ym,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據實際問題可知最小值在定義域內應存在,的有蓋長方體水箱,問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.三、條件極值拉格朗日乘數法極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其他條件限制例如,轉化方法2拉格朗日乘數法.分析：如果函數在(x0,y0)取得所求的極值，例如,則有可確定隱函數方程將其代入函數得故極值點必滿足再由用隱函數的求導公式，有代入，得設引入輔助函數輔助函數L(x,y)

稱為拉格朗日(Lagrange)函數.極值點必滿足則極值點滿足:利用拉格朗日函數求極值的方法稱為拉格朗日乘數法.推廣拉格朗日乘數法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設解方程組得到可能的極值點.

例如,

求函數下的極值.在條件例5.要設計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱,

試問得唯一駐點由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當高為思考:1)當水箱封閉時,長、寬、高的尺寸如何?提示:利用對稱性可知,2)當開口水箱底部的造價為側面的二倍時,欲使造價

應如何設拉格朗日函數?長、寬、高尺寸如何?

提示:長、寬、高尺寸相等.最省,解例6在第一卦限內作橢球面體積最小，求切點坐標。的切平面，使切平面與三個坐標面所圍成的四面體可得即內容小結1.函數的極值問題第一步利用必要條件在定義域內找駐點.即解方程組第二步利用充分條件

判別駐點是否為極值點.2.函數的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(2)一般問題用拉格朗日乘數法設拉格朗日函數如求二元函數下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點及邊界點上函數值的大小?根據問題的實際意義確定最值第一步找目標函數,確定定義域(及約束條件)3.函數的最值問題在條件求可能的極值點.

已知平面上兩定點A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC

面積S△最大.解答提示:設C

點坐標為(x,y),思考與練習則

設拉格朗日函數解方程組得駐點對應面積而比較可知,點C與

E重合時,三角形面積最大.

P130-1311，4,10習題課作業注備用題1.求半徑為R

的圓的內接三角形中面積最大者.解:設內接三角形各邊所對的圓心角為x,y,z,

它們所對應的三個三角形面積分別為設拉氏函數解方程組,得故圓內接正三角形面積最大,最大面積為

注則注因此前者不可能為圓內接三角形中面積最大者.若?ABC位于半圓內(如圖),

則其BC邊上的高小于?A1BC同邊上的高,故前者的面積小于后者，

為邊的面積最大的四邊形,試列出其目標函數和約束條件?提示:目標函數:約束條件:答案:即四邊形內接于圓時面積最大.2.求平面上以3.設某電視機廠生產一臺電視機的成本為c,每臺電電視機的銷售價格為p,銷售量為x,假設該廠的生產處于平衡狀態,即生產量等于銷售量.根據市場預測,x與p滿

足關系:其中M是最大市場需求量,a是價格系數.又據對生產環節的分析,預測每臺電視機的生產成本滿足:其中c0是生產一臺電視機的成本,k是規模系數.問應如何確定每臺電